1、加练课 3 恒成立与能成立问题学习目标1.了解不等式中“恒成立与能成立”问题的三种常见类型：一次函数型；二次函数型；变量分离型.掌握不等式恒成立与能成立问题的解题方法.2.运用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论等数学思想和数学方法分析和解决问题.自主检测必备知识一、概念辨析，判断正误1.当=1 或=2 时，都能使不等式2 30 成立.()2.设()=+，若()0 在,上恒成立，则(m)0 和()0 同时成立.()3.若()在区间,上单调递减，且(0)0,0 (,)，则()0 恒成立.()二、夯实基础，自我检测4.（2020 河北尚义第一中学高一期中）若命题：,2+1 0 为真命题，则实
2、数 的取值范围是()A.2B.2C.2 2D.2 或 2答案：解析：令()=2+1，则必有=2 4 0，解得2 2，所以实数 的取值范围是2 2.故选 C.5.（2021 四川成都树德中学高一月考）若关于 的不等式2 2+30 无解，则实数的取值范围是()A.0 或3B.0 3C.0 或 3D.0 3答案：解析：2 2+30 无解 2 2+3 0 恒成立，当=0 时，3 0 恒成立；当 0 时，0,=42 12 0,解得0 3.综上，实数 的取值范围是0 3.故选 B.6.（2020 山西太原高一月考）若关于 的不等式22 8 4+0 在1 3 内有解，则实数 的取值范围是()A.12B.10
3、C.12D.10答案：解析：由题意，可得 22 8 4，设()=22 8 4=2(2)2 12，若1 3，则12 ()10，若使不等式22 8 4+0 在1 3 内有解，则只需 ()min，即 12，解得 12.故选 C.7.若不等式2+2+10 的解集为，则实数 的取值范围是.答案：0,1)8.当 (1,2)时，不等式2+20 恒成立，则 的取值范围是.答案：(22,+)解析：当 (1,2)时，不等式2+20 恒成立，等价于 2 恒成立.设()=2，其中 (1,2)，则()=(+2)2 2=22，当且仅当=2 时取“=”.()的最大值为22.的取值范围是(22,+).互动探究关键能力探究点一
4、 不等式能成立问题精讲精练例（2020 浙江温州中学高一期中）已知函数()=22 (+3)+1.（1）当=2 时，求不等式()2 的解集；（2）若关于 的不等式()2 在1,2 上有解，求实数 的取值范围.答案：（1）当=2 时，()=22 +1 2，即22 1 0，即(2+1)(1)0，解得12 1，故不等式的解集为|12 1.（2）由题意得，22 (+3)+1 2 在 1,2 上有解，即 2231=2 1 3 在 1,2 上有解，记()=2 1 3,1,2，则 ()min，又()在1,2 上单调递增，所以()min=(1)=2，所以 2.解题感悟解决不等式有解问题，可按以下规则进行转化：一
5、般地，已知函数=(),，（1）若1 ,(1)有解，()min 有解，()min .迁移应用1.已知函数()=2 (2+3)+6().（1）当=1 时，求函数=()的零点；（2）解关于 的不等式()0(0)；（3）当=1 时，函数()(+5)+3+在2,2 上有解，求实数 的取值范围.答案：（1）当=1 时，()=2 5+6=(2)(3)，所以函数=()的零点为 2，3（2）由()=2 (2+3)+60 可得(3)(2)0,(1)=2+2 4+4 0,解得1 或3.故当 x 的取值范围是(,1)(3,+)时，对任意的 1,1，函数()的值恒大于零.例 2（2020 江苏淮安阳光学校高一月考）设
6、，二次函数=2 5+.（1）若该二次函数的两个零点都在区间(1,+)内，求 的取值范围；（2）若对任意的 1,2，不等式2 5+22+m2 恒成立，求 的取值范围.答案：（1）二次函数=2 5+图象的对称轴为直线=52，由题意可得=(5)2 4 0,(1)=1 5 1+0,解得 4,所以 的取值范围为4254.（2）不等式2 5+22+m2 对于任意的 1,2 恒成立，即2+(+5)+m2 0 对于任意的 1,2 恒成立，设()=2+(+5)+m2 ，函数图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线=+52，则只需()min 0，所以+52 2,()min=(2)0或+52 1,()min=(1)0
7、或1 +52 2,()=(+52)0,解得 9,m2+14 0 或 7,m2+6 0或9 0(0)在,上恒成立(m)0,()0.()=+0(0)在,上恒成立(m)0,()0,0;若2+0 在 上恒成立，则 0(0)在某个区间上恒成立，则利用图象法或转化为求函数的最值问题或分离变量法求解.迁移应用1.（2020 江苏南京高一期中）已知函数()=2 4+32，其中 为实数.（1）当=2 时，判断命题：,()0 的真假，并说明理由；（2）若 1,2,()0，求实数 的取值范围.答案：（1）命题 为真命题.理由：当=2 时，()=2 8+12，又(2)=0，所以命题：,()0 为真命题.（2）由题意得
8、，函数()的图象关于直线=2 对称，()在(,2)上是减函数，在(2,+)上是增函数，当32 2 时，()的最大值为(1)，当32 2 时，()的最大值为(2)，则要使 1,2,()0，只需(1)0，且(2)0即32 4+1 0，且32 8+4 0,解得13 1，且23 2，即23 1，所以实数 的取值范围是23,1.探究点三 变量分离型精讲精练例（2020 山东烟台高一期中）已知函数()=2 3+，不等式()0 的解集为|1,.（1）求 和 的值；（2）当 1,4 时，函数=()的图象恒在=2 图象的上方，求实数 的取值范围.答案：（1）因为不等式()0 的解集为|1，所以 1 和 为方程2
9、 3+=0 的两根，所以1 =,1+=3,解得=2.（2）由题意得，1,4，恒有2 3+22.两边同时除以2 得，22 3+1.令()=22 3+1,=1,则()=22 3+1，则22 3+1 等价于(),14,1，即()min又()=22 3+1=2(34)2 18，所以当=34 时，()min=18.所以实数 的取值范围为 18.解题感悟函数恒成立问题的求解方法在求解恒成立问题时，把参数分离出来，使不等式的一端是含有参数的代数式，另一端是一个区间上的具体函数，这样便于问题的解决.一般将函数的恒成立问题转化为求函数的最大值或最小值问题：()恒成立 ()min；()恒成立 ()min.迁移应用
10、1.（2020 江苏南京师范大学附属中学高一月考）已知二次函数()的值域为4,+)，且不等式()0 的解集为(-1,3).（1）求()的解析式；（2）若对于任意的 2,2,()2+恒成立，求实数 的取值范围.答案：（1）设()=2+(0)，由题意可得，(1)=+=0,(3)=9+3+=0,(1)=+=4,解得=1,=2,=3,即()=2 2 3.（2）由（1）得2 4 3 对任意的 2,2 恒成立，令()=2 4 3=(2)2 7，当 2,2 时，()7,9，所以 7，即实数 的取值范围是(,7).评价检测素养提升1.（2020 江苏南京第五高级中学高一月考）不等式22 0 对于一切实数 恒成
11、立，则 的取值范围为()A.(-8,0)B.(0,8)C.(,8)(0,+)D.(,0)(8,+)答案：2.（2020 湖北宜昌高一期中）如果0 ，使得02+0+10 成立，那么实数 的取值范围为()A.(,2B.(,2)(2,+)C.2,+)D.答案：3.已知当 1,1 时，不等式2+(4)+4 20 恒成立，则实数 的取值范围是.答案：(,1)(3,+)解析：令()=2+(4)+4 2=(2)+2 4+4，因为当 1,1 时，不等式2+(4)+4 20 恒成立，所以(1)0,(1)0,即2 5+60,2 3+20,解得1 或3，所以实数 的取值范围为(,1)(3,+).4.已知函数()=2
12、+1，若对于任意的 ,+1，都有()0 成立，则实数 的取值范围是.答案：(22,0)解析：由题意可得(m)=2 m2 10,(+1)=2 m2+30,解得 22 0，所以实数 的取值范围是(22,0).5.若二次函数()=2+(0)满足(+1)()=2，且(0)=1.（1）求()的解析式；（2）当 1,3 时，不等式()(+2)恒成立，求实数 的取值范围.答案：（1）由(0)=1，可得=1，由(+1)()=(+1)2+(+1)+(2+)=2+=2，可得2=2,+=0，解得=1,=1，则()=2 +1.（2）由题意得，不等式2 +1(+2)在 1,3 上恒成立，即2 (1+)+1 20 在 1,3 上恒成立，设()=2 (1+)+1 2，则(1)=1 (1+)+1 20，且(3)=9 3(1+)+1 20解得13 且 75，则75，即 的取值范围是(75,+).