1、1.2 排列与组合第三课时 组合与组合数公式一、课前准备1课时目标(1) 理解组合的定义，能区分一个问题是组合还是排列；(2) 熟记组合数公式，能利用组合数进行熟练的计算；2基础预探1一般地，从个不同的元素中，任意取出个元素 ，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.2从个不同的元素中，任意取出个元素的个数，叫做从个不同的元素中取出个元素的组合数，用符号 表示.3组合数的计算公式： = ，由于 ，所以_（,并且）。4组合数的性质：；二、学习引领1. 处理组合问题应注意什么？组合要求个元素是不同的，被取的个元素也是不同的，即从个不同元素中进行次不放回的取出.组合定义中包含了两点：一是“取出元素”
2、，二是“并成一组”即与元素的顺序无关，无序性是组合的本质.如从某班中找出10名同学为组合，若找出10名同学后再排成一队则为排列问题。如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同，即使只有一个元素不相同，就不是相同的组合. 2. 组合与排列有何异同？组合与排列的共同点是都要“从个不同元素中取出（）个元素”.不同点是前者是“不管顺序并成一组”，而后者要“按照一定顺序排成一列”. 区分某一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题
3、.3.组合数的计算有什么技巧？“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是一个具体的事件，不是一个数；而“组合数”是符合条件的所有组合的个数，它是一个数. 利用组合数公式进行计算、证明时，要注意隐含条件且n为整数. 计算时还要灵活运用组合数的性质，若比较大，可利用性质；不计算而改为计算；在计算多个组合数和时，注意性质.三、典例导析题型一 简单的组合问题的应用例1 甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( ) A36种 B48种 C96种 D192种思路分析:本题的解决要分为三步，甲选2门，乙选3门，丙选3门，然后利用分步乘法计数原理得到总的
4、种数。解：甲先从4门课程中选修2门，乙、丙再选修3门，则不同的选修方案共有种，故选C.方法规律：按元素性质分类，按事件发生的过程分步是处理排列、组合问题的基本思想方法.组合问题只需按事件发生的过程分步完成即可，与“谁先取，谁后取”，对结果没有影响.变式训练：某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种(用数字作答).答案:：A题型二 组合数的简单应用例2已知, 求的值. 思路导析：先将等式利用组合数公式展开化简，得到关于m的方程求解。解： 因为，所以，解得或x=21（舍去） 所以方法规律：解和组合数有关的方程、不等式、求值、
5、证明等问题时，要注意组合数公式及性质，同时注意其成立的条件.组合数公式有两种形式，乘积式主要用于计算，阶乘式主要用于化简或证明.变式训练：解方程:题型三 组合数的综合应用例3 已知，求x的值。思路导析:利用公式将原式合并后，再利用组合数相等建立关于x的方程求解。解析：由得 所以或 解得或 又因为，所以，所以规律总结：利用组合数公式求和时，注意的应用，特别留意两个式子上标差1，下标相同时。变式训练：计算四、随堂练习1. 给出下面几个问题，其中是组合问题的有( )由1，2，3，4构成的2元素集合； 五个队进行单循环比赛的分组情况；由1，2，3组成两位数的不同方法数；由1，2，3组成无重复数字的两位
6、数 A B C D2若，则的值为 ( ).A6 B7 C8 D93. 从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为（ ）A.100 B.110 C.120 D.1804. 某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校该学生不同的报考方法种数是_。5从编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的十个形状大小相同的球中，任取3个球，则这3个球编号之和为奇数的结果数有_。6.有10名教师,其中男教师6名,女教师4名(1) 现要从中选2人去参加会议,有多少种不同的选法?(2
7、) 现要从中选出男、女教师各两名去参加会议,有多少种不同的选法?五、课后作业1. 从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 （ ）A 85 B 56 C 49 D 28 2. 计算的值为（ ） A 120 B 240 C 60 D 4803.安排3名支教教师去4所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种. 4在一个半圆周上共有12个点，如图，以这些点为顶点，可以画出_个三角形5计算：(1)；(2).6. 5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员,
8、且1、2号中至少有1名新队员的排法有多少种？参考答案:1.2 排列与组合第三课时 组合与组合数公式一、课前准备2基础预探1.合成一组 2.不同组合 3. 4. 三、典例导析例1 变式训练答案:A解析：方法一：可分以下2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有种不同的选法;(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有种不同的选法.所以不同的选法共有+种.方法二:不加任何限制共有种，去掉全选A类选修课共种，再去掉全选B类选修课共种，适合题意的种数有。例2 变式训练解:由已知可得或,解得x=1或x=5,或x=-7,或x=3.当x=1时,有符合题意,同理可验证x=3与x=5也成立,当x=-
9、7时,5x-5=-40显然不符合组合数公式,所以方程的解集为1,3,5.例3 变式训练解：四、随堂练习1.答案:C解析：对于两个元素的集合，与元素的顺序无关，是组合问题；对于单循环比赛，只需两个队比赛一场，与两个队的顺序无关，是组合问题；对于组成的两位数，若取出的是同一个数字，则与顺序无关，是组合问题，若两次取出的不是同一数字，则是排列问题；对于，由可知是排列问题2答案:B解析：由，得，故.3.答案:B解析：10人中任选3人的组队方案有，没有女生的方案有，所以符合要求的组队方案数为110种.4. 答案:16解析：从6所高校中选取3所学校进行考试，一共有种不同的报考方法，除去两所学校的考试时间相
10、同的报考数，故共有种不同的报考方法。5答案:60解析：编号之和为奇数共有2类情况，一类是2个球的编号为偶数一个球的编号为奇数，一类是三个球的编号都为奇数，故结果数共有CC+ C=60.6.解:(1)相当于从10个元素中选出2个元素的组合数,有个.(2)选两名男教师有种不同的选法,选两名女教师有种不同的选法,共有156=90种不同的选法.五、课后作业1.答案:C解析：分为两类：一类是甲乙两人只有一人入选的选法有：，另一类是甲乙都入选法有=7，所以共有42+7=49，故选C.2. 答案:A解析：3.答案:60 解析：分2类：（1）每校最多1人有；（2）每校至多2人，把3人分两组，再分到学校：，共有60种4答案:210解析：.5解：(1)原式=. (2)原式=.6.解：分两类，第一类仅有一老队员，此时种，此时有两名新队员，一定可以保证1、2号中至少有1名新队员；第二类有两名老队员，此时，要注意将新队员安排在1、2号中，有种；于是，不同的种数为；