1、5.2 三角函数的概念5.2.1 三角函数的概念课标解读课标要求素养要求1.理解三角函数的概念.2.会求给定角的三角函数值.3.掌握任意角三角函数在各象限的符号.4.掌握公式一,并会熟练应用.1.直观想象会用三角函数的定义求给定角的三角函数值.会判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.2.数学运算能用三角函数的定义解决相关问题.能熟练运用公式一解决相关问题.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一 正弦函数、余弦函数和正切函数的定义设 是一一个任意角,R ,它的终边OP 与单位圆相交于点P(x,y) .（1）把点P 的纵坐标y 叫做 的正弦函数,记作 sin ,即y=sin ;（2）把点P
2、的横坐标x 叫做 的余弦函数,记作 cos ,即y=cos ;（3）把点P 的纵坐标与横坐标的 比值 yx 叫做 的正切,记作 tan ,1即yx=tan(x0) . 要点二 三角函数我们将正弦函数,余弦丽数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为:正弦函数y=sinx,xR ;余弦函数y=cosx,xR ;正切函数y=tanx ,x 2+k(kZ) .要点三 诱导公式一 终边相同 的角的同一三角函数的值 相等 .sin(+k2)= sin ,cos(+k2)= cos ,tan(+k2)= tan ,其中kZ .自主思考1.sin 可看作是sin 与 的乘积,这种说法对吗?答案：提示sin
3、不表示sin 与 的乘积.sin 表示角 的正弦值,是-一个“ 整体”.2.三角函数值的大小与点P 在角 终边上的位置是否有关? 答案：提示三角函数值是比值, 是一个实数,它的大小与点P 在角 的终边上的位置无关,只与角 的终边的位置有关,即三角丽数值的大小只与角有关3.若角 与 的终边相同，根据三角函数的定义，你认为sin 与sin,cos 与cos ，tan 与tan 之间有什么关系？答案：提示sin=sin,cos=cos,tan=tan .名师点睛1.在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注意角的终边为射线,所以应分两种情况处理,取射线上异于原点的任意一点(a,b) ,则对应角的三角函
4、数值分别为sin=ba2+b2,cos=aa2+b2,tan=ba(a0) .2.三角函数值的符号变化规律可概括为“一全正、二正弦、三正切、四余弦”,即第一象限各三角函数值均为正,第二象限只有正弦值为正,第三象限只有正切值为正,第四象限只有余弦值为正.互动探究关键能力探究点一 根据三角函数的定义求三角函数值精讲精练例1 （1）已知角 的终边与单位圆的交点坐标为(35,-45) ,则下列表示正确的是( )A.sin=35 B.sin=45C.cos=35 D.tan=-34（2）若角 的终边经过点P(5,-12) ,则sin= ,cos= ,tan= .答案：（1）C（2）-1213 ; 513
5、 ; -125解析：（1）因为角 的终边与单位圆的交点坐标为(35,-45) ,所以sin=y=-45,cos=x=35,tan=yx=-43 .故选C.（2）因为x=5,y=-12 ,所以r=52+(-12)2=13 ,所以sin=yr=-1213,cos=xr=513 ,tan=yx=-125 .例2 求34 的正弦、余弦和正切值.答案：如图,在平面直角坐标系中,作AOB=34 ,易知AOB 的终边与单位圆的交点坐标为(-22,22) , 所以sin34=22,cos34=-22,tan34=-1 .解题感悟利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况：（1）若已知角,则只需确定出
6、该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出该角的三角函数值（2）若已知角的终边上一点P(x ,y)(x0) 是单位圆上一点,则siny,cosx,tan=yx.（3）若已知角的终边上一点P(x,y)(x0) 不是单位圆上一点,则先求r=x2+y2 ,再求sin=yr,cos=xr,tan=yx .迁移应用1.设a0 ,角 的终边经过点P(-3a,4a) ,则sin+2cos 的值等于 .答案： 25解析：因为a0 ,角 的终边经过点P(-3a,4a) ,所以点P 与原点的距离r=-5a ,故sin=-45,cos=35 ,所以sin+2cos=25 .2.求53 的正弦、余弦和正切值.答案：如图,
7、在平面直角坐标系中,作AOB=53 ,易知AOB 的终边与单位圆的交点坐标为(12,-32) ,所以sin53=-32,cos53=12,tan53=-3 .3.已知角 的终边经过点P(a,a)(a0) ,求sin,cos,tan .答案：当a0 时,r=a2+a2=2a ,则sin=a2a=22,cos=a2a=22,tan=aa=1 ;当a0时,r=a2+a2=-2a,则sin=a-2a=-22,cos=a-2a=-22 ,tan=aa=1 .综上可知,当a0 时,sin=22,cos=22,tan=1 ;当a0 时,sin=-22,cos=-22,tan=1 .探究点二 三角函数的定义与
8、参数问题精讲精练 例 已知角 的终边过点P(4m,-6sin30),O 为坐标原点,且cos=-45 .（1）求实数m 的值;（2）求sin,tan 的值.答案：（1）由题意知P(4m,-3) ,所以|OP|=16m2+9 ,所以cos=4m16m2+9=-45 ,整理得m2=1,显然m0 ,所以m=-1 .（2）由题意及（1）知P(-4,-3) ,所以r=|OP|=5 ,所以sin=yr=-35 ,tan=yx=34 .解题感悟当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.迁移应用1.若cos=-32 ,且角 的终边经过点P(x,2) ,则点P 的横坐标x
9、 是( )A.23 B.23 C.-22 D.-23答案： D解析：因为cos=-320 ,所以x0 ,又r=x2+22, 所以xx2+22=-32, 所以x=-23 .2.（2021安徽蚌埠四校高一联考）若角 的终边上有一点P(-4,a) ,且sincos=34 ,则a 的值为 .答案：-43或-433解析：因为角 的终边上有一点P(-4,a) ,所以sin=a16+a2,cos=-416+a2 ,因为sincos=34 ,所以a16+a2-416+a2=34 ,所以3a2+163a+48=0 ,解得a=-43或a=-433 .探究点三 三角函数值的符号精讲精练例1 已知点P(sin,cos
10、) 在第三象限,则角 的终边在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：C解析：因为点P(sin,cos) 在第三象限,所以sin0，cos0， 所以 为第三象限角.故选C.例2 （多选）下列选项中,符号为负的是( )A.sin(-100) B.cos(-220)C.tan4 D.cos答案：A ; B ; D解析： -100 角的终边在第三象限,故sin(-100)0;-220 角的终边在第二象限,故cos(-220)0;4(,32) ,其终边在第三象限,故tan40;cos=-10 .故选ABD.例3 若sin20,且cos(-1080+)0 ,则 的终边在( )A.第一
11、象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：C解析：因为sin20 ,所以2k22k+(kZ) ,所以kk+2(kZ) .当k 为偶数时, 是第一象限角;当k 为奇数时, 为第三象限角.所以 是第一或第三象限角.又因为cos(-1080+)=cos0 ,所以 为第三象限角.故选C.解题感悟（1）先判断三角函数值的符号,再结合“一全正、二正弦、三正切、四余弦”判断角所在的象限;（2）由三角函数值求出角 的取值范围,先将其写成+k360(kZ) 的形式,再判断角 的终边所在的象限.迁移应用1.若sintan0 ,且costan0 ,则角 是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四
12、象限角答案：C2.判断下列各式的符号.（1）sin105cos230;（2）cos3tan(-34) .答案：（1）因为105 角,230 角分别为第二、三象限角,所以sin1050,cos2300 .于是sin105cos2300 .（2）因为23 ,所以3是第二象限角,所以cos30 ,又-34 是第三象限角,所以tan(-34)0 ,所以cos3tan(-34)0 .探究点四 利用诱导公式一求值精讲精练例 （1）已知sin=35 ,则sin(+6)= .（2）（2020山东济南高一期末）sin750= .答案：（1）35（2）12解析：（1）因为sin=35 ,所以sin(+6)=sin
13、=35 .（2）sin750=sin(30+2360)=sin30=12 .解题感悟利用诱导公式一进行化简求值的步骤（1）定形：将已知的任意角写成2k+ 的形式,其中0,2),kZ .（2）转化：根据诱导公式一,转化为求角 的某个三角函数值.（3）求值：若角为特殊角,则可以直接求出该角的三角函数值.迁移应用1.计算：（1）tan405-sin450+cos750;（2）sin73cos(-236)+tan(-154)cos133 .答案：（1）原式=tan(360+45)-sin(360+90)+cos(2360+30)=tan45-sin90+cos30=1-1+32=32 .（2）原式=s
14、in(2+3)cos(-4+6)+tan(-4+4)cos(4+3)=sin3cos6+tan4cos3=3232+112=54 .评价检测素养提升1.角 的终边上有一点P(1,-1) ,则sin 的值是( )A.-22 B.22C.22 D.1答案：A2.已知sin=513,cos=-1213 ,则角 的终边与单位圆的交点坐标是( )A.(513,-1213) B.(-513,-1213)C.(1213,-513) D.(-1213,513)答案：D3.点P(tan2022,cos2022) 位于第 象限.答案：四4.已知角 的终边经过点P(3,-4t) ,且sin(2k+)=-35 ,其中kZ ,则t 的值为 .答案：916解析：因为sin(2k+)=-35,kZ ,所以sin=-35 .又角 的终边经过点P(3,-4t) ,所以sin=-4t9+16t2=-35 ,显然t0 ,所以t=916 .
