1、（新课标）云南省昆明市第一中学2020-2021学年高一数学上学期入学测试试题（含解析）(本试卷共22题，共150分，井4页，考试时间为120分钟)注需事项1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自已的姓名、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核对条形码上的准证号及姓名，在规定的位里贴好条形码.2.客观题用2B铅笔填涂，答题区域用碳素笔或钢笔书写，字体工整、笔记清楚，接照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷答题无效.3.保种卡面清洁，不要折叠、不要弄破，客观题修改时用橡皮擦干冲，答题区域修改禁止使用涂改液和不干胶带，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.考
2、生必须按照规定的方法和要求答题，不按要本答题所造成的后果由本人负责.一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解不等式即可得出的取值范围.【详解】解不等式，可得.故选：C.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2. 已知边长为a的正三角ABC内有一点O，则点O到三边的距离之和为（ ）A. aB. C. D. 【答案】D【解析】【分析】连接、，设等边三角形的高为，分别求出、的面积，而三个三角形的面积之和等于面积，由此等量关系可求出到
3、三角形的三边距离之和等于的高【详解】解：连接、，设等边三角形的高为正三角形边长为，故选：D【点睛】本题考查了等边三角形的性质及三角形的面积公式，属于中档题3. 若，则（ ）A. 2B. C. D. 3【答案】C【解析】【分析】消元可得二元方程组，再消元可得的值.【详解】由方程组，得，代入得 ， 再代入得 ，即原方程组得解为: 或，故选: C【点睛】代入消元是解方程组得基本方法，此题为基础题.4. 若，则化简得（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由于，故.【详解】解：由于，所以.【点睛】本题考查根数指数幂的化简，是基础题.5. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【
4、解析】【分析】在所求的分式的分子和分母中同时除以，再将代入即可得解.【详解】，.故选：B.【点睛】本题考查代数式的运算，考查计算能力，属于基础题.6. 正三角形的外接圆和内切圆半径的比值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 【答案】B【解析】【分析】设正三角形的边长为，外接圆的半径为，内切圆的半径为，根据正弦定理得，等面积法得，进而得.【详解】解：设正三角形的边长为，外接圆的半径为，内切圆的半径为，则根据正弦定理得：，解得，根据等面积法得：，解得，所以.故选：B.【点睛】本题考查正弦定理求三角形外接圆的半径，等面积法求三角形内切圆的半径，是基础题.7. 因式分解（ ）A. B. C. D. 【
5、答案】A【解析】【分析】利用平方差公式以及提公因式法化简可得结果.【详解】.故选：A.【点睛】本题考查多项式因式分解，考查平方差公式以及提公因式法的应用，考查计算能力，属于基础题.8. 若双曲线y=上任意一点P到两坐标轴的距离分别为d1，d2，则=（ ）A. B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】设点在上，即可表示出、，再根据双曲线的解析式计算可得；【详解】解：设点在上，则其到轴的距离，到轴的距离所以故选：B【点睛】本题考查反比例函数的应用，属于基础题.9. 求值：为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】每个因式用平方差公式分解重新组合后累乘可得.【详解】 故选:
6、A【点睛】本题需要分析数字特征，找出它们之间得内在联系，属于中档题.10. 十八世纪的瑞士数学家莱昂哈德欧拉普使用过如下级数: ，当时，可求得的近似值是（ ）A. 2.98B. 2.99C. 3.00D. 3.01【答案】B【解析】【分析】当时，化简求值即可【详解】当时，则故选：B【点睛】本题考查合情推理，考查学生计算能力，属于中档题11. 甲、乙两人从相距600m的A，B两地同时出发，相向而行，甲带了一只狗和他一起出发，甲每分钟行40m，乙每分钟行60m，狗每分钟行200m，狗出发后奔向乙，遇乙后便立即折回奔向甲，遇甲后又马上折回奔向乙，这样的方式一直进行到甲与乙相遇为止，则从出发到甲乙相遇
7、过程中狗共跑的路程是（ ）A. 300mB. 600mC. 900mD. 1200m【答案】D【解析】【分析】首先求出相遇时间，即可求出狗所跑的路程；【详解】解：设出发后两人经过分钟相遇，根据题意得出：，解得：，而（米），所以这只狗共跑了1200米故选：D【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知得出两人行驶的时间是解题关键，属于基础题12. 三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.请你认真思考，用三角形内角平分线定理解决问题：已知中，为角平分线，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】过点作，利用三角形内角平分线定理计算
8、出，利用锐角三角函数的定义计算出，进而可求得.【详解】如下图所示，过点作，垂足为点，在中，则，因为的角平分线交于点，则，根据内角平分线定理可得，在中，.故选：D.【点睛】本题考查三角形中的计算，考查了锐角三角函数的应用，考查计算能力，属于中等题.二.填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在中横线上.13. 解方程x=得_【答案】或【解析】【分析】根据二次根式的性质求出的取值范围，再将方程两边平方，解得即可；【详解】解：因，所以，将两边平方可得，解得或故答案为：或【点睛】本题考查二次根式的性质的应用，属于基础题.14. 在一次球队淘汰锦标赛(一次失利，该队就淘汰)中，有25支队伍
9、参赛，要产生唯一的锦标赛冠军，必须进行_场比赛.【答案】24【解析】【分析】根据淘汰规则可知，先进行12场比赛淘汰12支队伍，然后再进行6次比赛淘汰6支队伍，如此类推可得答案.【详解】由题意可得，25进13要赛12场，13进7要赛6场，7进4要赛3场，4进2要赛2场，决赛要赛1场，所以一共要赛场，故答案为：24.【点睛】本题主要考查分类计数原理，分清类型是求解的关键，注意与分步计数原理的区别，属于容易题.15. 计算_【答案】【解析】【分析】把分母有理化，可得，然后合并同类项可求.【详解】当为正整数时，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查分母有理化，平方差公式是去掉分母中根号的利器，侧重考查
10、数学运算的核心素养.16. 已知三个实数a，b，c满足a-2b+c=0，a+2b+c0；b0；.【答案】【解析】【分析】根据，可以得到与、的关系，从而可以判断的正负和的正负情况，本题得以解决【详解】解：因为，所以，即，所以，即，又，所以，即.故正确的是故答案为：【点睛】本题考查不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，判断出和的正负情况，属于中档题三.解答题:本大题满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 解关于的方程 (其中为常数)【答案】答案见解析；【解析】【分析】根据题意分；四类具体讨论求解即可.【详解】解：当时，易知解集为.当，方程无实数解；当时，解得；当时，方程是一元
11、二次方程，所以方程两边同除以得：，配方得：，即： ，当时，方程无实数解，当时，即：.综上，当时，方程解集为；当，方程无实数解；当时，方程的根为；当且时，方程无实数解；当且时，方程的解为，.【点睛】本题考查一元二次方程的解法，考查分类讨论思想，是中档题.18. 如图，已知梯形中，且.（1）求证：；（2）若对角线、交于，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）分别过点、作，垂足分别为点、，设，计算出和，由可证得；（2）证明出，可证得.【详解】（1）分别过点、作，垂足分别为点、，设，由勾股定理可得，则为的中点，即，所以，四边形为矩形，则，在中，为锐角，则；（2）易知
12、是等腰直角三角形，且，中，则，因此，.【点睛】本题考查角的值以及边长等量关系的证明，解题时要注意特殊角三角函数值的应用，考查推理能力，属于中等题.19. 已知方程ax2+bx+c=0(a0)的两根分别为x1，x2.（1）证明韦达定理:；（2）利用韦达定理解决问题:已知RtABC中，斜边AB=5，AC，BC的长是关于x的方程x2-(2m-1)x+4(m-1)=0的两个根，ACBC，以C为圆心，CA为直径画图，交AB于D，求AD的长.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用求根公式法求出两根即可证明；（2）先利用勾股定理表示出方程两根之间的数量关系，即两根的平方和是25，再根据根
13、与系数的关系把有关字母的系数代入其中得到关于的方程，解方程即可求出的值在利用三角形相似求出；【详解】解：（1）关于的一元二次方程，两个分别为，所以时，这个方程的两个实数根可以表示为：，此时方程的两根之和为：两根之积为：即，（2）解：如图设，根据题意得，由勾股定理可知，即，解得，即，所以，解得或，因为所以，以为直径的圆与相交于点，则，又所以，所以，所以【点睛】本题考查了勾股定理及一元二次方程的应用，要注意的是三角形的边长都是正数，所以最后要把解得的根代入到实际问题的条件中检验，将不合题意的解舍去，属于中档题20. 在平面直角坐标系中，垂直于轴的直线分别与函数和的图像相交于两点，若平移直线，可以使
14、都在轴的下方，求实数的取值范围.【答案】或【解析】【分析】根据题意得以，故分和两类情况讨论即可得答案.【详解】解：因为直线分别与函数和的图像相交于两点，且都在轴的下方，所以，即，当时，解得，当时，解得，所以，当时，不等式组有解，故，即；当时，不等式组有解，故，即，综上所述，实数的取值范围为或.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，是中档题.21. 如图，已知点P是等边三角形ABC外接圆上任一点(异于B，C)，求证：（1） PA=PB+PC；（2）若PA交BC于D，则.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）首先在上截取，由是等边三角形，可得是等边三角
15、形，继而可证明，则，从而得出（2）根据圆周角定理得到，推出，根据相似三角形的性质得到，同理，两式相加得到，即可得到结论【详解】（1）证明：在上截取，为等边三角形，即，在和中，（2）解：，同理，是等边三角形，【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键，属于中档题22. 如图，ABC是等腰直角三角形，ACB=90，AC=BC，点P是ABC内一点，连接PA，PB，PC，已知1=30，2=3.（1）求证:AP=BC；（2）试探究PAB与PBC的面积的比值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）过点P作，易得四边形是矩形，再由，得到，然后在中，由，得到即可.（2）结合（1）知，再由，得到，然后由求解.【详解】（1）如图所示：过点P作，因为，所以四边形是矩形，所以，又，所以，在中，因为，所以，所以（2）由（1）知，所以，所以，.【点睛】本题主要考查平面几何图形中的边角关系的应用，还考查了转化化归的思想、数形结合思想和运算求解的能力，属于较难题.