1、1.了解函数奇偶性的含义2了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性3会运用函数图象理解和研究函数的性质知识点一 函数的奇偶性 奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)就叫做偶函数关于_对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)就叫做奇函数关于_对称答案f(x)f(x)y轴f(x)f(x)原点1(必修P39习题1.3B组第3题改编)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()Ayx3，xR Bysinx，xRCyx，xR Dyx，xR解析：选项B在其定义域内是奇函数但
2、不是减函数；选项C在其定义域内既是奇函数又是增函数；选项D在其定义域内不是奇函数，是减函数故选A.答案：A2已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是()A B.C. D解析：f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，a12a0，a.又f(x)f(x)，b0，ab.答案：B3(必修P39A组第6题改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x2，则f(1)等于()A2 B0C1 D2解析：f(1)f(1)(11)2.答案：A知识点二 周期性 1周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_，那么就称函数
3、yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_的正数，那么这个_就叫做f(x)的最小正周期答案1f(xT)f(x)2.最小最小正数4判断正误(1)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数()(2)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x2)f(x)，则f(2 014)0.()答案：(1)(2)5(2016四川卷)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x0.从而有f(x)，这时有f(x)f(x)，故f(x)是奇函数已知f(x)的定义域为(1,1)，其定义域关于原点对称因为f(x)(x1)，
4、所以f(x)f(x)即f(x)f(x)，所以f(x)是偶函数【答案】(1)D【总结反思】1判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(x)与f(x)的关系作出判断2分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数分段函数奇偶性的判断，要分别从x0或x0来寻找等式f(x)f(x)或f(x)f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性.(1)下列函数为奇函数的是()Af(x)2x Bf(x)x3sinxCf(x)2cosx1 Df(x)x22x(2)判断函数f(x)的奇偶性解析：(1)对于A选项，函数的
5、定义域为R.f(x)2x2xf(x)，故A正确；对于B选项，函数的定义域为R，函数yx3是奇函数，函数ysinx是奇函数，该函数为偶函数；对于C选项，函数定义域为R，f(x)2cos(x)12cosx1f(x)，f(x)为偶函数；对于D选项，由f(1)3，f(1)，f(1)f(1)，f(1)f(1)，知该函数为非奇非偶函数，故选A.(2)解：方法1：画出函数f(x)的图象如图所示，图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数方法2：f(x)还可以写成f(x)x2|x|(x0)，故f(x)为偶函数答案：(1)A热点二 函数周期性及应用 【例2】设定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,
6、2)时，f(x)2xx2，则f(0)f(1)f(2)f(2 016)_.【解析】f(x2)f(x)，函数f(x)的周期T2.又当x0,2)时，f(x)2xx2，所以f(0)0，f(1)1，所以f(0)f(2)f(4)f(2 016)0.f(1)f(3)f(5)f(2 015)1.故f(0)f(1)f(2)f(2 016)1 008.【答案】1 0081若将“f(x2)f(x)”改为“f(x1)f(x)”，则结论如何？解：f(x1)f(x)，f(x2)f(x1)1f(x1)f(x)故函数f(x)的周期为2.由本例可知，f(0)f(1)f(2)f(2 016)1 008.2若将“f(x2)f(x)
7、”改为“f(x1)”，则结论如何？解：f(x1)，f(x2)f(x1)1f(x)故函数f(x)的周期为2.由本例可知，f(0)f(1)f(2)f(2 016)1 008.【总结反思】(1)判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期.(1)(2017晋中模拟)已知f(x)是R上的奇函数，f(1)2，且对任意xR都有f(x6)f(x)f(3)成立，则f(2 017)_.(2)
8、设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1上，f(x)其中a，bR.若ff，则a3b的值为_解析：(1)f(x)是R上的奇函数，f(0)0，又对任意xR都有f(x6)f(x)f(3)，当x3时，有f(3)f(3)f(3)0，f(3)0，f(3)0，所以有f(x6)f(x)，周期为6.故f(2 017)f(1)2.(2)因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以ff，且f(1)f(1)，故ff，所以a1，即3a2b2.由f(1)f(1)，得a1，即b2a.由得a2，b4，从而a3b10.答案：(1)2(2)10热点三 函数奇偶性的应用 考向1利用奇偶性求值【例3】已知f(x)sin
9、x，则f(4)f(3)f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)的值是_.【解析】因为f(x)1sinx是奇函数，所以f(x)1f(x)11f(x)，故f(x)f(x)2，且f(0)1，所以f(4)f(3)f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(4)f(4)f(3)f(3)f(2)f(2)f(1)f(1)f(0)2419.【答案】9考向2奇偶性与单调性的结合【例4】(2017新疆乌鲁木齐诊断)已知偶函数f(x)在区间0，)单调递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围是()A. B.C. D.【解析】f(x)是偶函数，f(x)f(|x|)，f(|2x1|)f，再
10、根据f(x)的单调性，得|2x1|，解得x0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的值为()A8 B8C0 D4【解析】f(x4)f(x)，f(x8)f(x)，函数f(x)是以8为周期的周期函数，又由f(x4)f(x)可得f(x2)f(x6)f(x2)，因为f(x)是奇函数，所以f(x2)f(x2)f(2x)，所以f(x)的图象关于x2对称，结合在0,2上为增函数，可得函数的大致图象如图，由图看出，四个交点中的左边两个交点的横坐标之和为2(6)，另两个交点的横坐标之和为22，所以x1x2x3x48.故选B.【答案】B【总结反思】函数性质综合应用问题的常见类型及
11、解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性(2)周期性与奇偶性结合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解(3)周期性、奇偶性与单调性结合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.(1)(2017山东青岛一模)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x1)为偶函数，且f(1)2，则f(4)f(5)的值为()A2 B1C1 D2(2)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知当x0,1时，f(x)1x，则下列命题
12、：2是函数f(x)的周期；函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；函数f(x)的最大值是1，最小值是0；当x(3,4)时，f(x)x3.其中正确命题的序号是_解析：(1)f(x1)为偶函数，f(x)是奇函数，f(x1)f(x1)，f(x)f(x)，f(0)0，f(x1)f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x22)f(x2)f(x)，则f(4)f(0)0，f(5)f(1)2.f(4)f(5)022，故选A.(2)由已知条件得f(x2)f(x)，则f(x)是以2为周期的周期函数，正确当1x0时，0x1.f(x)f(x)1x，函数yf(x)的图象如图所示，由图象知正确，不正确当3x4时，1x40，f(x)f(x4)x3，因此正确答案：(1)A(2)1判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2判断函数f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个x，均有f(x)f(x)，而不能说存在x0使f(x0)f(x0)对于偶函数的判断以此类推3若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(xa)f(x)或f(xa)或f(xa)(a是常数且a0)，则f(x)是一个周期为2a的周期函数