1、第4讲数列求和, 学生用书P104)1等差数列的前n项和公式Snna1d2等比数列的前n项和公式Sn3一些常见数列的前n项和公式(1)1234n；(2)1357(2n1)n2；(3)24682nn2n1辨明两个易误点(1)使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点(2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解2数列求和的常用方法(1)倒序相加法如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的
2、前n项和即是用此法推导的(2)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(4)分组转化法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减(5)并项求和法一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解1数列an的前n项和为Sn，已知Sn1234(1)n1n，则S17()A9B8C17 D1
3、6A解析 S171234561516171(23)(45)(67)(1415)(1617)11119.2数列an的通项公式为anncos，其前n项和为Sn，则S2 017等于()A1 002 B1 004C1 006 D1 008D解析 因为数列anncos呈周期性变化，观察此数列规律如下：a10，a22，a30，a44.故S4a1a2a3a42.因此S2 017S2 016a2 017(a1a2a3a4)(a2 009a2 010a2 011a2 012)(a2 013a2 014a2 015a2 016)a2 0172a11 008.3若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n
4、项和为_解析 Sn2n12n2.答案 2n1n224已知数列an的前n项和为Sn且ann2n，则Sn_.解析 Sn12222323n2n，所以2Sn122223324n2n1，得Sn222232nn2n1n2n1，所以Sn(n1)2n12.答案 (n1)2n12分组转化法求和学生用书P104典例引领已知数列an的前n项和Sn，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an(1)nan，求数列bn的前2n项和【解】(1)当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1n.a1也满足ann，故数列an的通项公式为ann.(2)由(1)知ann，故bn2n(1)nn.记数列bn的前2n项和为T
5、2n，则T2n(212222n)(12342n)记A212222n，B12342n，则A22n12，B(12)(34)(2n1)2nn.故数列bn的前2n项和T2nAB22n1n2.分组转化法求和的常见类型(1)若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和；(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和已知数列an的通项公式是an23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，求其前n项和Sn.解 Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3，所以当n为偶数时，Sn2ln 33
6、nln 31；当n为奇数时，Sn2(ln 2ln 3)ln 33nln 3ln 21.综上所述，Sn裂项相消法求和(高频考点)学生用书P105裂项相消法求和是每年高考的热点，题型多为解答题，难度适中，属中档题高考对裂项相消法的考查主要有以下两个命题角度：(1)形如an型的数列求和；(2)形如an型的数列求和典例引领(2015高考全国卷)Sn为数列an的前n项和已知an0，a2an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和【解】(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.，得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由an0
7、，得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an2n1，nN*.(2)由an2n1可知bn.设数列bn的前n项和为Tn，则Tnb1b2bn.利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；或者前面剩几项，后面也剩几项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等如：若an是等差数列，则，. 题点通关 角度一形如an型的数列求和1(2017长春质量监测)等差数列an的前n项和为Sn，且满足a1a79，S9.(1)求数列an的通项公
8、式；(2)设bn，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn.解 (1)设数列an的公差为d，则由已知条件可得：解得于是可求得an.(2)证明：由(1)知，Sn，故bn，故Tn，又因为. 角度二形如an型的数列求和2(2017江南十校联考)已知函数f(x)xa的图象过点(4，2)，令an，nN*.记数列an的前n项和为Sn，则S2 017()A1B1C1 D 1C解析 由f(4)2可得4a2，解得a.则f(x)x.所以an，S2 017a1a2a3a2 017()()()( )()1.错位相减法求和学生用书P105典例引领(2016高考山东卷)已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且
9、anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式；(2)令cn.求数列cn的前n项和Tn.【解】(1)由题意知当n2时，anSnSn16n5，当n1时，a1S111，所以an6n5.设数列bn的公差为d，由得可解得b14，d3.所以bn3n1.(2)由(1)知cn3(n1)2n1.又Tnc1c2cn，所以Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2，两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n233n2n2，所以Tn3n2n2.错位相减法求和策略(1)如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列bn的
10、公比，然后作差求解(2)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解 已知数列an是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(an1)2an，求数列bn的前n项和Tn.解 (1)设数列an的公差为d.令n1，得，所以a1a23.令n2，得，所以a2a315.解得a11，d2，所以an2n1.(2)由(1)知bn2n22n1n4n，所以Tn141242n4n，所以4Tn142243n4n1，两式相减，得3Tn4
11、1424nn4n1n4n14n1.所以Tn4n1., 学生用书P106)数列求和(本题满分12分)(2016高考全国卷甲)等差数列an中，a3a44，a5a76.(1)求an的通项公式；(2)设bnan，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，2.62.思维导图(1)(2)(1)设数列an的公差为d，由题意有2a15d4，a15d3.解得a11，d.(3分)所以an的通项公式为an.(5分)(2)由(1)知，bn(6分)当n1，2，3时，12，bn1；当n4，5时，23，bn2；当n6，7，8时，34，bn3；当n9，10时，41，且3(an2an)10an10(nN
12、*)(1)求数列an的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列bn的通项公式和前n项和Sn.解 (1)因为3(an2an)10an10，所以3(anq2an)10anq0，即3q210q30.因为公比q1，所以q3.又首项a13，所以数列an的通项公式为an3n.(2)因为是首项为1，公差为2的等差数列，所以bnan12(n1)即数列bn的通项公式为bn2n13n1，前n项和Sn(13323n1)13(2n1)(3n1)n2.12在等差数列an中，a10，a10a110，a10a110可知d0，a110，所以T18a1a10a11a18S10(S18S10)60.答案 6013
13、数列an的前n项和为Sn2n12，数列bn是首项为a1，公差为d(d0)的等差数列，且b1，b3，b9成等比数列(1)求数列an与bn的通项公式；(2)若cn(nN*)，求数列cn的前n项和Tn.解 (1)当n2时，anSnSn12n12n2n，又a1S12112221，也满足上式，所以数列an的通项公式为an2n.则b1a12.由b1，b3，b9成等比数列，得(22d)22(28d)，解得d0(舍去)或d2，所以数列bn的通项公式为bn2n.(2)由(1)得cn，所以数列cn的前n项和Tn11.14(2017广西玉林、贵港联考)已知数列an中，a13，a25，且an1是等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)若bnnan，求数列bn的前n项和Tn.解 (1)因为an1是等比数列且a112，a214，所以2，所以an122n12n，所以an2n1.(2)bnnann2nn，故Tnb1b2b3bn(12222323n2n)(123n)，令A12222323n2n，则2A122223324n2n1，两式相减得A222232nn2n1n2n1，所以A2(12n)n2n12(n1)2n1.又因为123n，所以Tn(n1)2n1.
