1、专练 33 高考大题专练(三)数列的综合运用 1.2021全国乙卷记 Sn 为数列an的前 n 项和,bn 为数列Sn的前 n 项积,已知2Sn 1bn2.(1)证明:数列bn是等差数列;(2)求an的通项公式2.2020全国卷设数列an满足 a13,an13an4n.(1)计算 a2,a3,猜想an的通项公式并加以证明;(2)求数列2nan的前 n 项和 Sn.3.2021全国甲卷已知数列an的各项均为正数,记 Sn 为an的前 n 项和,从下面中选取两个作为条件,证明另外一个成立数列an是等差数列;数列 Sn是等差数列;a23a1.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.4.20
2、21河南信阳高三测试设数列an的前 n 项和为 Sn,a12,an12Sn.(nN*)(1)求数列an的通项公式;(2)设 bn1log2(an)2,求证数列1bnbn1 的前 n 项和 Tn16.5.2020全国卷设an是公比不为 1 的等比数列,a1 为 a2,a3 的等差中项(1)求an的公比;(2)若 a11,求数列nan的前 n 项和专练 33 高考大题专练(三)数列的综合运用1解析:(1)因为 bn 是数列Sn的前 n 项积,所以 n2 时,Sn bnbn1,代入2Sn 1bn2 可得,2bn1bn 1bn2,整理可得 2bn112bn,即 bnbn112(n2)又 2S11b1
3、3b12,所以 b132,故bn是以32为首项,12为公差的等差数列(2)由(1)可知,bnn22,则2Sn 2n22,所以 Snn2n1,当 n1 时,a1S132,当 n2 时,anSnSn1n2n1n1n 1nn1.故 an32,n11nn1,n2.2解析:(1)a25,a37.猜想 an2n1.由已知可得an1(2n3)3an(2n1),an(2n1)3an1(2n1),a253(a13)因为 a13,所以 an2n1.(2)由(1)得 2nan(2n1)2n,所以 Sn32522723(2n1)2n.从而 2Sn322523724(2n1)2n1.得Sn3222222322n(2n1
4、)2n1.所以 Sn(2n1)2n12.3解析:.已知an是等差数列,a23a1.设数列an的公差为 d,则 a23a1a1d,得 d2a1,所以 Snna1nn12dn2a1.因为数列an的各项均为正数,所以 Snn a1,所以 Sn1 Sn(n1)a1n a1 a1(常数),所以数列 Sn是等差数列.已知an是等差数列,Sn是等差数列设数列an的公差为 d,则 Snna1nn12d12n2da1d2 n.因为数列 Sn是等差数列,所以数列 Sn的通项公式是关于 n 的一次函数,则 a1d20,即 d2a1,所以 a2a1d3a1.已知数列 Sn是等差数列,a23a1,所以 S1a1,S2a
5、1a24a1.设数列 Sn的公差为 d,d0,则 S2 S1 4a1 a1d,得 a1d2,所以 Sn S1(n1)dnd,所以 Snn2d2,所以 anSnSn1n2d2(n1)2d22d2nd2(n2),是关于 n 的一次函数,所以数列an是等差数列4解析:(1)an12Sn(nN*)当 n2 时,an2Sn1,an1anSnSn1an,an12an(n2),又 a22a14,又 a12,a22a1,an是以 2 为首项以 2 为公比的等比数列,an22n12n.(2)证明:bn1log2(an)2,则 bn2n1,1bnbn11212n112n3,Tn121315151712n112n3121312n3 16122n316.5解析:(1)设an的公比为 q,由题设得 2a1a2a3,即 2a1a1qa1q2.所以 q2q20,解得 q11(舍去),q22.故an的公比为2.(2)记 Sn 为nan的前 n 项和由(1)及题设可得,an(2)n1.所以 Sn12(2)n(2)n1,2Sn22(2)2(n1)(2)n1n(2)n.可得 3Sn1(2)(2)2(2)n1n(2)n12n3n(2)n.所以 Sn193n12n9.