1、加练课2 实系数二次方程实根分布问题中的参数问题基础达标练1.若方程mx2-3x+2mx+m=0(m0) 有两个相异的正实数解，则实数m 的取值范围是( )A.(32,+) B.(0,32)C.(0,34) D.(34,+)答案：C2.关于x 的不等式x2-ax-20a20 的任意两个解的差不超过9，则实数a 的最大值与最小值的和为( )A.2 B.1 C.0 D.-1答案：C3.（多选）若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m 有实数根x1,x2 ，且x1x2 ，则下列结论中正确的有( )A.当m=0 时，x1=2,x2=3B.m-14C.当m0 时，2x1x23D.当m0 时，x12
2、3x2答案：A ; B ; D解析：选项A中，当m=0 时，方程为(x-2)(x-3)=0 ，解得x1=2,x2=3 ，所以A中结论正确；选项B中，将一元二次方程整理可得x2-5x+6-m=0 ，则=25-4(6-m)0 ，解得，所以B中结论正确；当m0 时，因为方程(x-2)(x-3)=m 有两个不等实根，所以函数f(x)=(x-2)(x-3) 的图象与直线y=m 有两个不同的交点，作出函数f(x)=(x-2)(x-3) 的图象，如图，可得x123x2 ，所以D中结论正确，C中结论不正确.故选ABD.4.关于x 的方程3x2+6x+m=0 有两个负实数根x1,x2, 则整数m 的值为( )A
3、.2,5 B.2,4 C.1,2,3 D.0,1,2答案：C解析： 关于x 的方程3x2+6x+m=0 有两个负实数根x1,x2,=62-43m0 ，即36-12m0 ，解得m3,x1+x2=-2,x1x2=m30,m0, 整数m=1,2,3 .故选C.5.已知一元二次方程x2+(m+1)x+12=0(mZ) 有两个实数根x1,x2 ，且0x11x23 ，则m 的值为( )A.-3 B.-3或-4 C.-4或3 D.-4答案：B解析：因为一元二次方程x2+(m+1)x+12=0(mZ) 有两个实数根x1,x2 ，且0x11x20,k2,k13,0k13 .故选A.12.如果关于x 的方程x2-
4、ax+a2-3=0 至少有一个正根，那么实数a 的取值范围是( )A.-2a2 B.3a2C.-3a2 D.-3a2答案：C解析：由题意得=a2-4(a2-3)=12-3a2 ，当方程的两根相等时，=0 ，此时a=2 ，若a=2, 则x2-2x+1=0 的根为x=1 ，符合题意；若a=-2 ，则x2+2x+1=0 的根为x=-1 ，不符合题意.当方程有两个不等实根时，由0 可得-2a2 ，若方程的两个不等实根中有一个正根，一个负根或零根，则a2-30 ，解得-3a3 ，a=-3 时，方程x2-ax+a2-3=0 没有正根，不符合题意，故-3a3 ，符合题意；若方程有两个不相等的正根，则a0,a
5、2-30, 解得a3 ，则3a2 .综上可得，-3a2 .故选C.13.若关于x 的方程x2-(2m-3)x+m-4=0 的两根为1,2 ，且满足-31-2,20 ，则实数m 的取值范围是 .答案： (47,65)解析：依题意，二次函数y=x2-(2m-3)x+m-4 的大致图象如图所示，当x=0 时，y=m-40 ，当x=-2 时，y=4+4m-6+m-40 ，当x=-3 时，y=9+6m-9+m-40 ，解得47m65 .故实数m的取值范围是(47,65) .14.要使方程x4+(m-4)x2+2(1-m)=0 恰有一个不小于2的实根，那么m 的取值范围是 .答案：(-,-1解析：设y=x
6、2 ，则原方程为y2+(m-4)y+2(1-m)=0 ，设f(y)=y2+(m-4)y+2(1-m),=(m-4)2-8(1-m)=m2-8m+16-8+8m=m2+80 ， 方程y2+(m-4)y+2(1-m)=0 有两个不等实根，且函数f(y) 的图象开口向上. 方程x4+(m-4)x2+2(1-m)=0 恰有一个不小于2的实根， 方程y2+(m-4)y+2(1-m)=0 恰有一个不小于4的实根，或f(4)=16+4(m-4)+2(1-m)0 ，解得m-1 ，m 的取值范围是(-,-1 .15.求实数m 的取值范围，使关于x 的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0 ：（1）有两个实根，且
7、一个比2大，一个比2小；（2）有两个实根, ，且满足014 ；（3）至少有一个正根.答案：（1）设y=f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6 .依题意有f(2)0,2(m-1)-20,即m-1或m5,m-3,m1,-3m-1 .有一个正根，一个负根，此时可得f(0)0 ，解得m-3 .有一个正根，另一根为0，此时可得6+2m=0,-(m-1)0,m=-3 .综上所述，实数m 的取值范围是(-,-1 .创新拓展练16.已知二次函数f(x)=x2+2bx+c(b,cR) .（1）若f(x)0 的解集为x|-1x1 ，求实数b,c 的值；（2）若f(x) 满足f(1)=0 ，且关于x 的方程f(x
8、)+x+b=0 的两个实根分别在区间(-3,-2)和(0,1)内，求实数b 的取值范围.解析：命题分析本题考查一元二次不等式及其应用，考查一元二次方程的根与系数的关系，利用数形结合思想解决问题.答题要领（1）利用不等式的解集的两个端点值和对应方程的根的关系求出b,c 的值即可.（2）先由f(1)=0 得到关于b,c 的关系式c=-2b-1 ，代入f(x)+x+b=0 得x2+(2b+1)x-b-1=0 ，令g(x)=x2+(2b+1)x-b-1,g(x) 的图象与x 轴的交点在区间(-3，-2)和(0,1)内，画出对应图象，借助图象找到函数满足的条件，进而求出实数b 的取值范围.答案：详细解析
9、（1）因为f(x)0 的解集为x|-1x1 ，所以x2+2bx+c=0 的根为-1,1故-1+1=-2bb=0,(-1)1=cc=-1 ，所以b=0,c=-1 （2）因为f(1)=0 ，所以1+2b+c=0c=-2b-1 ，所以f(x)+x+b=0x2+(2b+1)x-b-1=0 令g(x)=x2+(2b+1)x-b-1 ，作出y=g(x) 的大致图象，如图所示，f(x)+x+b=0 的两个实根分别在区间(-3,-2)和(0,1)内，g(0)0,g(1)0,g(-3)0,g(-2)0b-1,b-1,b57,b1515b57 ，故实数b的取值范围是(15,57) .方法感悟一元二次方程根的分布问题可以用根与系数的关系和二次函数法来解决，根与系数的关系从代数角度出发，更为简洁易懂，但只能解决与零有关的根的分布问题，有一定的局限性；二次函数法从图象角度出发，情况更为多变，可以解决大部分的根的分布问题，适用范围更广泛，更为实用.解题时紧紧以函数图象为中心，将方程的根用图象直观的画出来，或数形结合或等价转化，将函数、方程、不等式视为一个统一整体，另外，要重视参数的分类讨论对图形的影响.