1、瑞安中学2015学年高二第一学期期中考试数学试卷 命题人： 戴雪燕、池仁访 审卷人： 郑珏、胡云华参考公式： 棱柱的体积公式 ，其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高棱锥的体积公式 ，其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高 棱台的体积公式 ，其中S1、S2分别表示棱台的上、下底面积， 表示高 球的表面积公式 球的体积公式 其中表示球的半径 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1在直角坐标系中，直线x -y + 3 = 0的倾斜角是（ ）A.30 B.45 C.60 D.902两圆与的位置关系是（） A. 内含 B相交 C相切 D相离 3
2、. 已知不同直线，不同平面，则下列命题正确的是（ ） A若，则B若，则C若，则D若，则4如图，在正方体中，异面直线与所 成的角为（ ） A B C D （第4题）5一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的高为（ ） A1 B C2 D6点P在直线l：上运动，A(4,1)，则的最小 值是（ ） A B C3 D4 7如图，M、N分别是BC、AB 的中点，将沿直线MN折起，使二面角 的大小为，则与平面ABC所成 角的正切值是（ ） A. B. C. D. （第7题） 8已知边长为1的正方形 与所在的平面互相垂直,点 分别是线 段、上的动点（包括端点），设线段 的中点的轨迹为，则的
3、长度为（ ） A. B. C. D. （第8题）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9. 在空间直角坐标系 中，点A（1，2，2），则 ，点A到坐标平面的距离是10已知直线l1：与l2： 相交于点P，若l1l2， 则a= ，此时点P的坐标 为 11某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的4个 面中，直角三角形的个数是 个，它的表面 积是 12在长方体中， (第11题) ，点在棱上移动，则直线与 所成角的大小是，若，则 13已知圆，当变化时，圆上的 点与原点的最短距离是 14. 在正三棱柱中，各棱长均相等，的 交点为，则直线与平面所成角的大小是_15已知点，圆:，
4、过点的直线与圆 交于两点， 线段的中点为（不同于P）， （第14题） 若，则的方程是 （第15题）三、解答题（本大题共5小题，共74分）16.（本小题满分14分）C1ABA1B1D1CDMN 如图，已知正方体的棱长为3，分别是棱，上 的点，且 （）证明：，四点共面； （）求几何体 的体积17（本小题满分15分） 设直线的方程为 （）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； （）若与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求的值18（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，侧面底面 ，分别为，的中点， ， （）求证：平面； （）求证：平面平面19（本小题满分15分） 如图所示，正方形中， 分
5、别是的中点, 将 沿折起,使 . （）证明：平面； （）求二面角的余弦值20（本小题满分15分） 如图，已知圆的圆心在轴的正半轴上，且与 轴相切，圆与直线 相交于两点当时, （）求圆的方程； （）当取任意实数时,问：在 轴上是否存 在定点 ，使得始终被轴平分？若 存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由 附加题（本小题满分15分，实验班学生做) 已知椭圆的离心率为，且它的一个焦点的坐标为. （）求椭圆的标准方程； （）设过焦点的直线与椭圆相交于A,B两点，是椭圆上不同于A,B的动点， 试求的面积的最大值瑞安中学2015学年高二第一学期期中考试数学试卷评分标准一、选择题（本大题共8小题，每小题5
6、分，满分40分） ABDC BCDA二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9. 3，1 10. 1, 11. 2， 12. ，1 13.1 C1ABA1B1D1CDMN14. 15. 三、解答题（本大题共5小题，共74分）16.解：（）证明：又且连接，则四边形是平行四边形所以 3分在中，所以 ， 所以 6分所以，所以，四点共面 7分（）因为平面平面，又，四点共面所以平面平面延长与相交于点，因为所以，即，解得，同理可得，所以点与点重合所以，三线相交于一点，所以几何体是一个三棱台 10分所以 14分17 解（）由题意知，即1分当直线过原点时，该直线在两条坐标轴上的截
7、距都为0，此时，直线的方程为；3分当直线不过原点时，即时，由截距相等，得，即，直线的方程为，综上所述，所求直线的方程为或7分（）由题意知，且在x轴，y轴上的截距分别为 9分由题意知， 即11分当时，解得13分当时，解得，综上所述或15分18证明： （）连结，因为底面是正方形，所以是中点在中，又是中点， 所以 4分又因为平面，平面，所以平面 7分（）在中，因为，由余弦定理得： 所以 10分因为面底面，且面面， 又平面所以面 13分因为面所以平面平面 15分19（）证明：设正方体的棱长为2， 在中，所以 2分面 面 所以在中，得 5分在中，又 又面 7分（）取的中点H，则，由（）知，面， 所以面面
8、，所以面，作，垂足为O，连接，由三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角. 11分在中，所以，所以 所以二面角的余弦值为. 15分20 解（）设圆心C(0,b)，0，则半径r=b， 2分 则圆心C(0,b)到 的距离 5分得或（舍）所以圆的方程为 7分 （）假设存在点，设 联立方程组 得则 10分由 即 12分对取任意实数时都成立，所以即 故存在定点，使得始终被轴平分. 15分附加题（本小题满分15分，实验班学生做)解:(）设椭圆的半焦距为，则又由，可解得，所以，所以，椭圆的标准方程为 -6分（）设过焦点的直线为若的斜率不存在，则，即，显然当在短轴顶点或时，的面积最大，此时，的最大面积为. -8分若的斜率存在，不妨设为，则的方程为设联立方程：消去整理得：， 所以则- 10分因为，当直线与平行且与椭圆相切时，此时切点到直线的距离最大，设切线，联立消去整理得：，由，解得：又点到直线的距离，所以， -12分所以.将代入得令，设函数，则，因为当时，当时，所以在上是增函数，在上是减函数，所以故时，面积最大值是-14分 显然，所以，当的方程为时，的面积最大，最大值为-15分