1、第三节函数的奇偶性与周期性学习要求:1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.了解周期性、最小正周期的概念和几何意义.3.会运用函数的图象判断函数的奇偶性.4.会判断、应用简单函数的周期性.1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x
2、)为周期函数,T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期.知识拓展1.奇(偶)函数定义的等价形式(1)f(-x)=f(x)f(-x)-f(x)=0f(-x)f(x)=1f(x)为偶函数,其中f(x)0.(2)f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0f(-x)f(x)=-1f(x)为奇函数,其中f(x)0.2.函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有:奇
3、奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.3.函数周期性的常用结论对f(x)的定义域内任意自变量x:(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a0).(2)若f(x+a)=1f(x),则T=2a(a0).1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)函数y=x2在x(0,+)上是偶函数.()(2)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-x)+f(x)=0.()(3)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.()答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材人教A版必修第一册P84例6改编)函数f(x)=1x-x的图象关
4、于()A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称答案Cf(-x)=-1x+x=-1x-x=-f(x),且定义域为(-,0)(0,+),f(x)为奇函数.f(x)的图象关于坐标原点对称.3.已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数,那么a+b的值是()A.-13B.13C.12D.-12答案B因为f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数,所以a-1+2a=0,所以a=13.又f(-x)=f(x),所以b=0,所以a+b=13.4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x(-,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=.答案12解析依题意得f
5、(-2)=2(-2)3+(-2)2=-12,又函数f(x)是奇函数,所以f(2)=-f(-2)=12.5.(2019课标全国,14,5分)已知f(x)是奇函数,且当x0可得-x0时,f(x)=-f(-x)=-ea(-x)=e-ax,则f(ln2)=e-aln2=8,-aln2=ln8=3ln2,a=-3.6.若f(x)是定义在R上的周期为3的函数,且f(x)=x2+x+a,0x2,-6x+18,2x3,则f(a+1)的值为.答案2解析因为f(x)是定义在R上的周期为3的函数,所以f(0)=f(3),所以a=0,所以f(a+1)的值为12+1+0=2.函数的奇偶性典例1已知函数f(x)=x3+s
6、inx+1(xR),若f(a)=2,则f(-a)的值为()A.3B.0C.-1D.-2答案B典例2判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=2x+12x-1;(2)f(x)=log2(1+4x)-x;(3)f(x)=log2(9x2+1-3x).解析(1)因为f(x)的定义域为(-,0)(0,+),其关于原点对称,且f(-x)=2-x+12-x-1=12x+112x-1=1+2x1-2x=-f(x),所以f(x)为奇函数.(2)因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=log2(1+4-x)+x=log21+4x4x+x=log2(1+4x)-log24x+x=log2(1+4x)-x=f(x),所
7、以f(x)为偶函数.(3)因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=log2(9x2+1+3x)=log219x2+1-3x=-f(x),所以f(x)为奇函数.规律总结1.判断函数奇偶性的两个必备条件(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断函数奇偶性的过程中,可以将问题转化为f(x)+f(-x)或f(x)-f(-x)的形式,看f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.2.利用函数的奇偶性可解决的4个问题(1)求函数值:将待求函数值利用奇偶性转化到已知区间上求函数值
8、.(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求解析式.(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程或方程组,进而得出参数的值.(4)画函数图象:利用奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象.1.(2020浙江,4,4分)函数y=xcosx+sinx在区间-,上的图象可能是()答案A设f(x)=xcosx+sinx,定义域关于原点对称,且满足f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除C、D;又f()=cos+sin=-,排除B,故选A.2.若函数f(x)=(k-2)x2+(k
9、-1)x+2是定义在a,b上的偶函数,则k+a+b=.答案13.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=3x+3-x;(2)f(x)=12x-1+12;(3)f(x)=x2+x,x0.解析(1)因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=3-x+3x=f(x),所以f(x)为偶函数.(2)因为f(x)的定义域为(-,0)(0,+),其关于原点对称,且f(-x)=12-x-1+12=2x1-2x+12,f(-x)+f(x)=0,所以f(x)为奇函数.(3)显然函数f(x)的定义域为(-,0)(0,+),其关于原点对称.当x0,则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);当x0时,-x0,则
10、f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).综上可知,对于定义域内任意的x,总有f(-x)=-f(x),函数f(x)为奇函数.函数的周期性典例3设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意的实数x,恒有f(x+2)=-f(x),当x0,2时,f(x)=2x-x2.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)计算:f(0)+f(1)+f(2)+f(2020).解析(1)因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x).所以f(x)的最小正周期为4.(2)f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-1.又因为f(x)是周期为4的周期函数,所以
11、f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=f(2016)+f(2017)+f(2018)+f(2019)=0,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(2020)=f(2020)=f(0)=0.变式探究1若本典例中条件变为“f(x+2)=1f(x)”,求函数f(x)的最小正周期.解析因为对任意xR,都有f(x+2)=1f(x),所以f(x+4)=f(x+2+2)=1f(x+2)=11f(x)=f(x),所以f(x)的最小正周期为4.变式探究2若本典例条件变为“f(x+2)=-1f(x)”,求函数f(x)的最小正周期.解析因为对任意xR,都有f(x+2)=-1f
12、(x),所以f(x+4)=f(x+2+2)=-1f(x+2)=-1-1f(x)=f(x),所以f(x)的最小正周期为4.变式探究3在本典例条件下,求f(x)(x2,4)的解析式.解析当x-2,0时,-x0,2,由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-2x-x2,所以f(x)=x2+2x,x-2,0.又当x2,4时,x-4-2,0,所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.故x2,4时,f(x)=x2-6x+8.方法技巧函
13、数周期性的判断与应用(1)判断:判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T0),便可得函数是周期函数,且周期为T.(2)应用:根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数整体的性质,在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(kZ且k0)也是函数的周期.1.(2020湖北武汉二中模拟)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(xR),且在区间(-2,2上,f(x)=cosx2,0x2,x+12,-2x0, 则f(f(15)的值为.答案22解析f(x+4)=f(x),函数f(x)的周期为4,f(15)=f(-1)=12,f12=cos4=22,f(f(15)=f12=22.2
14、.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0x2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为.答案7解析当0x2时,令f(x)=x3-x=x(x2-1)=0,所以y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1=0,x2=1.当2x4时,0x-22,又f(x)的最小正周期为2,所以f(x-2)=f(x),所以f(x)=(x-2)(x-1)(x-3),所以当2x4时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3=2,x4=3.同理可得,当4x6时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x5=4,x6=5.当x7=6时,也符合题意.综上可知,共有7
15、个交点.函数性质的综合应用角度一函数的单调性与奇偶性的综合问题典例4(1)已知偶函数f(x)在0,+)上单调递减,f(1)=-1,若f(2x-1)-1,则x的取值范围是()A.(-,-1B.1,+)C.0,1D.(-,01,+)(2)已知函数f(x)=ex-e-x+x3,则不等式f(2x+1)+f(4-x)0,所以函数f(x)是定义域上的增函数,所以由f(2x+1)-f(4-x)=f(x-4),得2x+1x-4,所以x0的解集是()A.-,23(2,+)B.23,2C.-23,23D.-,-2323,+答案D因为f(x+2)是偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=2对称,所以由f(0)=0得f
16、(4)=0,又f(x)在(-,2)上单调递减,所以f(x)在2,+)上单调递增,当2-3x2即x0时,由f(2-3x)0得f(2-3x)f(4),所以2-3x4,解得x-23;当2-3x0时,由f(2-3x)0得f(2-3x)f(0),所以2-3x23,综上所述,f(2-3x)0的解集是-,-2323,+.3.函数y=f(x)满足对任意xR都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2016)+f(2017)+f(2018)的值为.答案4解析y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,f(x)为
17、奇函数.又f(x+2)=f(-x),f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x),y=f(x)是以4为周期的周期函数.f(2016)=f(5044)=0,f(2017)=f(5044+1)=f(1)=4,f(2018)=f(5044+2)=f(2)=-f(0)=0.故答案为4.微专题抽象函数的性质及应用抽象函数是高中数学的难点,也是近几年考试中的热点和重点,尤其函数的奇偶性、周期性、对称性结合的题目往往都比较难,让人感觉无从下手.抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数,所以做抽象函数的题目需要有逻辑思维能力、丰富的想象力以及灵活运用函数知识的能
18、力.角度一抽象函数的单调性典例1(2020甘肃静宁一中校级期末)已知偶函数f(x)在区间(-,0上单调递减,则满足f(2x-1)f(x)的x的取值范围是()A.1,+)B.(-,1C.-,131,+)D.13,1答案D根据题意,偶函数f(x)在区间(-,0上单调递减,则f(x)在0,+)上单调递增,则f(2x-1)f(x)f(|2x-1|)f(|x|)|2x-1|x|(2x-1)2x2,解得13x1,即x的取值范围是13,1.故选D.根据题意,结合函数的奇偶性与单调性分析可得f(2x-1)f(x)f(|2x-1|)f(|x|)|2x-1|x|(2x-1)2x2,解得x的取值范围.典例2(201
19、9湖北武汉期末)若a=67-14,b=7615,c=log278,定义在R上的奇函数f(x)满足:对任意的x1,x20,+)且x1x2,都有 f(x1)-f(x2)x1-x20,则f(a),f(b),f(c)的大小顺序为()A.f(b)f(a)f(b)f(a)C.f(c)f(a)f(b)D.f(b)f(c)f(a)答案B根据题意,函数f(x)满足:对任意的x1,x20,+)且x1x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x20,则f(x)在0,+)上为减函数,又f(x)为定义在R上的奇函数,所以函数f(x)在(-,0上为减函数,所以函数f(x)在R上为减函数,因为c=log278b0c,故f(c)
20、f(b)f(a).故选B.根据题意,由函数单调性的定义可得f(x)在0,+)上为减函数,结合函数的奇偶性可得函数f(x)在R上为减函数,又由题意可得ab0c,再结合函数的单调性分析可得答案.(2020天津第二十五中学3月模拟)已知定义在R上的函数f(x),若函数y=f(x+2)为偶函数,且f(x)对任意的x1,x22,+)(x1x2),都有 f(x2)-f(x1)x2-x10,若f(a)f(3a+1),则实数a的取值范围是()A.-12,34B.-2,-1C.-,-12D.34,+答案A因为函数y=f(x+2)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,因为f(x)对任意的x1,x22
21、,+)(x1x2),都有 f(x2)-f(x1)x2-x10,若f(1)=4,则f(2019)+f(2020)=()A.34B.2C.52D.4答案A根据题意,f(x+1)=f(x)f(x+2),则有f(x+2)=f(x+1)f(x+3),变形可得f(x+2)=f(x)f(x+2)f(x+3),又f(x)0,所以f(x)f(x+3)=1,所以f(x+3)=1f(x),故f(x+6)=1f(x+3)=f(x),即函数f(x)是周期为6的周期函数,则f(2019)=f(3+3366)=f(3),f(2020)=f(4+3366)=f(4),故f(2019)+f(2020)=f(3)+f(4).由f
22、(x+3)=1f(x),令x=1可得f(4)=1f(1)=14;由f(x+1)=f(x)f(x+2)和f(x+2)=f(-x),令x=0可得f(1)=f(0)f(2)=4且f(0)=f(2),f(x)0,则f(0)=f(2)=2,则f(3)=1f(0)=12,故f(3)+f(4)=14+12=34.故选A.根据题意,由f(x+1)=f(x)f(x+2)分析可得f(x+2)=f(x+1)f(x+3),进而可得f(x+3)=1f(x),则有f(x+6)=1f(x+3)=f(x),即函数f(x)是周期为6的周期函数,进而可得f(2019)+f(2020)=f(3)+f(4),再利用赋值法求得f(3)
23、和f(4),最后相加即可得答案.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续的,满足f(1-x)=f(1+x),f(-x)=-f(x),且f(x)在0,1上单调递增,若a=f(log23),b=f(10),c=f(2020),则()A.abcB.acbC.cbaD.bc0,b0,又f(2020)=f(5054)=f(0)=0,所以c=0,故bc0),-1x(x0),-1x(x0时,h(x)=log20x,因为偶函数f(x)的图象关于x=32对称,所以f(-x)=f(x)且f(x)=f(3-x),则f(3+x)=f3-(3+x)=f(-x)=f(x),即f(x)是T=3的周期函数,所以x=3k2(k
24、Z)为f(x)图象的对称轴,又因为当x0,32时,f(x)=x,所以f(20)=f(21-1)=f(-1)=f(1)=1=h(20),当x0,20时,f(x),h(x)在同一坐标系中的图象如图所示,可知f(x)与h(x)在0,20上有13个交点,即g(x)在0,20上有13个零点,又因为g(x)是偶函数,所以g(x)在-20,20上共有26个零点.故选B.令h(x)=log20|x|,根据函数f(x)、h(x)为偶函数,可判断g(x)为偶函数,进而判断出f(x)的周期为3,题目等价于f(x)的图象与h(x)的图象的交点个数,画出0,20上的图象即可判断出总零点个数.典例7已知f(x)是在R上的
25、奇函数,满足f(x)=f(2-x),当x0,1时,函数f(x)=2x-1,函数g(x)=f(x)-logax(a1)恰有3个零点,则a的取值范围是()A.(1,3)B.(3,5)C.(1,5)D.(5,9)答案Df(x)是在R上的奇函数,满足f(x)=f(2-x),所以函数关于x=1对称,f(x)=-f(x-2),所以f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期为4,当x0,1时,函数f(x)=2x-1,所以函数f(x)的图象如图所示,当a1时,函数g(x)=f(x)-logax恰有3个零点,就是方程f(x)=logax解的个数为3,即y=f(x)的图象与y=logax的图象有3个交点,结合图
26、象得loga51,解得a(5,9).故选D.利用函数的奇偶性以及函数的对称性,画出函数的图象,通过数形结合转化求解即可.1. (2020贵州毕节模拟)函数f(x)满足3f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,yR),且f(1)=13,则f(2020)=()A.23B.-23C.-13D.13答案C令x=n,y=1,得3f(n)f(1)=f(n+1)+f(n-1),即f(n)=f(n+1)+f(n-1),f(n+1)=f(n+2)+f(n),f(n+2)=-f(n-1),f(n)=-f(n-3)=f(n-6)函数f(x)是周期函数,周期T=6,故f(2020)=f(6336+4)=f(
27、4).又3f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),令x=1,y=0,得3f(1)f(0)=f(1)+f(1)=23,f(0)=23,令x=y=1,得3f(1)2=f(2)+f(0),则f(2)=-13,令x=2,y=1,得3f(2)f(1)=f(3)+f(1),解得f(3)=-23,令x=3,y=1,得3f(3)f(1)=f(4)+f(2),解得f(4)=-13,f(2020)=-13.故选C.2.(2020安徽黄山期末)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数,对任意的实数x,f(x)-f(-x)=0恒成立,当x-1,0时,f(x)=x2,若g(x)=f(x)-loga(|x|+
28、1)在R上有且仅有五个零点,则a的取值范围为()A.3,5B.2,4C.(3,5)D.(2,4)答案Df(x)-f(-x)=0,f(x)=f(-x),又函数定义域为R,f(x)是偶函数,根据函数的周期性和奇偶性作出f(x)的图象如图所示,g(x)=f(x)-loga(|x|+1)在R上有且仅有五个零点,且y=loga(|x|+1)是过(0,0)的偶函数,y=f(x)和y=loga(|x|+1)的图象在(0,+)上只有2个交点,loga(1+1)1,a1,解得2a1,所以01ex+11,-11-2ex+11,所以函数f(x)的值域为(-1,1).4.(2020天津南开中学模拟)设函数f(x)是定
29、义在R上的奇函数,且f(x)=log2(x+1),x0,g(x),x0,则f(-7)=()A.3B.-3C.2D.-2答案B因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=log2(x+1),x0,g(x),x0,所以f(-7)=-f(7)=-log2(7+1)=-3.5.(2020河北石家庄二中模拟)下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是()A.y=exB.y=tanxC.y=x3-xD.y=ln2+x2-x答案D函数y=ex不是奇函数,不满足题意;函数y=tanx是奇函数,但在整个定义域内不是增函数,不满足题意;函数y=x3-x是奇函数,当x-33,33时,y=3x2-10,为减函数,
30、不满足题意;函数y=ln2+x2-x是奇函数,在定义域(-2,2)内,函数t=2+x2-x=-1-4x-2为增函数,函数y=lnt也为增函数,故函数y=ln2+x2-x在定义域内为增函数,满足题意.故选D.6.(2020陕西质检)若函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数,且满足f(x)+2g(x)=ex,则()A.f(-2)f(-3)g(-1)B.g(-1)f(-3)f(-2)C.f(-2)g(-1)f(-3)D.g(-1)f(-2)0,f(-3)=e-3+e320,g(-1)=e-1-e40,即f(-3)f(-2),则g(-1)f(-2)f(-2),则a的取值范围是()A.(
31、-,3)B.(0,3)C.(3,+)D.(1,3)答案Bf(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0上单调递增,f(x)在区间(0,+)上单调递减,f(-2)=f(2),f(2log3a)f(2).2log3a0,02log3a2log3a120a0时,f(x)=x(1-x),则当x0时,f(x)=.答案x(x+1)解析因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,设x0,则f(-x)=(-x)(1+x),则f(x)=-f(-x)=x(x+1),所以当x0时,f(x)=x(x+1).12.已知偶函数f(x)在0,+)上单调递减,f(2)=0.若f(x-1)0,则x的取值范围是.答案(-
32、1,3)解析f(2)=0,f(x-1)0,f(x-1)f(2),又f(x)是偶函数,且在0,+)上单调递减,f(|x-1|)f(2),|x-1|2,-2x-12,-1x0,且a1).(1)判断f(x)的奇偶性;(2)若f(x)0在定义域上恒成立,求a的取值范围.解析(1)由ax-10,得x0,函数f(x)的定义域为x|x0.对于定义域内的任意x,有f(-x)=1a-x-1+12(-x)3=ax1-ax+12(-x)3=-1-1ax-1+12(-x)3=1ax-1+12x3=f(x),函数f(x)是偶函数.(2)由(1)知f(x)为偶函数,只需讨论x0时的情况,当x0时,若f(x)0,则1ax-
33、1+12x30,即1ax-1+120,即ax+12(ax-1)0,则ax1.x0,a1.当a(1,+)时,f(x)0在定义域上恒成立.C组思维拓展15.(2020福建福州一中模拟)已知函数f(x)=-x2+2x,x0,0,x=0,x2+mx,x0是奇函数.(1)求实数m的值;(2)若函数f(x)在区间-1,a-2上单调递增,求实数a的取值范围.解析(1)设x0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即x-1,a-21,所以1a3,故实数a的取值范围是(1,3.16.(2020江苏启东中学高三模拟)已知函数f(x)=ax-b4-x
34、2是定义在(-2,2)上的奇函数,且f(1)=13.(1)求f(x)的解析式;(2)判断f(x)在(-2,2)上的单调性,并用定义法证明;(3)求关于t的不等式f(t-1)+f(t)0的解集.解析(1)由函数f(x)=ax-b4-x2是定义在(-2,2)上的奇函数知f(0)=-b4=0,所以b=0,经检验,当b=0时,f(x)=ax4-x2是(-2,2)上的奇函数,满足题意,又f(1)=a4-12=13,所以a=1.故f(x)=x4-x2,x(-2,2).(2)f(x)在(-2,2)上为增函数.证明:在(-2,2)上任取x1,x2,且x10,4+x1x20,4-x120,4-x220,所以f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1),所以f(x)在(-2,2)上为增函数.(3)因为f(x)为奇函数,所以-f(x)=f(-x),不等式f(t-1)+f(t)0可化为f(t-1)-f(t),即f(t-1)f(-t),又f(x)在(-2,2)上是增函数,所以t-1-t,-2t-12,-2-t2,解得-1t12,所以关于t的不等式的解集为-1,12.
