1、考点突破练6空间几何体的结构、表面积与体积一、单项选择题1.(2022广东深圳一模)以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A.8B.4C.8D.42.(2022湖北武汉二模)如图,在棱长为2的正方体中,以其各面中心为顶点构成的多面体为正八面体,则该正八面体的体积为()A.223B.43C.423D.833.(2022江苏无锡二模)已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上.若该圆锥的底面半径为23,高为6,则球O的表面积为()A.32B.48C.64D.804.(2022山东菏泽一模)如图1,在高为h的直三棱柱容器ABC-A1B1C1中,AB=AC=
2、2,ABAC.现往该容器内灌进一些水,水深为2,然后固定容器底面的一边AB于地面上,再将容器倾斜,当倾斜到某一位置时,水面恰好为A1B1C(如图2),则容器的高h为()图1图2A.3B.4C.42D.65.(2021全国甲理11)已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且ACBC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为()A.212B.312C.24D.346.(2022山东济宁二模)一个圆锥的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为()A.23B.32C.12D.347.(2022全国甲文10)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2,侧面
3、积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙.若S甲S乙=2,则V甲V乙=()A.5B.22C.10D.51048.(2022天津南开中学模拟)棱长为23的正四面体内切一球,然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球,则这些小球的最大半径为()A.2B.22C.24D.26二、多项选择题9.(2022河北衡水模拟)某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒,每盒可装7个球形巧克力,每盒只装一层,相邻的球形巧克力相切,与包装盒接触的6个球形巧克力与包装盒相切,如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面,设包装盒的底面半径为R,球形巧克力的半径为r,每个球形巧克力的体积为V1,包装盒的体积为V2,则()A.R
4、=3rB.R=4rC.V2=9V1D.2V2=27V110.(2022山东青岛一模)已知圆台的轴截面如图所示,其上、下底面半径分别为r上=1,r下=2,母线AB长为2,E为母线AB中点,则下列结论正确的是()A.圆台母线AB与底面所成角为60B.圆台的侧面积为12C.圆台外接球半径为2D.在圆台的侧面上,从C到E的最短路径的长度为511.(2022新高考11)如图,四边形ABCD为正方形,ED平面ABCD,FBED,AB=ED=2FB,记三棱锥E-ACD,F-ABC,E-ACF的体积分别为V1,V2,V3,则()A.V3=2V2B.V3=2V1C.V3=V1+V2D.2V3=3V112.(20
5、22江苏七市第二次调研)在正六棱锥P-ABCDEF中,已知底面边长为1,侧棱长为2,则()A.ABPDB.共有4条棱所在的直线与AB是异面直线C.该正六棱锥的内切球的半径为15-34D.该正六棱锥的外接球的表面积为163三、填空题13.(2020江苏9)如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的,已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm,高为2 cm,内孔半径为0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是cm3.14.(2022河北邢台模拟)已知圆锥的母线与底面半径之比为31,若一只蚂蚁从该圆锥底部上的一点A绕圆锥侧面爬行一周再回到A点的最短距离为9,则该圆锥的体积为.15.(2022湖南湘
6、潭三模)陀螺的形状结构如图所示,由一个同底的圆锥和圆柱组合而成,若圆锥和圆柱的高以及底面圆的半径长分别为h1,h2,r,且h1=h2=r,设圆锥的侧面积和圆柱的侧面积分别为S1和S2,则S1S2=.16.(2022广东广州二模)在梯形ABCD中,ABCD,AB=2,AD=CD=CB=1,将ACD沿AC折起,连接BD,得到三棱锥D-ABC,则三棱锥D-ABC体积的最大值为,此时该三棱锥的外接球的表面积为.考点突破练6空间几何体的结构、表面积与体积1.A解析 以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴,旋转一周得到的旋转体为圆柱,其底面半径r=2,高h=2,故其侧面积为S=2rh=222=8.2.B
7、解析 该正八面体是由两个同底的正四棱锥组成,且正四棱锥的底面是边长为2的正方形,棱锥的高为1,所以该正八面体的体积为213221=43.3.C解析 因为623,故球心在圆锥的内部且在圆锥的高上.设球O的半径为R,则(6-R)2+(23)2=R2,解得R=4,故球O的表面积S=4R2=64.4.A解析 由题可得,在图1中,V水=12222=4,在图2中,V水=VABC-A1B1C1-VC-A1B1C1=1222h-131222h=43h.因为43h=4,解得h=3.故容器的高为3.5. A解析 ACBC,AC=BC=1,设O1为AB的中点,连接CO1,OO1,则CO1=22,由题意OO1平面AB
8、C,在RtOO1C中,OO1=OC2-CO12=22,则三棱锥O-ABC的体积为13121122=212.6. A解析 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,圆锥的高为h,内切球的半径为R,其轴截面如图所示,O为内切球球心.因为圆锥的侧面展开图是一个半圆,所以l=2r,得l=2r,即PA=PB=2r,所以PD=PB2-BD2=4r2-r2=3r,所以PO=PD-OD=3r-R.由图可知,POEPBD,所以POPB=OEBD,即3r-R2r=Rr,解得R=33r,所以圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为(4R2)(rl)=413r2(2r2)=23.7. C解析 如图,甲、乙两个圆锥的侧面展开图
9、刚好拼成一个圆,设圆的半径(即圆锥的母线长)为3,则圆的周长为6,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,则2r1=4,2r2=2,则r1=2,r2=1,由勾股定理得,h1=5,h2=22,所以V甲V乙=13r12h113r22h2=2251222=10,故选C.8. C解析 由题意知,和正四面体A-BCD的三个侧面以及内切球都相切的小球的半径最大.设内切球球心为O,半径为R,空隙处的最大球球心为O1,半径为r.G为BCD的中心,易知AG平面BCD,E为CD中点,球O和球O1分别与平面ACD相切于点F和点H.由题得,BE=(23)2-(3)2=3,则BG=23BE=2,A
10、G=(23)2-22=22.由VA-BCD=VO-BCD+VO-ABC+VO-ABD+VO-ACD,可得R=3VA-BCDSBCD+SABC+SABD+SACD.又VA-BCD=132332212=26,SBCD=SABC=SABD=SACD=12233=33,故R=22,AO1=AG-GO1=22-222-r=2-r,AO=AG-GO=22-22=322.由图可知,AHO1AFO,则AO1AO=O1HOF,即2-r322=r22,解得r=24,即小球的最大半径为24.9.AD解析 由图可知R=3r,故A正确,B错误;由题可知包装盒的高为2r,故V2=R22r=18r3.又V1=43r3,所以
11、2V2=27V1,故C错误,D正确.10. ACD解析 如图,设O1,O2分别为圆台下、上底面的圆心,对于A,过点A作AFO1O2交BC于点F,因为O1O2底面,则AF底面,所以ABF即为母线AB与底面所成角.在等腰梯形ABCD中,AB=2,BF=2-1=1,所以cosABF=BFAB=12.因为ABF为锐角,所以ABF=60,故A正确.对于B,由圆台侧面积公式知S侧=(r上+r下)AB=(1+2)2=6,故B错误.对于C,设圆台外接球的球心为O,半径为R.由题意可得,O1B=2,O2A=1,O1O2=22-12=3.设OO1=a,则OO2=3-a.由R=OA=OB,即12+(3-a)2=22
12、+a2,解得a=0,即O,O1两点重合,所以R=OB=2,故C正确.对于D,如图所示,在圆台的侧面上,从点C到点E的最短路径的长度为CE.由题意可得,FB=FC=4,AB=2.由E为AB的中点,得FE=3,又弧BB的长为2r下=4=FB,所以圆台的侧面展开图为半圆环,所以CE=CF2+FE2=42+32=5,故D正确.11. CD解析 设AB=ED=2FB=2a,因为ED平面ABCD,FBED,则V1=13EDSACD=132a12(2a)2=43a3,V2=13FBSABC=13a12(2a)2=23a3,连接BD交AC于点M,连接EM,FM,易得BDAC.又ED平面ABCD,AC平面ABC
13、D,则EDAC.又EDBD=D,ED,BD平面BDEF,则AC平面BDEF,又BM=DM=12BD=2a,过F作FGDE于G,易得四边形BDGF为矩形,则FG=BD=22a,EG=a,则EM=(2a)2+(2a)2=6a,FM=a2+(2a)2=3a,EF=a2+(22a)2=3a,EM2+FM2=EF2,则EMFM,SEFM=12EMFM=322a2,AC=22a,则V3=VA-EFM+VC-EFM=13ACSEFM=2a3,则2V3=3V1,V3=3V2,V3=V1+V2,故A,B错误;C,D正确.故选CD.12. BCD解析 设底面中心为O,则在正六棱锥P-ABCDEF中,PO平面ABC
14、DEF,POAB.对于A,若PDAB,则AB平面POD,则ABOD,即ABAD,与已知矛盾,故A错误;对于B,AB与直线PC,PD,PE,PF异面,故B正确;对于C,设内切球半径为r,取AB中点M,PA=PB=2,BM=12,OM=32,PM=4-14=152,SPAB=121152=154,S侧=1546=3152,S底=612132=332.在RtPOM中,PO=PM2-OM2=154-34=3.由等体积法得133323=133152+332r,解得r=15-34,故C正确;对于D,设外接球半径为R,则(3-R)2+1=R2,解得R=233,故外接球的表面积为S=4R2=163,故D正确.
15、13.123-2解析 底面正六边形的面积S正六边形=61222sin60=63,圆柱底面圆的面积S圆=122=4,六角螺帽毛坯的体积V=63-42=123-2.14.26解析 设母线长为l,底面半径为r,侧面展开图的圆心角为,则=2rl.由已知得lr=3,联立解得=23.圆锥的侧面展开图为扇形,如图所示,则OAB=6.从该圆锥底部上的一点A绕圆锥侧面爬行一周再回到A点的最短距离为AB,则l=OA=12ABcosOAB=33,即r=3,则圆锥的高为h=27-3=26,故该圆锥的体积为V=13r2h=26.15.22解析 由题意,圆锥的母线长为l=h12+r2=2r,则圆锥的侧面积为S1=rl=2
16、r2.根据圆柱的侧面积公式,可得圆柱的侧面积为S2=2rh2=2r2,所以S1S2=22.16. 3125解析 如图,过点C作CEAB,垂足为E,ABCD为等腰梯形,AB=2,CD=1,BE=12,则B=3.由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos3=3,即AC=3.AB2=BC2+AC2,BCAC.易知,当平面ACD平面ABC时,三棱锥D-ABC的体积最大,此时BC平面ACD,即BC为三棱锥B-ACD的高.由题可知D=23,SACD=12ADCDsin23=34,VD-ABC=VB-ACD=13341=312.记O为外接球球心,半径为R,BC平面ACD,OB=OC,O到平面ACD的距离d=12.又ACD的外接圆半径r=AC2sin23=1,
