1、高考资源网（） 您身边的高考专家第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例最新考纲核心素养考情聚焦1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义3.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角4.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，能用坐标表示平面向量垂直的条件5.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用1.平面向量数量积的运算，达成数学抽象和数学运算素养2.利用数量积求向量夹角和模，提升逻辑推理和数学运算素养3.平面向量的垂直及应
2、用，增强逻辑推理和数学运算素养高考中有关平面向量的数量积运算包含三类问题：利用坐标计算平面向量的数量积；根据平面向量的数量积的定义计算几何图形中相关向量的数量积；根据数量积求参数值数量积的运算、投影、模与夹角是高考的热点，有时与三角函数、平面几何、解析几何等结合考查，题型多以选择题、填空题为主，属于中档题，难度中等1向量的夹角及范围：已知两个非零向量a和b，作a，b，如图所示，则AOB叫做向量a与b的夹角设是向量a与b的夹角，则的范围是0，a与b同向时，夹角0；a与b反向时，夹角.2平面向量的数量积及几何意义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则向量a与b的数量积是数量|a|b|cos ，
3、记作ab，即ab|a|b|cos .它的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积3平面向量数量积的性质及其坐标运算：已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a、b的夹角向量表示坐标表示数量积ab|a|b|cos abx1x2y1y2模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2|4.平面向量数量积的运算律：已知向量a、b、c和实数，则(1)交换律：abba；(2)结合律：(a)b(ab)a(b)；(3)分配律：(ab)cacbc.利
4、用公式|a|2a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算思考辨析判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量( )(3)由ab0可得a0或b0.( )(4)(ab)ca(bc)( )(5)两个向量的夹角的范围是.( )答案：(1)(2)(3)(4)(5)小题查验1(2019全国卷)已知向量a(2,3)，b(3,2)，则|ab|()A.B2 C5D50解析：Aab(2,3)(3,2)(1,1)，|ab|.2设向量a(1，cos )与b(1,2cos
5、)垂直，则cos 2等于( )A. B. C0 D1解析：Ca(1，cos )，b(1,2cos )ab，ab12cos 20，cos2，cos 22cos21110.3已知|a|4，|b|3，a与b的夹角为120，则b在a方向上的投影为( )A2 B. C2 D解析：Db在a方向上的投影为|b|cos 120.故选D.4(人教A版教材复习题改编)已知|a|，|b|2，a与b的夹角为30，则|ab|_.答案：15(2019全国卷)已知向量a(2,2)，b(8,6)，则cosa，b_.解析：cosa，b.答案：考点一平面向量的数量积运算(自主练透)题组集训1(2018全国卷)已知向量a，b满足|
6、a|1，ab1，则a(2ab)( )A4B3C2D0解析：B因为a(2ab)2a2ab2|a|2(1)213，所以选B.2(2019全国卷)已知(2,3)，(3，t)，|1，则()A3 B2 C2 D3解析：C(3，t)(2,3)(1，t3)，| 1，t3，(1,0)，(2,3)(1,0)2.向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.易错警示：(1)在向量数量积的运算中，若abac(a0)，则不一定得到bc.(2)实数运算满足乘法
7、结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)考点二利用数量积求向量夹角和模(多维探究)命题角度1平面向量的模1(1)(2017全国卷)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.解析：|a2b|2|a|24ab4|b|24421cos 60412，所以|a2b|2.答案：2(2)已知a，b是单位向量，ab0.若向量c满足|cab|1，则|c|的最大值为_解析：建立如图所示的直角坐标系，由题意知ab，且a与b是单位向量，可设a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，cab(x1，y1)|cab|1，(x1)2(y1)21，即点C(x，y)的
8、轨迹是以点M(1,1)为圆心，1为半径的圆而|c|，|c|的最大值为|OM|1，即|c|max1.答案：1利用数量积求向量夹角和模(1)求向量的模的方法：公式法，利用|a|及(ab)2|a|22ab|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解(2)求向量模的最值(范围)的方法：代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解命题角度2平面向量的夹角2(1)(2016全国卷)已知向量，则ABC( )A30B
9、45C60D120解析：A|1，|1，cosABC.由，0，180，得ABC30.(2)(2019全国卷)已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为()A. B. C. D.解析：B(ab)b，(ab)b0.即ab|b|2；cosa，b.故a，b，故选B.根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，cos (夹角公式)，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度问题提醒：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角考点三平面向量的垂直及应用题组集训1(2016全国卷)已知向量a(
10、1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则m( )A8B6C6D8解析：D由题知ab(4，m2)，因为(ab)b，所以(ab)b0，即43(2)(m2)0，解之得m8，故选D.2(2016全国卷)设向量a(m,1)，b(1,2)，且|ab|2|a|2|b|2，则m_.解析：由|ab|2|a|2|b|2，得ab，所以m1120，得m2.答案：23在直角三角形ABC中，已知(2,3)，(1，k)，则k的值为_解析：当A90时，0.213k0，解得k.当B90时，又(1，k)(2,3)(1，k3)，2(1)3(k3)0，解得k.当C90时，1(1)k(k3)0，即k23k10.k.答案：或或.两向量垂
11、直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|.1设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab()A1B2 C3D5解析：A由已知得|ab|210，|ab|26，两式相减，得ab1.2(2019玉溪市一模)已知a与b的夹角为，a(1,1)，|b|1，则b在a方向上的投影为( )A. B. C. D.解析：C根据题意，a与b的夹角为，且|b|1，则b在a方向上的投影|b|cos .3已知D是ABC所在平面内一点，且满足()()0，则ABC是()A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形解析：A()()()0，所以，设BCa，ACb，所以acos Bbcos A，利用余
12、弦定理化简得a2b2，即ab，所以ABC是等腰三角形4(2019重庆市模拟)如图，在圆C中，弦AB的长为4，则( )A8 B8 C4 D4解析：A如图所示，在圆C中，过点C作CDAB于D，则D为AB的中点；在RtACD中，ADAB2，可得cos A，|cos A4|8.故选A.5已知正方形ABCD的边长为2，点F是AB的中点，点E是对角线AC上的动点，则的最大值为( )A1 B2 C3 D4解析：B以A为坐标原点，、方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则F(1,0)，C(2,2)，D(0,2)，设E(，)(02)，则(，2)，(1,2)，所以342.所以的最大值为2.故选B
13、.6(2019珠海市模拟)设向量a(1,3m)，b(2，m)，满足(ab)(ab)0，则m_.解析：向量a(1,3m)，b(2，m)，则ab(3,2m)，ab(1,4m)，由(ab)(ab)0，得38m20，解得m.答案：7(2019内江市一模)已知正方形ABCD的边长为2，则()_.解析：如图所示，正方形ABCD的边长为2，()(2)224.答案：48(2019吕梁市一模)已知a(1，)，b(2,1)，若向量2ab与c(8,6)共线，则a在b方向上的投影为_解析：2ab(4,21)，2ab与c(8,6)共线，213，即1.ab23，a在b方向上的投影为|a|cosa，b答案：9已知向量a(1
14、,2)，b(2，2)(1)设c4ab，求(bc)a；(2)若ab与a垂直，求的值；(3)求向量a在b方向上的投影解：(1)a(1,2)，b(2，2)，c4ab(4,8)(2，2)(6,6)bc26260，(bc)a0a0.(2)ab(1,2)(2，2)(21,22)，由于ab与a垂直，212(22)0，.的值为.(3)设向量a与b的夹角为，向量a在b方向上的投影为|a|cos .|a|cos .10已知如图，ABC中，AD是BC边的中线，BAC120，且.(1)求ABC的面积；(2)若AB5，求AD的长解：(1)，|cosBAC|，即|15，SABC|sin BAC15.(2)法一：由AB5得
15、AC3，延长AD到E，使ADDE，连接BE.BDDC, 四边形ABEC为平行四边形，ABE60，且BEAC3.设ADx，则AE2x，在ABE中，由余弦定理得：(2x)2AB2BE22ABBEcos ABE2591519，解得x，即AD的长为.法二：由AB5得AC3，在ABC中，由余弦定理得BC2AB2AC22ABAC cosBAC2591549，得BC7.由正弦定理得，得sin ACD.0ACD90cosACD.在ADC中，AD2AC2CD22ACCDcosACD923，解得AD.法三：由AB5得AC3，在ABC中，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcosBAC2591549, 得BC7.在ABC中，cosACB.在ADC中，由AD2AC2CD22ACCDcos ACD923.解得AD.- 10 - 版权所有高考资源网