1、第8节机械能守恒定律要点一 机械能的概念及理解1定义：物体由于做机械运动而具有的能叫机械能，用符号E表示，它是动能和势能(包括重力势能和弹性势能)的统称2表达式：EEkEp.机械能是标量，没有方向，只有大小，可有正负(因势能可有正负)3机械能具有相对性因为势能具有相对性(需确定零势能参考平面)，同时，与动能相关的速度也具有相对性(应该相对于同一惯性参考系，一般是地面)，所以机械能也具有相对性只有在确定的参考系和零势能参考平面的情况下，机械能才有确定的物理意义要点二 机械能守恒定律1理论推导如图783所示，图783物体沿光滑曲面下滑，某时刻处于位置A时，它的动能为Ek1，重力势能为Ep1，总机械
2、能E1Ek1Ep1.运动到位置B时，它的动能是Ek2，重力势能为Ep2，总机械能是E2Ek2Ep2.由动能定理知，由A到B的过程中，只有重力做功，所以重力所做的功WGmg(h1h2)，由重力做的功与重力势能的关系知WGEp1Ep2，所以有Ek2Ek1Ep1Ep2，即Ek1Ep1Ek2Ep2，即E1E2.说明在只有重力做功的情况下，不论物体做直线运动还是曲线运动(如平抛运动、斜抛运动等)，机械能都守恒2守恒条件物体系统内只有重力或弹力做功(其他力不做功)，机械能守恒对于该条件可具体理解如下：(1)系统内部只有重力或弹力做功，而没有内部摩擦力和其他内力(如炸弹爆炸时的化学物质的作用力等)做功，即系
3、统内部除发生重力势能或弹性势能与动能的相互转化之外，不会引起发热、发光或化学反应等非力学现象的产生(2)没有任何外力对系统做功，包括以下三种情况：系统不受外力系统受外力，但所有外力均不做功系统受外力，而且外力做功，但外力做功的代数和为零要点三 机械能守恒定律的应用1 机械能守恒定律的表达式及举例表达方式说明注意点举例方程Ek1Ep1Ek2Ep2初状态的机械能等于末状态的机械能需选择一合适的参考面mgh1mvmg2RmvEkEp物体减少的势能等于增加的动能从初状态到末状态的过程中mvmvmgh1mgh2EaEb将一个系统分为两部分，一部分增加的机械能等于另一部分减少的机械能单就某一部分机械能不守
4、恒从状态到状态的过程中(m2vm2v)m2gh(m1ghm1vm1v)2.应用机械能守恒定律列方程的两条基本思路(1)守恒观点始态机械能等于终态机械能，即：Ek1Ep1Ek2Ep2.(2)转化或转移观点动能(或势能)的减少量等于势能(或动能)的增加量，即：Ek1Ek2Ep2Ep1.一个物体机械能的减少(或增加)量等于其他物体机械能的增加(或减少)量，即：EA1EA2EB2EB1.3应用机械能守恒定律解题的步骤(1)根据题意选取研究对象(物体或系统)(2)明确研究对象的运动过程，分析对象在过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒(3)恰当的选取零势面，确定研究对象在过程中的始态和
5、末态的机械能(4)根据机械能守恒定律的不同表达式列方程.1.判断机械能是否守恒的方法有哪些？(1)做功条件分析法：应用系统机械能守恒的条件进行分析若物体系统内只有重力和弹力做功，其他力均不做功，则系统的机械能守恒(2)能量转化分析法：从能量转化的角度进行分析若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能(如没有内能增加)，则系统的机械能守恒(3)增减情况分析法：直接从机械能各种形式能量的增减情况进行分析若系统的动能与势能均增加或均减少，则系统的机械能不守恒；若系统的动能或势能不变，而势能或动能却发生了变化，则系统的机械能不守
6、恒；若系统内各个物体的机械能均增加或均减少，则系统的机械能也不守恒2动能定理和机械能守恒定律有什么区别呢？两大规律比较内容机械能守恒定律动能定理应用范围只有重力和弹力做功时无条件限制物理意义其他力(重力、弹力以外)所做的功是机械能变化的量度合外力对物体做的功是动能变化的量度关注角度守恒的条件、始末状态机械能的形式及大小动能的变化及改变动能的方式(合外力做功情况)说明等号右边表示动能的增加量时，左边表示势能的减少量，“mgh”表示重力势能(或重力势能的变化)符号左边是合外力的功，右边是动能的变化量，“mgh”表示重力做的功一、机械能守恒的判定例1 下列物体中，机械能守恒的是()A做平抛运动的物体
7、B被匀速吊起的集装箱C光滑曲面上自由运动的物体D物体以g的加速度竖直向上做匀减速运动解析物体做平抛运动或沿光滑曲面自由运动时，不受摩擦力，在曲面上弹力不做功，只有重力做功，机械能守恒，所以A、C项正确；匀速吊起的集装箱，绳的拉力对它做功，不满足机械能守恒的条件，机械能不守恒；物体以g的加速度向上做匀减速运动时，由牛顿第二定律Fmgm(g)，有Fmg，则物体受到竖直向上的大小为mg的外力作用，该力对物体做了正功，机械能不守恒答案AC图784二、机械能守恒定律的应用例2 如图784所示，在水平台面上的A点，一个质量为m的物体以初速度v0被抛出，不计空气阻力，求它到达B点时速度的大小解析物体抛出后的
8、运动过程中只受重力作用，机械能守恒，若选地面为参考面，则mgHmvmg(Hh)mv解得vB若选桌面为参考面，则mvmghmv解得它到达B点时速度的大小为vB答案三、应用机械能守恒定律解决物体系统问题例3 如图785所示，图785斜面的倾角30，另一边与地面垂直，高为H，斜面顶点上有一定滑轮，物块A和B的质量分别为m1和m2，通过轻而柔软的细绳连结并跨过定滑轮开始时两物块都位于与地面垂直距离为H的位置上，释放两物块后，A沿斜面无摩擦地上滑，B沿斜面的竖直边下落若物块A恰好能达到斜面的顶点，试求m1和m2的比值滑轮的质量、半径和摩擦均可忽略不计解析设B刚下落到地面时速度为v，由系统机械能守恒得m2
9、gm1gsin 30(m1m2)v2A物体以v上滑到顶点过程中机械能守恒m1v2m1gsin 30由得12答案12方法总结由两个或两个以上物体组成的系统中，虽然每个物体的机械能不守恒，但若系统的总机械能守恒，仍可对系统用机械能守恒定律求解.四、几个功能关系的理解例4 质量为m的物体，从静止开始以2g的加速度竖直向下运动h高度，下列说法中正确的是()A物体的重力势能减少2mghB物体的机械能保持不变C物体的动能增加2mghD物体的机械能增加mgh解析因重力做了mgh的功，由重力做功与重力势能变化关系可知重力势能减少mgh，合力做功为2mgh，由动能定理可知动能增加2mgh，除重力之外的力做功mg
10、h，所以机械能增加mgh，A、B错，C、D对答案CD方法总结1重力做功等于重力势能的变化2合外力做的功等于动能的变化3重力(或弹力)以外的其他力做的功等于机械能的变化.1.关于机械能守恒，下列说法正确的是()A物体匀速运动，其机械能一定守恒B物体所受合外力不为零，其机械能一定不守恒C物体所受合外力做功不为零，其机械能一定不守恒D物体沿竖直方向向下做加速度为5 m/s2的匀加速运动，其机械能减少答案D2如图786所示，图786在抗洪救灾中，一架直升机通过绳索，用恒力F竖直向上拉起一个漂在水面上的木箱，使其由水面开始加速上升到某一高度，若考虑空气阻力而不考虑空气浮力，则在此过程中，以下说法正确的有
11、()A力F所做功减去克服阻力所做的功等于重力势能的增量B木箱克服重力所做的功等于重力势能的增量C力F、重力、阻力，三者合力所做的功等于木箱动能的增量D力F和阻力的合力所做的功等于木箱机械能的增量答案BCD解析对木箱受力分析如右图所示，则由动能定理：WFmghWFfEk，故C对由上式得：WFWFfEkmgh，即WFWFfEkEpE，故A错，D对由重力做功与重力势能变化关系知B对，故B、C、D对3.图787如图787所示，某人以拉力F将物体沿斜面拉下，拉力大小等于摩擦力，则下列说法中正确的是()A物体做匀速运动B合力对物体做功等于零C物体的机械能守恒D物体的机械能减小答案C4下列四个选项的图中，木
12、块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的，图A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是()答案C解析依据机械能守恒条件：只有重力做功的情况下，物体的机械能才能保持守恒，由此可见，A、B均有外力F参与做功，D中有摩擦力做功，故A、B、D均不符合机械能守恒的条件5如图788所示，图788翻滚过山车轨道顶端A点距地面的高度H72 m，圆形轨道最高处的B点距地面的高度h37 m不计摩擦阻力，试计算翻滚过山车从A点由静止开始下滑运动到B点时的速度(g取10 m/s2)答
13、案26.5 m/s解析取水平地面为参考平面，在过山车从A点运动到B点的过程中，对过山车与地球组成的系统应用机械能守恒定律，有mghmv2mgH可得过山车运动到B点时的速度为v m/s26.5 m/s6某人站在离地面h10 m高处的平台上以水平速度v05 m/s 抛出一个质量m1 kg的小球，不计空气阻力，g取10 m/s2，问：(1)人对小球做了多少功？(2)小球落地时的速度为多大？答案(1)12.5 J(2)15 m/s解析(1)人对小球做的功等于小球获得的动能，所以Wmv152 J12.5 J(2)根据机械能守恒定律可知mghmvmv2所以v m/s15 m/s7.如图789所示，图789
14、光滑的水平轨道与光滑半圆轨道相切，圆轨道半径R0.4 m一个小球停放在水平轨道上，现给小球一个v05 m/s的初速度，求：(g取10 m/s2)(1)小球从C点飞出时的速度(2)小球到达C点时，对轨道的作用力是小球重力的几倍？(3)小球从C点抛出后，经多长时间落地？(4)落地时速度有多大？答案(1)3 m/s(2)1.25倍(3)0.4 s(4)v0解析(1)小球运动至最高点C过程中机械能守恒，有mv2mgRmvvC m/s3 m/s(2)对C点由向心力公式可知FNmgmFNmmg1.25mg由牛顿第三定律可知小球对轨道的压力为小球重力的1.25倍(3)小球从C点开始做平抛运动由2Rgt2知t
15、 s0.4 s(4)由于小球沿轨道运动及做平抛运动的整个过程机械能守恒，所以落地时速度大小等于v0.题型 机械能守恒的判定 如图1所示，图1细绳跨过定滑轮悬挂两物体M和m，且Mm，不计摩擦，系统由静止开始运动过程中()AM、m各自的机械能分别守恒BM减少的机械能等于m增加的机械能CM减少的重力势能等于m增加的重力势能DM和m组成的系统机械能守恒答案BD解析M下落过程中，绳的拉力对M做负功，M的机械能，减少；m上升过程，绳的拉力对m做正功，m的机械能增加，A错误；对M、m组成的系统，机械能守恒，易得B、D正确；M减少的重力势能并没有全部用于m重力势能的增加，还有一部分转变成M、m的动能，所以C错
16、误拓展探究 上题中，M和m组成的系统，动能如何变化？势能如何变化？二者有什么关系？答案系统动能增加，势能减少，二者大小相等，即势能的减少量等于动能的增加量方法总结1用做功来判断：分析物体或物体系的受力情况(包括内力和外力)，明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒2用能量转化来判定：若物体系中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化(如系统无滑动摩擦力和介质阻力，无化学能的释放，无电磁感应过程等)，则物体系机械能守恒3对一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等问题机械能一般不守恒，除非题目中有特别说明或暗示.题型 机械能守恒
17、定律的简单应用 以20 m/s的速度将一物体竖直上抛，若忽略空气阻力，g取10 m/s2，试求：(1)物体上升的最大高度(2)以水平地面为参考平面，物体在上升过程中重力势能和动能相等的位置答案(1)20 m(2)10 m解析(1)设物体上升的最大高度为H，在物体上升的整个过程中应用机械能守恒定律，有mgHmv解得H m20 m(2)设物体重力势能和动能相等的位置距地面的高度为h，此时物体的速度为v，则有mghmv2以物体被抛出到运动至该位置的过程中应用机械能守恒定律，有mghmv2mv由以上两式解得h m10 m题型 关于物体系统中的机械能守恒问题 如图2所示，图2质量分别为3 kg和5 kg
18、的物体A、B，用轻绳连接跨在一定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面接触地面，B物体距地面0.8 m，求：放开B物体，当B物体着地时，A物体的速度是多少？B物体着地后A物体还能上升多高？答案2 m/s0.2 m解析对A、B组成的系统，当B下落时，系统机械能守恒，以地面为零势能参考面，则mBghmAgh(mAmB)v2v m/s2 m/s也可以列式mBghmAgh(mAmB)v2或mBghmBv2mAghmAv2当B落地后，A以2 m/s的速度竖直上抛，则A上升的高度由机械能守恒可得mAghmAv2，h0.2 m.归纳总结解决关于系统中机械能守恒的问题时，必须要找准系统，正确判断系统机械能是否守
19、恒如果系统中发生能量的转化，则首先考虑机械能是否守恒，应用机械能守恒定律解题，只需分别表示出系统初、末态的总机械能，列出等式即可求解，也可用EA增EB减来求解.题型 动能定理和机械能守恒定律的综合应用 游乐场的过山车的图3运行过程可以抽象为图3所示模型弧形轨道的下端与圆轨道相接，使小球从弧形轨道上端A点静止滑下，进入圆轨道后沿圆轨道运动，最后离开试分析A点离地面的高度h至少要多大，小球才可以顺利通过圆轨道最高点(已知圆轨道的半径为R，不考虑摩擦等阻力)答案2.5R解析小球要能通过圆轨道最高点，则在圆轨道最高点恰好由重力提供向心力，即mgm，v小球由A点到圆弧最高点的过程中，由机械能守恒定律得m
20、ghmg2Rmv2联立以上各式解得h2.5R拓展探究 (1)上题中小球刚过圆轨道最低点时，对轨道的压力是多大？(2)实际的过山车，由于轨道摩擦阻力的存在，释放点A的高度h比理论值要大些若h3.5R时，过山车恰好顺利通过圆轨道最高点，那么，过山车从A点运动到圆轨道最高点的过程中克服摩擦阻力做的功是多少？答案(1)6mg(2)mgR解析(1)到最低点的速度假设为v1由机械能守恒定律得mg2.5Rmv又FNmgm解得FN6mg由牛顿第三定律可得，小球对轨道的压力为6mg.(2)因有摩擦阻力做负功，机械能不守恒了，由A点到圆轨道最高点全程应用动能定理得mg(3.5R2R)WFfmv2而v，可得WFfm
21、gR1.如图4所示的几种情况，系统的机械能守恒的是()图4A一颗弹丸在光滑的碗内做复杂的曲线运动图(a)B运动员在蹦床上越跳越高图(b)C图(c)中小车上放一木块，小车的左侧有弹簧与墙壁相连小车在左右振动时，木块相对于小车无滑动(车轮与地面摩擦不计)D图(c)中如果小车振动时，木块相对小车有滑动答案AC解析A选项弹丸只受重力与支持力，支持力不做功，只有重力做功，所以机械能守恒；B选项中运动员做功，其机械能越来越大；C选项中只有弹力做功，机械能守恒D选项中有滑动摩擦力做功，所以机械能不守恒2质量为1.0 kg的铁球从某一高度自由落下，当下落到全程中点位置时，具有36 J的动能，如果空气阻力不计，
22、取地面为参考平面，g取10 m/s2，则()A铁球在最高点时的重力势能为36 JB铁球在全程中点位置时具有72 J机械能C铁球落到地面时速度为12 m/sD铁球开始下落时的高度为7.2 m答案BCD3如图5所示，图5具有一定初速度的物块，沿倾角为30的粗糙斜面向上运动的过程中，受一个恒定的沿斜面向上的拉力F作用，这时物块的加速度大小为4 m/s2，方向沿斜面向下，那么，在物块向上运动过程中，正确的说法是()A物块的机械能一定增加B物块的机械能一定减小C物块的机械能可能不变D物块的机械能可能增加也可能减小答案A解析机械能变化的原因是非重力、弹力做功，本题亦即看成F与Ff做功大小问题，由mgsin
23、 FfFma，知FFfmgsin 30ma0，即FFf，故F做正功多于克服摩擦力做功，故机械能增大4一块质量为m的木块放在地面上，图6用一根弹簧连着木块，如图6所示，用恒力F拉弹簧，使木块离开地面，如果力F的作用点向上移动的距离为h，则()A木块的重力势能增加了mghB木块的机械能增加了FhC拉力所做的功为FhD木块的动能增加了Fh答案C解析因拉力F为恒力，所以拉力所做的功为WFh，C选项正确；力F的作用点向上移动的距离为h，但物体上升的距离小于h，A选项错；由功能关系可知，拉力所做的功等于弹簧增加的弹性势能与木块增加的机械能(即木块增加的动能和重力势能)之和，所以B、D选项均错5从地面以初速
24、度v0竖直上抛一个小球，不计空气阻力，小球运动过程中的动能Ek与小球离地面高度h的关系是下图中的()答案B解析小球运动过程中机械能守恒，取地面为参考面，有mvEkmghEkmvmgh6用弹簧枪将一质量为m的小钢球以初速度v0竖直向上弹出，不计空气阻力，当小钢球的速度减为时，钢球的重力势能为(取弹出钢球点所在水平面为参考面)()A.mvB.mvC.mvD.mv答案A解析由mvEpm()2得Epmv.7如图7所示，图7水平地面AB10.0 m，BCD是半径为R0.9 m的光滑半圆轨道，O是圆心，DOB在同一竖直线上一个质量为m1.0 kg的物体静止在A点，现用F10 N的水平恒力作用在物体上，使物
25、体从静止开始做匀加速直线运动，物体与水平地面间的动摩擦因数0.5.当物体运动到B点时撤去F，之后物体沿BCD轨道运动，离开最高点D后落到地上的P点(图中未画出)g取10 m/s2，求：(1)物体运动到B点时的速度大小(2)物体运动到D点时的速度大小(3)物体落地点P与B间的距离答案(1)10 m/s(2)8 m/s(3)4.8 m解析(1)物体受力情况如右图所示，由A到B过程用动能定理可得：(FFf)lmv，FfFNmg由以上两式可求得vB10 m/s(2)从B到D，由机械能守恒定律得mvmg2Rmv，则vD8 m/s(3)物体离开D点后做平抛运动竖直方向：2Rgt2水平方向：vDt得4.8
26、m8如图8所示，图8ABC和DEF是在同一竖直平面内的两条光滑轨道，其中ABC的末端水平，DEF是半径为r0.4 m的半圆形轨道，其直径DF沿竖直方向，C、D可看作重合现有一可视为质点的小球从轨道ABC上距C点高为H的地方由静止释放(1)若要使小球经C处水平进入轨道DEF且能沿轨道运动，H至少要有多高？(2)若小球静止释放处离C点的高度h小于(1)中H的最小值，小球可击中与圆心等高的E点，求h.(取g10 m/s2)答案(1)H0.2 m(2)0.1 m解析(1)小球从ABC轨道下滑，机械能守恒，设到达C点时的速度大小为v，则mgHmv2小球能在竖直平面内做圆周运动，在圆周最高点必须满足：mg联立并代入数据得H0.2 m(2)若hH，小球过C点后做平抛运动，设球经C点时的速度大小为vx，则击中E点时：竖直方向：rgt2水平方向：rvxt由机械能守恒有mghmv联立并代入数据得h0.1 m