1、第3讲 数列的综合问题专题四 数列、推理与证明热点分类突破真题押题精练热点分类突破热点一 利用Sn，an的关系式求an1.数列an中，an与Sn的关系2.求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式.(2)在已知数列an中，满足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.(3)在已知数列an中，满足f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项an.(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列).例1已知等差数列an中，a22，a3a58，数列bn中，b12，其前n项和Sn满足：bn1Sn2(nN*).(1
2、)求数列an，bn的通项公式；解答解答思维升华给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.思维升华证明跟踪演练1(2017天津市红桥区重点中学八校联考)已知数列an的前n项和为Sn，且满足Snn2(an2)(nN*).(1)证明：数列an1为等比数列；(2)若bnanlog2(an1)，数列bn的前n项和为Tn，求Tn.解答热点二 数列与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以
3、曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题.例2设fn(x)xx2xn1，x0，nN，n2.(1)求fn(2)；解答证明思维升华 解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点(1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视.(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.(3)不等关系证明中进行适当的放缩.思维升华证明跟踪演练2(2016届浙江省宁波市期末)已知数列an满足a12，an12(Snn1)(nN*)，令bnan1.
4、(1)求证：bn是等比数列；证明 a12，a22(22)8，an12(Snn1)(nN*)an2(Sn1n)(n2)，两式相减，得an13an2(n2).经检验，当n1时上式也成立，即an13an2(n1).所以an113(an1)，即bn13bn，且b13.故bn是等比数列.(2)记数列nbn的前n项和为Tn，求Tn；解答解 由(1)得bn3n.Tn13232333n3n，3Tn132233334n3n1，两式相减，得2Tn332333nn3n1证明热点三 数列的实际应用用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是
5、多少，然后转化为解数列问题.求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果.例3自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商第一年年初到大陆就创办了一座120万元的蔬菜加工厂M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年年初M的价值比上年年初减少10万元，从第七年开始，每年年初M的价值为上年年初的75%.(1)求第n年年初M的价值an
6、的表达式；解答(2)设An，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年年初对M更新，证明：必须在第九年年初对M更新.证明思维升华跟踪演练3(2017全国)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A.440 B.330 C.220
7、 D.110答案解析真题押题精练真题体验1.(2016浙江)设数列an的前n项和为Sn.若S24，an12Sn1，nN*，则a1_，S5_.1答案解析121212.(2017山东)已知xn是各项均为正数的等比数列，且x1x23，x3x22.(1)求数列xn的通项公式；解 设数列xn的公比为q.12所以3q25q20，由已知得q0，所以q2，x11.因此数列xn的通项公式为xn2n1.解答(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)，Pn1(xn1，n1)得到折线P1P2Pn1，求由该折线与直线y0，xx1，xxn1所围成的区域的面积Tn.12解答押题预测解答押题依据本题综合考查数列知识，考查反证法的数学方法及逻辑推理能力.已知数列an的前n项和Sn满足关系式Snkan1，k为不等于0的常数.(1)试判断数列an是否为等比数列；押题依据解答押题依据本题综合考查数列知识，高考的热点问题，即数列与不等式的完美结合，其中将求数列前n项和的常用方法“裂项相消法”与“错位相减法”结合在一起，考查了综合分析问题、解决问题的能力.押题依据解答