1、专题强化练10导数几何意义的简单应用一、选择题1.(2020江苏淮安五校高二下6月联考,)在曲线y=x2上切线的斜率为1的点是()A.(0,0)B.(2,4)C.14,116D.12,142.(2020江苏南通如东高级中学高二下期中,)曲线y=x3+x在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x3.()已知函数f(x)在R上可导,其部分图象如图所示,设 f(2)-f(1)2-1=a,则下列不等式正确的是()A.f(1)f(2)aB.f(1)af(2)C.f(2)f(1)aD.af(1)0,b0)在点(1,f(1)处的切线斜率为2,则8a+bab的最小值是()
2、A.10B.9C.8D.326.(多选)()下列命题正确的是()A.若f(x0)=0,则曲线f(x)在x=x0处无切线B.曲线y=f(x)的切线与曲线可以有两个公共点C.曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为2x-y=0,则当x0时,f(1)-f(1+x)2x1D.若函数f(x)的导数f(x)=x2-2,且f(1)=2,则f(x)的图象在x=1处的切线方程为x+y-3=0二、填空题7.()已知曲线y=x3-x+1在点P处的切线平行于直线y=2x,那么点P的坐标为.8.(2020江苏苏州高二下期末,)如图,直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线,则f(4)+f(4)=.9.(2020江苏镇江扬
3、中高级中学高二下期中,)在曲线y=f(x)=x33-4x的所有切线中,斜率的最小值为.10.()若抛物线y=2x2+1与直线4x-y+m=0相切,则m=.三、解答题11.()设A、B为曲线C:y=x24上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)若M为曲线C上一点,曲线C在点M处的切线与直线AB平行,且AMBM,求直线AB的方程.12.()已知函数f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处有公切线,求a,b的值.专题强化练10导数几何意义的简单应用一、选择题1.Dy=limx0yx=limx0(x+x)2-
4、x2x=limx0(2x+x)=2x,令2x=1,解得x=12,当x=12时,y=14,故切点为12,14.故选D.2.D由题意得,切线的斜率k=limx0yx=limx0(x)3+x-0x=limx0(x)2+1=1,所以曲线y=x3+x在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.3.B由题中图象可知,当x0时,函数增长的速度越来越快,f(1)f(2).由f(2)-f(1)2-1=a可知,a表示(1,f(1),(2,f(2)两点连线的斜率,f(1)a0,b0)在点(1,f(1)处的切线斜率为2,所以f(1)=2a+b=2,即a+b2=1,则8a+bab=8b+1a=a+b28b+1a=8ab
5、+b2a+528abb2a+5=9,当且仅当2a+b=2,8ab=b2a,a0,b0,即a=13,b=43时等号成立,所以8a+bab的最小值是9,故选B.6.BD若f(x0)=0,则曲线f(x)在x=x0处的切线斜率为0,故A错误;曲线y=f(x)的切线与曲线可以有两个公共点,例如曲线f(x)=x3-3x在x=1处的切线为y=-2,与曲线还有一个公共点(-2,-2),故B正确;因为曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为2x-y=0,所以f(1)=2,又limx0f(1)-f(1+x)2x=-12limx0f(1+x)-f(1)x=-12f(1)=-11,故C错误;因为函数f(x)的导数f(x
6、)=x2-2,所以f(1)=12-2=-1,又f(1)=2,所以切点坐标为(1,2),斜率为-1,所以切线方程为y-2=-(x-1),化简得x+y-3=0,故D正确.故选BD.二、填空题7.答案(-1,1)或(1,1)解析设y=f(x)=x3-x+1,则f(x)=limx0(x+x)3-(x+x)+1-(x3-x+1)x=limx03x2x+3x(x)2+(x)3-xx=3x2-1,令3x2-1=2,解得x=1,又f(1)=1,f(-1)=1,所以点P的坐标为(-1,1)或(1,1).8.答案112解析由题图可得f(4)=5,由直线l经过(0,3),(4,5),得直线l的斜率为5-34-0=1
7、2,即f(4)=12,所以f(4)+f(4)=5+12=112.9.答案4解析由题意得,f(x)=limx0yx=limx013(x+x)3-4x+x-13x3+4xx=limx0xx+x2+13(x)2+4x2+xx=x2+4x22x24x2=4,当且仅当x=2时取等号.10.答案-1解析设切点为P(x0,y0),则y=2(x0+x)2+1-2x02-1=4x0x+2(x)2,所以yx=4x0+2x.当x0时,yx 4x0,即f(x0)=4x0,所以4x0=4,解得x0=1,所以y0=3,将(1,3)代入直线4x-y+m=0,得m=-1.三、解答题11.解析(1)由题意可设Ax1,x124,
8、Bx2,x224(x1x2),则x1+x2=4.所以直线AB的斜率k=x124-x224x1-x2=14(x1+x2)=144=1.(2)设直线AB的方程为y=x+t,代入曲线C:y=x24,可得x2-4x-4t=0,则=16+16t0,解得t-1,易求得x1+x2=4,x1x2=-4t,由y=x24得y=limx014(x+x)2-14x2x=limx012xx+14(x)2x=12x,设Mm,m24,则曲线C在点M处的切线斜率为12m,由曲线C在点M处的切线与直线AB平行,可得12m=1,解得m=2,即M(2,1),由AMBM可得,kAMkBM=-1,即x124-1x1-2x224-1x2
9、-2=-1,化简得x1x2+2(x1+x2)+20=0,即-4t+28=0,解得t=7,直线AB的方程为y=x+7.12.解析因为f(x)=limx0yx=limx0a(x+x)2+1-(ax2+1)x=2ax,所以f(1)=2a,即曲线y=f(x)的切线斜率k1=2a.因为g(x)=limx0yx=limx0(x+x)3+b(x+x)-(x3+bx)x=3x2+b,所以g(1)=3+b,即曲线y=g(x)的切线斜率k2=3+b.因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处有公切线,所以2a=3+b.又因为c=a+1,c=1+b,所以a+1=1+b,即a=b,代入式,得a=3,b=3.