1、课堂探究探究一 求曲边梯形的面积1求曲边梯形的面积时要按照分割近似代替求和取极值这四个步骤进行2近似代替时，可以用每个区间的右端点的函数值代替，也可用每个区间的左端点的函数值代替3求和时要用到一些常见的求和公式，例如：123n，1222n2等【典型例题1】 用曲边梯形面积的计算方法求由直线x0，x1，y0及曲线y3x所围成图形的面积思路分析：严格按照分割近似代替求和取极限这四个步骤进行计算求解解：(1)分割：把区间0,1等分成n个小区间(i1,2，n)每个小区间的长度为x，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，其面积记为Si(i1,2，n)(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积Sifx3(
2、i1)(i1,2，n)(3)求和：Si(i1)12(n1).(4)取极限：S (i1) .故所求面积等于.探究二 用定积分的定义求定积分用定积分的定义求定积分与求曲边梯形的面积的步骤是相同的，即分割近似代替求和取极限其中，被积函数就是曲边梯形的曲边对应的函数，积分的上、下限分别是曲边梯形中垂直于x轴的两条直线与x轴交点的横坐标值，面积的值就是相应定积分的值【典型例题2】 用定义求定积分(x22x)dx.解：设f(x)x22x.将区间0,1平均分成n等份，则xi.第i个区间为(i1,2,3，n)取i，则f(i)f22i2i，于是f(i)xi；Sn(i)xi.当n时，Sn，即Sn，所以(x22x)
3、dxSn.探究三 定积分几何意义的应用1定积分f(x)dx的几何意义是：介于xa，xb之间，x轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和，其中x轴上方部分面积为正，x轴下方部分的面积为负2定积分几何意义的应用主要有两个方面：一是将求平面图形的面积问题转化为求相应的函数的定积分问题；二是将一些求特殊函数的定积分问题转化为求相应平面图形的面积问题3求定积分值的时候，要注意结合函数图象的对称性求解【典型例题3】 用定积分的几何意义求下列定积分的值：(1)xdx；(2)dx；(3)sin xdx；(4)cos xdx.思路分析：画出相应被积函数的图象，再根据定积分的几何意义求解解：(1)定积分xdx的值就是
4、由直线yx，x1，x2，y0所围成图形的面积，这里恰好是一个直角梯形，其面积为S(12)1，于是xdx.(2)被积函数y表示的曲线是圆心在原点，半径为2的上半圆，由定积分的几何意义知定积分计算的是半圆的面积，所以有dx2.(3)函数ysin x在区间，上是一个奇函数，图象关于原点成中心对称(如图)，由在x轴上方和下方面积相等的两部分构成，故该区间上定积分的值为面积的代数和，等于0，即sin xdx0. (4)由函数ycos x图象(如图)的对称性可知，x轴上方和下方的面积相等，所以cos xdx0.探究四 定积分性质的简单应用应用定积分的性质可以解决定积分的计算问题，但要注意这些性质的逆用和变
5、形应用【典型例题4】 求解下列各题：(1)若f(x)g(x)dx2，g(x)dx3，则4f(x)dx_.(2)已知f(x)dx5，f(x)dx4，则f(x)dx_.思路分析：利用定积分的性质进行求解解析：(1)由于f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx，所以f(x)dxf(x)g(x)dxg(x)dx2(3)5，于是4f(x)dx4f(x)dx4520.(2)由于f(x)dxf(x)dxf(x)dx，因此f(x)dxf(x)dxf(x)dx541，故f(x)dxf(x)dx1.答案：(1)20(2)1探究五 易错辨析易错点：对定积分与曲边梯形面积的关系理解不清而出错【典型例题5】 用定积分表示曲线ysin x与直线x，x0，y0所围成图形的面积错解：所求面积为sin xdx.错因分析：没有分析曲线ysin x的位置，盲目套用定积分与曲边梯形面积的关系导致错误事实上，图形在x轴下方，故其面积应等于定积分的相反数正解：所求面积为sin xdx，或.
