1、3.4 基本不等式:第1课时 基本不等式主题 基本不等式1.若a,bR,则代数式a2+b2与2ab的关系如何?提示:因为a2+b2-2ab=(a-b)20,所以对a,bR,a2+b22ab.2.上述结论中,“=”何时成立?提示:对于(a-b)2,当a=b时,(a-b)2=0,所以当a=b时,a2+b2=2ab,等号成立.3.若把a看作()2,把b看作()2,那么a+b与2 的关系如何?提示:所以a+b2 .4.问题3的结论中,等号成立的条件是什么?提示:对于()20,当即a=b时,等号成立,此时a+b=2 .结论:1.重要不等式当a,b是任意实数时,有a2+b2_,当且仅当_时,等号成立.2a
2、ba=b2.基本不等式(1)有关概念:当a,b均为正数时,把_叫做正数a,b的算术平均数,把_叫做正数a,b的几何平均数.(2)不等式:当a,b是任意正实数时,a,b的几何平均数不大于它们的算术平均数,即 _,当且仅当_时,等号成立.(3)文字叙述:两个正数的 _不大于_.a=b几何平均数算术平均数【对点训练】1.有下列条件:ab0;ab0,b0;a0,b0,则0和0都成立,故正确;ab0,b0和中a0,b0和0成立.2.设a,b为正数,且a+b4,则()A.1B.2C.ab 4D.ab8【解析】选C.因为a,b为正数,且a+b2 ,所以ab 4,当且仅当a=b=2时取等号.3.已知x+3y=
3、2,则3x+27y的最小值为_.【解析】3x+27y=3x+33y2 =2 =6,当且仅当3x=33y,即x=3y=1时等号成立.答案:6类型一 基本不等式及其简单应用【典例1】1.设0ab,则下列不等式中正确的是()2.给出下面四个推导过程:因为a,b(0,+),所以因为x,y(0,+),所以lg x+lg y2 因为aR,a0,所以+a2 =4;因为x,yR,xya0,所以,2bb+a,b ,所以a b.方法二:取a=2,b=8,则所以a b.2.选D.从基本不等式成立的条件考虑.因为a,b(0,+),所以 (0,+),符合基本不等式的条件,所以的推导过程正确;虽然x,y(0,+),但当x
4、(0,1)时,lg x是负数,y(0,1)时,lg y是负数,所以的推导过程是错误的;因为aR,a0不符合基本不等式的条件,所以+a2 =4是错误的;由xy0,b0.【拓展延伸】基本不等式常见推论(1)(2)当a0时,a+2.(3)当ab0时,2.(4)(a1,a2,anR+且n2,nN*).(5)(a1+a2+an)n2(a1,a2,anR+且n2,nN*).【跟踪训练】1.设f(x)=ln x,0ab,若p=f(),q=f ,r=(f(a)+f(b),则下列关系式中正确的是()A.q=rpC.p=rq【解析】选C.由条件可得p=f()=ln(ab)=ln(ab)=(ln a+ln b),r
5、=(f(a)+f(b)=(ln a+ln b)=p,由不等式的性质:在0ab的条件下,且函数f(x)=ln x是增函数,所以p=f()q=f ,所以p=r1,b1,且|lg(a-1)|=|lg(b-1)|.由对数函数的性质得,lg(a-1)+lg(b-1)=0,所以(a-1)(b-1)=1,所以ab=a+b,故a+2b=(a+2b)(当且仅当时等号成立).答案:2 +3,+)类型二 利用基本不等式证明不等式【典例2】(2019全国卷)已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)a2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.【解题指南】(1)利用abc=1将所证不
6、等式可变为证明:a2+b2+c2bc+ac+ab,利用基本不等式可证得2(a2+b2+c2)2ab+2bc+2ac,从而得到结论;(2)利用基本不等式可得(a+b)3+(b+c)3+(c+a)33(a+b)(b+c)(c+a),再次利用基本不等式可将不等式转化为(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324 ,在取等条件一致的情况下,可得结论.【解析】(1)因为abc=1,所以 =abc=bc+ac+ab，因为2(a2+b2+c2)=(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)2ab+2bc+2ac，当且仅当a=b=c时取等号，所以2(a2+b2+c2)2 ,即:a2+b2+c2 (2)因为(
7、a+b)3+(b+c)3+(c+a)33(a+b)(b+c)(c+a),当且仅当a=b=c时取等号，又a+b2 ,b+c2 ,a+c2 (当且仅当a=b=c时等号同时成立)所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)332 2 2 =24 又abc=1,所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.【方法总结】利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.(2)注意事项:多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用;对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用.【跟踪训练】若a,b,c是正实数,且=1,求证:a+b+c1.【证明】a+2b+3c=(a+2b+3c)=3+2+2+2=9,当且仅当a=2b=3c时,上式取得等号.则有a+b+c1.【知识思维导图】