1、第十二节导数的综合应用【最新考纲】会用导数解决实际问题，能利用导数解决函数的零点、不等式恒成立或证明问题1生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点2利用导数解决生活中的优化问题的基本思路3导数在研究方程(不等式)中的应用研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题、利用导数进行研究1(质疑夯基)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存
2、在最优解()(2)函数f(x)x3ax2bxc的图象与x轴最多有3个交点，最少有一个交点()(3)函数F(x)f(x)g(x)的最小值大于0，则f(x)g(x)()(4)“存在x(a，b)，使f(x)a”的含义是“任意x(a，b)，使f(x)a”()答案：(1)(2)(3)(4)2已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件B11万件C9万件 D7万件解析：yx281，令y0得x9或x9(舍去)当x(0，9)时，y0，当x(9，)时，y0，则当x9时，y有最大值即使该生产厂家获取最大年利润的
3、年产量为9万件答案：C3若函数f(x)x33xa有3个不同的零点，则实数a的取值范围是_解析：由于函数f(x)是连续的，故只需要两个极值异号即可，f(x)3x23，令3x230，得x1，只需f(1)f(1)0，即(a2)(a2)0，故a(2，2)答案：(2，2)4若f(x)，0ab0，即f(x)0，f(x)在(0，e)上为增函数，又0abe，f(a)f(b)答案：f(a)f(b)5表面积为12的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为_解析：因为122rh2r2，所以rhr26.所以Vr2hr(6r2)(0r)由V(63r2)0得r.当0r0；当r时，V0.所以当r时，V取极大值，也是
4、最大值，此时h2，所以rh12.答案：12一个“构造”把所求问题通过构造函数，转化为可用导数解决的问题，这是用导数解决问题时常用的方法两个转化一是利用导数研究含参数函数的单调性问题，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理两点注意1注意实际问题中函数定义域的确定2如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点一、选择题1(2016潍坊模拟)方程x36x29x100的实根个数是()A3B2C1 D0解析：设f(x)x36x29x10，f(x)3x212x93(x1)(x3)，由此可知函
5、数的极大值为f(1)60，极小值为f(3)100，所以方程x36x29x100的实根个数为1个答案：C2某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是RR(x)则总利润最大时，年产量是()A100 B150C200 D300解析：由题意，总成本函数为CC(x)20 000100 x，总利润P(x)又P(x)令P(x)0，得x300，易知x300时，总利润P(x)最大答案：D3若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是()A(，) B(2，)C(0，) D(1，)解析：2x(xa)x.令f(x)x，f(x)12xln
6、20.f(x)在(0，)上单调递增，f(x)f(0)011，a的取值范围为(1，)，答案：D4若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)1，f(0)4，则不等式f(x)1(e为自然对数的底数)的解集为()A(0，) B(，0)(3，)C(，0)(0，) D(3，)解析：由f(x)1得，exf(x)3ex，构造函数F(x)exf(x)ex3，得F(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)1由f(x)f(x)1，ex0，可知F(x)0，即F(x)在R上单调递增，又因为F(0)e0f(0)e03f(0)40，所以F(x)0的解集为(0，)答案：A5(2014新课标全国卷)已知函数f(
7、x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00.则a的取值范围是()A(2，) B(1，)C(，2) D(，1)解析：a0时，不符合题意a0时，f(x)3ax26x.令f(x)0，得x0或x.若a0，则由图象知f(x)有负数零点，不符合题意则a0知，此时必有f0，即a310，化简得a24.又a0，所以a0，当p(30，)时，y0)现已知相距18 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和设ACx(km)(1)试将y表示为x的函数；(2)若a1，且x6时，y取得最小值，试求b的值解：(1)设点C受A污染源
8、污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中k为比例系数，且k0.从而点C处受污染程度y.(2)因为a1，所以，y，yk令y0，得x，又此时x6，解得b8，经验证符合题意，所以，污染源B的污染强度b的值为8.10(2014新课标全国卷)设函数f(x)aexln x，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为ye(x1)2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)1.(1)解：函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)aexln xexex1ex1.由题意可得f(1)2，f(1)e.故a1，b2.(2)证明：由(1)知，f(x)exln xex1.，从而f(x)1等价于xln xxex，设函数g(x
9、)xln x，则g(x)1ln x.所以当x时，g(x)0.故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，)上的最小值为g.设函数h(x)xex，则h(x)ex(1x)所以当x(0，1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0时，g(x)h(x)，即f(x)1.11已知函数f(x)x3x2axa，xR，其中a0，(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(2，0)内恰有两个零点，求a的取值范围解：(1)由题意得，f(x)x2(1a)xa(x1)(xa)由f(x)0，得x11，x2a0.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：故函数f(x)的单调递增区间是(
10、，1)，(a，)；单调递减区间是(1，a)(2)由(1)知f(x)在区间(2，1)内单调递增，在区间(1，0)内单调递减，从而函数f(x)在区间(2，0)内恰有两个零点，当且仅当解得0a0，所以f(x)在(0，)上单调递增若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为flnaln aa1.因此f2a2等价于ln aa10.令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当0a1时，g(a)1时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0，1)1判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断f(x)的符号问题上，而f(x
11、)0或f(x)0，最终可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题2若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题求解【变式训练】已知函数f(x)x3ax2xc，且af.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)(f(x)x3)ex，若函数g(x)在x3，2上单调递增，求实数c的取值范围解：(1)由f(x)x3ax2xc，得f(x)3x22ax1.当x时，得af32a1，解之，得a1.(2)由(1)可知f(x)x3x2xc.则f(x)3x22x13(x1), 列表如下：所以f(x)的单调递增区间是(，)和(1，)；f(x)的单调递减区间
12、是.(3)函数g(x)(f(x)x3)ex(x2xc)ex，有g(x)(2x1)ex(x2xc)ex(x23xc1)ex，因为函数g(x)在x3，2上单调递增，所以h(x)x23xc10在x3，2上恒成立只要h(2)0，解得c11，所以c的取值范围是11，)热点2利用导数研究函数的零点或曲线交点问题研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，为此，我们可以通过讨论函数的单调性来解决，其主要考查方式有：(1)确定函数的零点、图象交点的个数；(2)由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围 设函数f(x)ln x，mR.(1)当me(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(
13、x)f(x)零点的个数解：(1)由题设，当me时，f(x)ln x，则f(x)，由f(x)0，得xe.当x(0，e)，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增，当xe时，f(x)取得极小值f(e)ln e2，f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)f(x)(x0)，令g(x)0，得mx3x(x0)设(x)x3x(x0)，则(x)x21(x1)(x1)，当x(0，1)时，(x)0，(x)在(0，1)上单调递增；当x(1，)时，(x)时，函数g(x)无零点；当m时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)无零点；当m或m0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m0时，f(x)2aal
14、n .规范解答：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2e2x(x0).2分当a0时，f(x)0，f(x)没有零点；3分当a0时，设u(x)e2x，v(x)，因为u(x)e2x在(0，)上单调递增，v(x)在(0，)上单调递增所以f(x)在(0，)上单调递增又f(a)0，当b满足0b且b时，f(b)0时，f(x)存在唯一零点.6分(2)证明：由(1)，可设f(x)在(0，)上的唯一零点为x0，当x(0，x0)时，f(x)0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以当xx0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0).9分由于2e2x00，所以f(x0)2ax0aln2
15、aaln.故当a0时，f(x)2aaln .12分【满分规则】(1)本题易失分点是忽视f(x)的定义域；忽视当a0时，f(x)0的情况；求解使f(b)0的b所满足的约束条件；用f(x0)0，求解f(x0)的表达式(2)得满分的原则讨论函数的性质应首先求出函数的定义域；当解析式中含有参数时，应注意分类讨论；准确计算，正确推理、论证，并用规范的文字语言、符号语言进行表述【构建模板】第一步：求函数f(x)的导函数f(x)；第二步：分类讨论f(x)的单调性；第三步：判断f(x)零点的个数；第四步：证明f(x)在f(x)的零点取到最小值第五步：求出f(x)最小值的表达式，证明结论成立；第六步：反思回顾，
16、查看关键点、易错点和解题规范【变式训练】(2014课标全国卷)设函数f(x)aln xx2bx(a1)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为0.(1)求b；(2)若存在x01，使得f(x0)0，f(x)在(1，)上单调递增所以，存在x01，使得f(x0)的充要条件为f(1)，即1，解得1a1.若a1，故当x时，f(x)0.f(x)在上单调递减，在上单调递增所以存在x01，使得f(x0)的充要条件为f，所以不合题意若a1，则f(1)11.综上，a的取值范围是(1，1)(1，)1(2014课标全国卷)已知函数f(x)exex2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)f(2x)4b
17、f(x)，当x0时，g(x)0，求b的最大值解：(1)f(x)exex20，等号仅当x0时成立，所以f(x)在(，)上单调递增(2)g(x)f(2x)4bf(x)e2xe2x4b(exex)(8b4)x，g(x)2e2xe2x2b(exex)(4b2)2(exex2)(exex2b2)当b2时，g(x)0，等号仅当x0时成立，所以g(x)在(，)单调递增而g(0)0，所以对任意x0，g(x)0；当b2时，若x满足2exex2b2，即0xln(b1)时，g(x)0.而g(0)0，因此当0xln(b1)时，g(x)0，即aa，又f(0)a.所以要使方程f(x)k在0，)上有两个不相等的实数根，则k
18、的取值范围是.3已知函数f(x)x2ln xax，aR.(1)当a1时，求f(x)的最小值；(2)若f(x)x，求a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)x2ln xx，f(x).当x(0，1)时，f(x)0.所以f(x)的最小值为f(1)0.(2)由f(x)x，得f(x)xx2ln x(a1)x0.由于x0，所以f(x)x等价于xa1.令g(x)x，则g(x).当x(0，1)时，g(x)0.故g(x)有最小值g(1)1.故a11，即a的取值范围是(，0)4已知函数f(x)axxln x的图象在点xe(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)求实数a的值；(2)若kZ，且k1恒成立，求k的
19、最大值解：(1)因为f(x)axxln x，所以f(x)aln x1.因为函数f(x)axxln x的图象在点xe处的切线斜率为3，所以f(e)3，即aln e13，所以a1.(2)由(1)知，f(x)xxln x，又k1恒成立，即k1恒成立令g(x)，则g(x)，令h(x)xln x2(x1)，则h(x)10，所以函数h(x)在(1，)上单调递增因为h(3)1ln 30，所以方程h(x)0在(1，)上存在唯一实根x0，且满足x0(3，4)当1xx0时，h(x)0，即g(x)x0时，h(x)0，即g(x)0，所以函数g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以g(x)ming
20、(x0)x0(3，4)所以kg(x)minx0(3，4) ，故整数k的最大值为3.5(2016贵阳期末)已知函数f(x)(aR，a0)(1)当a1时，求函数f(x)的极值；(2)若函数F(x)f(x)1没有零点，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)，f(x).由f(x)0，得x2.当x变化时f(x)，f(x)的变化情况如下表：所以，函数f(x)的极小值为f(2)，函数f(x)无极大值(2)F(x)f(x).当a0，解得ae2，所以此时e2a0时，F(x)，F(x)的变化情况如下表：因为F(2)F(1)0，且F(1)0，所以此时函数F(x)总存在零点综上所述，所求实数a的取值范围是(e
21、2，0)6(2017河南、河北、山西省质检(二)已知函数f(x)x2aln x1(aR)(1)判断函数f(x)的单调性；(2)若对于任意的x1，e，任意的a(2，1)，不等式maf(x)0.当a0时，恒有f(x)0，则f(x)在(0，)上是增函数；当a0时，当0x 时，f(x) 时，f(x)0，则f(x)在 上是增函数综上，当a0时，f(x)在(0，)上是增函数；当a0时，f(x)在 上是减函数，f(x)在上是增函数(2)由题意知对任意a(2，1)，任意x1，e，不等式maf(x)a2恒成立，等价于2ma2a2f(x)min.因为a(2，1)，所以 1.由(1)知，当a(2，1)时，f(x)在x1，e上是增函数所以f(x)minf(1)2，所以maa2a.设h(a)a，a(2，1)，h(a)10，所以h(a)在(2，1)上单调递增所以h(a)h(1)2.所以实数m的取值范围为m2.