1、解析几何专 题 七 121()2345轨迹定义：轨迹是符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹求轨迹的一般步骤建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标-解析法 坐标法 寻求动点与已知点满足的关系式几何关系将动点与已知点坐标代入几何关系代数化化简整理方程简化证明所得方程为所求的轨迹方程完成其充要性 312求轨迹方程应注意的问题求轨迹方程后一定要注意轨迹的纯粹性和完备性，以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应的关系，尤其是题中涉及三角形、斜率、参数方程中参数的限制，否则使方程产生增根要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念
2、1,01_FlxPPlQQP QFFP FQPC 如图，已知点，直线：，为平面上的动点，过 作直线 的垂线，垂足为，且，则动点 的轨迹 的方程为例1：考点1 直接法与定义法求轨迹()P xyQP QFFP FQP设，因为是本题条件中最关键的一个条件等式，所以只须用 点的坐标及已知条件将此等式转化为代数等式即可得分析：到结论22()(1)1,0(2)(1)(2)4.4.P xyQyQP QFFP FQxyxyyyxPCyx 设点，则，由，得，化简所以动点 的轨迹 的为析方程解：本题主要考查平面向量的坐标运算、数量积运算抛物线的基础知识，考查利用“直接法”求点的轨迹方程最基本【评析】的方法1221
3、21,01,02(01)sin.PABddAPBd dPCC 设动点 到点和的距离分别为 和，且存在常数 ，使得证明：动点 的轨迹 为双曲线，并求出变试题的方程2251212221212121222222 22cos244sin44sin22()2|2 1()222 1111.1.1PABABddd dddd dddd dPAPBABPCABaacbaxyC 在中，则，即常数 ，即常数，故点 的轨迹 是以，为焦点，实轴长的解析：双曲线，所以，则故所求轨迹 的方程为：(0)2,01(1)212FDAPPAM已知在平面直角坐标系中的一个椭圆的中心在原点，左焦点，右顶点，设点，求该椭圆的标准方程；若
4、 是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程考点2 代入法与参数法求轨迹 12ab第小题直接应用焦点坐标及顶点坐标即可求得、；第小题属于主动点与从动点的轨迹问题，利用代入法分析：即可解决 22222222210,01.2,02.(3 0)3.11.4OxxyabDaFcabcbxy由于椭圆的中心在，焦点在 轴上，则设椭圆的标准方程为由于右顶点为，则因为左焦点为，所以由，得，故椭圆方程为解析：13 00000022222()()1212221.122211(2)14211()4()124M xyPxyxxMPAyyxxPPyyxyxyM 令，与之相应的动点 为，因为为的中点，所以，即又点 在椭圆上，
5、将点 的坐标代入椭圆方程，得，即为所求点的轨迹方程00“”xyxy本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、中点坐标公式，考查 代入法 求点的轨迹的基本方法及转化的数学思想利用“代入法”求点的轨迹方程的关键是用从动点的坐标、来表示主动点的坐标、，其表示的途径主要有：利用定比分点坐标公式；利用向量相等等有关知识；利用圆锥曲线的定义；利用对【评析】称知识2221,0()_xyFFABCMCMCACBCOOM 已知双曲线的右焦点为，过点的动直线与双曲线相交于，两点，点 的坐标是，若动点满足其中为坐标原点，则点的轨迹方程为变试题112211221212()()()(1)(1)(1)1,013M xyA x
6、yB xyCMxy CAxyCBxyCOxxxCMCACBCOyyy 设，则，解由得析，：，121222222221222.2(1)21442041xxxABxyyyAByk xkxykxk xkkxxk 即当直线不与 轴垂直时，设直线的方程是，代入，有，则，1122112221212122222()()()(1)(1)(1)1,044144(4).11M xyA xyB xyCMxy CAxyCBxyCOkxxyyk xxkkkk kk 设，则，则，由得222221222442114.22,04.kkxykkkxyABxxxMMxy，由消去参数，得当与 轴垂直时，求得，也满足上述方程，综上所
7、述，所求点的轨迹方程是240ypx pOAOBOABM 过抛物线的顶点作互相垂直的两弦，求备选例抛物线的顶点 在直线上的射影的轨题迹方程ABABOMM设出，两点坐标，然后根据条件和这两个的坐标确定出的直线方程与的直线方程，最后将这两个方程联立消元可求得点的轨分析：迹方程22222222404()()444.116.()4444016ABABOAAOBOAOBBABABAAABABABABABypx pyypAyBykppypkOAOBkkyy ypAByyyyyxyypppyyypxy yy yp 点，在抛物线上，设，所以，由垂直，得，得又的方程为，解析：即，把代入，2222222224160
8、44024.24.ABABABAByyypxpyyOMyxyypxypxxpypMxpyp得的方程为，又的方程为，由消去得，即得，即所以点的轨迹方程为本题是利用交轨法求轨迹方程用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可交轨法实际上是参数法中的一种特【评析】殊情况1()xy直接法：如果题设条件给出 或通过分析图形性质得出 的动点所满足的几何关系，则只须把这种关系转化成含有，的表达式，通过化简整理便可得到曲线的轨迹方程这种求轨迹方程的方法我们称之为直接法2定义法：利用所学椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种
9、方法叫做定义法这种方法要求题设中有定点与定直线或两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件00000003()()()()0()()()()P xyQ xyxyxyxf xyyg xyQ xyP代入法：对某些探求涉及多个动点且较复杂的点的轨迹问题，如果所求轨迹的动点，称为从动点 随已知曲线上的动点，称为主动点 运动而运动，则可利用已知中的其他条件用，表示，即，再将，点的坐标代入已知曲线的方程，化简后即可得 点的轨迹方程，这种方法称为代入法或相关点法 4()xyxy参数法：如果所求轨迹的动点的运动常常受到另一个变量的制约，或者说用这个变量可以将动点坐标，中的，表示出来我们
10、可以取这个变数为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法如果需要得到轨迹的普通方程，需要将参数消去5交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程可以说是参数法的一种特殊情况22310 A A1.(201BC1D)CxyyC设圆广东卷与圆外切，与直线相切，则 的圆心轨迹为抛物线双曲线椭圆圆2222()31.3101.011A.CxyCrxyACxyyCArCydrCAdCAyC 设 的坐标为，圆 的半径为，圆的圆心为 因为圆 与圆外切，与直线相切，所以又 到直线的距离，所以，即动点 到定点
11、的距离等于到定直线的距离由抛物线的定义知：的轨迹为抛物线解故选析：2.(2011)2.xOylxxAPlMOPMPOAOPPlME 在平面直角坐标系中，直线：交 轴于点，设 是 上一点，是线段的垂直平分线上一点，且满足当点 在广东上运动时，求点的轨迹卷的方程2221.241(1)2().MQOPOPQMPQAOPMPlMOMPxyxyxxMAOPMQOPMPQMOQ 如图，设为线段的垂直平分线，交于点因为，所以，且因此，即另一种情况，见图 即点和 位于直线的同侧 因为为线段的垂直平分线，所以解析：2222.,0,0(2)()(2)111.,0401.41 1.0 1MPQAOPMOQAOPMxMxM xxPalaMOMPxxaxaM xyxMExxyx R又因为，所以因此在 轴上，此时，记的坐标为分析中 的变化范围，设，为 上任意一点由即，得故的轨迹方程为，综合和得，点的轨迹 的方程为12112222221()110.20111202212.1yk xPxyyk xykxxk kykxyyxyxxPxy 交点 的坐标，满足，故知从而，代入，得整理后，得，所以交点 在椭方：圆法上