1、第二节函数的单调性与值域(一)复习目标学法指导1.增函数、减函数的概念.2.函数的单调性、单调区间.3.函数的最大值和最小值.1.单调性是研究函数中的变量之间的大小关系的重要指标,要学会从数与形两个角度理解与应用单调性.2.单调区间是单调性存在和应用的范围,要注意辨析其表述形式的差异,区分其意义的不同,能根据函数结构的不同求解单调区间.3.能依据函数式特征选择相应性质与方法求解值域(或最值).一、函数的单调性1.单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x
2、)在区间D上是增函数当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.1.概念理解(1)单调性是函数的局部性质,是针对定义域I内某个区间D而言的,即DI;(2)定义的核心是判定两个不等关系的“异同”,标准是“同增异减”.(3)应用定义判定或证明函数的单调性时,x1,x2必须表示任意的自变量,切忌用特殊值代替.(4)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应
3、用逗号间隔,一般不能用并集符号“”连接,也不能用“或”连接.(5)区分两种叙述形式:“函数在区间D上单调”与“函数的单调区间是D”,二者意义不同:前者中D是函数单调区间的子集,后者中D是函数唯一的单调区间.2.与判定函数单调性相关的结论(1)利用定义判断或证明函数的单调性的等价形式设任意x1,x2a,b且x10f(x)在a,b上是增函数; 0f(x)在a,b上是增函数;(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,则kf(x)与f(x)的单调性相同;若k0)在公共定义域内与的单调性相反;与的单调性相同.二、函数的最值前提一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x
4、I,都有f(x)M;(2)存在x0I,使得f(x0)=M.(3)对于任意的xI,都有f(x)M;(4)存在x0I,使得f(x0)=M.结论M为最大值M为最小值1.概念理解(1)最值概念中的两个条件缺一不可,若去掉条件,则“最大、最小”无法确定;若去掉条件,则无法保证“值”是函数值.(2)若函数存在最小值与最大值,则值域为f(x)min,f(x)max.2.与值域相关的知识基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a0)的值域:当a0时,值域为,+);当a0且a1)的值域是(0,+).(5)y=log ax(a0且a1)的值域是R.(6)y=sin x,
5、y=cos x的值域是-1,1.(7)y=tan x的值域是R.1.下列函数中,在区间(0,+)上为增函数的是(A)(A)y=(B)y=(x-1)2(C)y=2-x (D)y=log0.5(x+1)解析:显然y=是(0,+)上的增函数;y=(x-1)2在(0,1)上是减函数,在(1,+)上是增函数;y=2-x,即y=()x在R上是减函数;y=log0.5(x+1)在(0,+)上是减函数.故选A.2.设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论一定正确的是(C)(A)y=在R上为减函数(B)y=|f(x)|在R上为增函数(C)y=2-f(x)在R上为减函数(D)y=-f(x)3在R上为增函数解析:根
6、据题意,依次分析选项:对于A,对于函数f(x)=x,y=,在R上不是减函数,A错误;对于B,对于函数f(x)=x,y=|f(x)|=|x|,在R上不是增函数,B错误;对于C,令t=f(x),则y=2-f(x)=()f(x)=()t,t=f(x)在R上为增函数,y=()t在R上为减函数,则y=2-f(x)在R上为减函数,C正确;对于D,对于函数f(x)=x,y=-f(x)3=-x3,在R上为减函数,D错误.故选C.3.函数y=x2-2ax+b在(-,1上单调递减,则实数a的取值范围是;若其单调递减区间是(-,1),则实数a的值是.解析:函数y=x2-2ax+b的递减区间是(-,a,所以(-,1(
7、-,a,故a1.答案:1,+)14.已知函数f(x)=x(2x-),若f(x-1)f(x),则x的取值范围是.解析:当x0时,f(x)在(0,+)上递增,而f(-x)=f(x),f(x)是偶函数,故f(x)在(-,0)上是减函数,若f(x-1)f(x),则|x-1|x|,即(x-1)2x2,解得x0)在x(-1,1)时的单调性.解:设-1x1x21,则f(x1)-f(x2)=-=.因为-1x1x20,x1x2+10,(-1)(-1)0.因此当a0时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),此时函数f(x)在(-1,1)上为减函数. 利用定义判定函数单调性的步骤(1)取值:任取所给区间
8、上两个变量x1,x2;(2)作差,若f(x)0(或0),也可以作商;(3)变形:化简后的代数式中须出现“x1-x2”;(4)定号:判定差的正负或商与1的大小,必要时分类讨论;(5)判定:注意完整的叙述.给出下列命题:函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单调增区间是(-,0(0,+);若定义在R上的函数f(x),有f(-1)0,则函数f(x)在D上是增函数;闭区间上的单调函数,其最值一定在区间端点取到.其中正确的是(D)(A)(B)(C)(D)解析:错误.函数的单调递增区间应为(-,0和(0,+).错误.f(-1)0,则x1x2时,f(x1)f(x2);x1x2时,f(x1)f(x2).
9、正确.若函数在闭区间上单调,则其图象的最高、最低点一定在端点,即最值在端点取到.考点二求函数的单调区间【例2】 (1)函数f(x)=(x2-4)的单调递增区间为()(A)(0,+)(B)(-,0)(C)(2,+)(D)(-,-2)(2)函数y=f(x)(xR)的图象如图所示,则函数g(x)=f(log ax)(0a1)的单调减区间是()(A)0,(B),1(C)(-,0),+)(D) ,解析:(1)函数y=f(x)的定义域为(-,-2)(2,+),因为函数y=f(x)是由y=t与t=g(x)=x2-4复合而成,又y=t在(0,+)上单调递减,g(x)在(-,-2)上单调递减,所以函数y=f(x
10、)在(-,-2)上单调递增,故选D.(2)因为u=logax(0a0,解得x2,故函数的定义域为x|x2,f(x)=ln t单调递增,根据复合函数单调性知原函数f(x)=ln(x2-3x+2)的递增区间是(2,+).故选D.2.f(x)=|x2+x-6|的单调递增区间是.解析:数形结合得f(x)的单调递增区间是(-3,-),(2,+).答案:(-3,-),(2,+)考点三求函数的最值(值域)【例3】 (1)f(x)=xlg x在区间2,10上的最大值为,最小值为.(2)函数y=-x(x0)的最大值为.(3)函数f(x)=(x1)的最小值为.解析:(1)g(x)=x在2,10上递增且为正数,h(
11、x)=lg x在2,10递增且为正数,所以f(x)=xlg x在区间2,10上递增,所以最大值为f(10)=10,最小值为f(2)=2lg 2.(2)令t=,则t0,所以y=t-t2=-+, 结合图象知,当t=,即x=时,ymax=.(3)f(x)= =(x-1)+22+2=8,当且仅当x-1=,即x=4时,f(x)min=8.答案:(1)102lg 2(2)(3)8 求函数最值(值域)的常用方法及适用类型(1)单调性法:易确定单调性的函数,利用单调性法研究函数最值(值域).(2)图象法:能作出图象的函数,用图象法,观察其图象最高点、最低点,求出最值(值域).(3)基本不等式法:分子、分母其中
12、一个为一次,一个为二次函数结构以及两个变量(如x,y)的函数,一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件,用基本不等式法求最值(值域).(4)换元法:对解析式较复杂的函数,可通过换元转化为以上类型中的某种,再求解.用换元法时,一定要注意新“元”的范围.1.(2018台州模拟)若函数f(x)=a-(aR)是奇函数,则a=,函数f(x)的值域为.解析:函数f(x)=a-(aR)是奇函数,f(-x)+f(x)=0,即a-+a-=2a-(+)=2a+=0,解得a=-1;令y=-1-1-2x=,即有2x=0,解得y1或y0,所以1+1,所以02,即函数f(x)的值域为(0,2).令x1x2,则f(
13、x1)-f(x2)=-= 0,所以x3,因为y=在(0,+)上单调递减,且t=x2-2x-3在(-,-1)上单调递减,在(3,+)上单调递增.所以函数f(x)=在(-,-1)上单调递增,在(3,+)上单调递减. (1)易忽略函数的定义域,只求解二次函数的单调区间;(2)错用复合函数的单调性法则或错用“外层函数”的单调性.1.已知单调函数f(x),对任意的xR都有ff(x)-2x=6,则f(2)等于(C)(A)2(B)4(C)6(D)8解析:设t=f(x)-2x,f(t)=6,且f(x)=2x+t,令x=t,则f(t)=2t+t=6,因为f(x)是单调函数,所以t=2,即f(x)=2x+2,则f(2)=22+2=6.故选C.2.(2017丽水模拟)函数y=为函数(填“奇”或“偶”),函数f(x)=+1的图象的对称中心为.解析:y=的定义域为R,记g(x)=,则g(-x)=-g(x),所以g(x)即y=是奇函数;函数f(x)的定义域为R,f(-x)+f(x)=+1+1=+2=4,故f(x)的对称中心为(0,2).答案:奇(0,2)