1、函数、导数及其应用第 二 章第15讲 导数与函数的极值、最值考纲要求考情分析命题趋势了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).2016，天津卷，20T2016，全国卷，21T2016，山东卷，20T2016，北京卷，14T利用导数求函数的极值、最值，热点问题、高频考点，题型有求函数的极值、最值和已知函数的极值、最值求参数值或取值范围，难度较大.分值：58分板 块 一板 块 二板 块 三栏目导航板 块 四 1函数的极值与导数(1)函数的极小值 若函数yf(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa
2、附近其他点的函数值_，且f(a)0，而且在点xa附近的左侧_，右侧_，则点xa叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值都小f(x)0 (2)函数的极大值 若函数yf(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，且f(b)0，而且在点xb附近的左侧_，右侧_，则点xb叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值f(x)0 f(x)0 2函数的最值与导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件 一般地，如果在区间a，b上，函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤 求函
3、数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数f(x)在区间(a，b)内一定存在最值()(2)函数的极大值一定比极小值大()(3)对可导函数f(x)，f(x)0是x0为极值点的充要条件()(4)函数的最大值不一定是极大值，最小值也不一定是极小值()A A 4若函数f(x)x3ax23x9在x3时取得极值，则a()A2B3 C4D5 解析：f(x)3x22ax3，f(3)0，a5.D 5设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点 Bx1为f(x)
4、的极小值点 Cx1为f(x)的极大值点 Dx1为f(x)的极小值点 解析：求导得f(x)exxexex(x1)，令f(x)ex(x1)0，解得x1，易知x1是函数f(x)的极小值点D 利用导数研究函数极值问题的步骤一 运用导数研究函数的极值【例1】已知函数f(x)xaln x(aR)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值(1，)二 利用导数研究函数的最值 求可导函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的基本步骤(1)求出函数f(x)在区间(a，b)内的所有极值f(x1)，f(x2)，f(xn)；(2)计算函数f(x)在区间a，b上的两个端点值
5、f(a)，f(b)；(3)对所有的极值和端点值作大小比较；(4)对比较的结果作出结论：所有这些值中最大的即是该函数在a，b上的最大值，所有这些值中最小的即是该函数在a，b上的最小值【例4】设函数f(x)(1x)22ln(1x)(1)求f(x)的单调区间；(2)当0a2时，求函数g(x)f(x)x2ax1在区间0,3上的最小值 1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)解析：由图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值，故选DD 2函数f(x)x(xm)2在x1处取得极小值，则m_.1 3已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极值易错点 分类不完全，混淆概念课时达标第15讲制作者：状元桥适用对象：高三学生制作软件：Powerpoint2003、Photoshop cs3运行环境：WindowsXP以上操作系统