1、第2课时 等比数列的前n项和公式的性质及应用内 容 标 准学 科 素 养1.理解等比数列前n项和公式的函数特征2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.提升数学运算发展逻辑推理01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点 有关等比数列前 n 项和的性质思考并完成以下问题类比等差数列前 n 项和的性质，等比数列前 n 项和有哪些性质？(1)若数列an的前 n 项和 Sn2n1，那么数列an是不是等比数列？提示：n1 时，a1S1211.n2 时，anSnSn1(2n1)(2n11)2n1，适合 n1，a11，an为首项是 1，公比是 2 的
2、等比数列(2)若 an2n1，S6，S12S6，S18S12 能成等比数列吗？提示：由 an2n1 可得 Sn2n1.S6261，S12S62122626(261)，S18S12218212212(261)，S12S6S626，S18S12S12S6 26.故 S6，S12S6，S18S12 是公比为 26 的等比数列 知识梳理(1)当公比 q1 时，设 A a1q1，等比数列的前 n 项和公式是SnA(qn1)即 Sn 是 n 的指数型函数当公比 q1 时，因为 a10，所以 Snna1，Sn 是 n 的正比例函数(2)数列an为公比不为1 的等比数列，Sn 为其前 n 项和，则 Sn，S2
3、nSn，S3nS2n仍构成等比数列(3)若an是公比为 q 的等比数列，则 SnmSnqnSm(n，mN*)(4)若an是公比为 q 的等比数列，S 偶，S 奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：在其前 2n 项中，S偶S奇q；在其前 2n1 项中，S奇S偶a1a2a3a4a2na2n1a1a2n1q1q a1a2n21q(q1)自我检测1已知等比数列an的前 n 项和为 Snx3n116，则 x 的值为()A.13 B13C.12D12答案：C2等比数列an的前 n 项和为 Sn，若S6S32827，则公比 q_.答案：13探究一 等比数列前 n 项和公式的函数特征应用例 1 已知数列an的
4、前 n 项和 Snan1(a 是不为零且不等于 1 的常数)，求证：数列an为等比数列证明 当 n1 时，a1S1a1.当 n2 时，anSnSn1anan1an1(a1)an1an(a1)0，an1an a.an是以 a1 为首项，公比为 a 的等比数列方法技巧 等比数列an的前 n 项和 Sn a1q1qn a1q1，利用它可判定为等比数列跟踪探究 1.设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sn2n1，则()A2 B1C1 D2解析：法一：当 n1 时，a1S14.当 n2 时，anSnSn1(2n1)(2n)2n，此时an1an 2n12n 2.因为an是等比数列，所以a2a12，即
5、 442，解得 2.故选 A.法二：依题意，a1S14，a2S2S14，a3S3S28，因为an是等比数列，所以 a22a1a3，所以 8(4)42，解得 2.故选 A.答案：A探究二 等比数列前 n 项和的性质阅读教材 P62第 2 题已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，求证：S7，S14S7，S21S14也成等比数列证明：设等比数列an的首项为 a1，公比为 q.当 q1 时，S77a1，S14S77a1，S21S147a1，显然 S7，S14S7，S21S14 成等比数列当 q1 时，由 S7a11q71q，S14a11q141q，S21a11q211q，可得 S7(S21S14)a
6、21q141q721q2(S14S7)2，因此 S7，S14S7，S21S14 成等比数列综上，等比数列an中，S7，S14S7，S21S14 也成等比数列例 2(1)已知在等比数列an中，S1010，S2030，则 S30_.解析 由已知条件 S1010，S2030，易得 q1，运用性质得 S101q10 S201q20，即101q10301q20，q102.又 S301q30 S101q10，S3070.答案 70(2)等比数列an各项为正，a3，a5，a4 成等差数列Sn 为an的前 n 项和，则S6S3_.解析 因为等比数列an各项为正，a3，a5，a4 成等差数列，所以 a1q2a1
7、q32a1q4,2q2q10，q12或 q1(舍去)，S6S3S3q3S3S3112398.答案 98方法技巧 恰当地使用等比数列的前 n 项和的性质，不仅简化了运算，而且避免了对公比 q 的讨论(3)一个项数为偶数的等比数列，各项之和为偶数项之和的 4 倍，且前 3 项之积为 64，求该数列的通项公式解析 设该数列的首项为 a1，公比为 q，奇数项之和、偶数项之和分别记为 S 奇、S 偶，由题意知 S 奇S 偶4S 偶，即 S 奇3S 偶该数列的项数为偶数，qS偶S奇13.又 a1a1qa1q264，a31q364，即 a112.故所求通项公式为 an12(13)n1.方法技巧 本题在求公比
8、时直接应用了等比数列前 n 项和的性质：若项数为 2n，则S偶S奇q.跟踪探究 2.等比数列an共有 2n 项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大 80，则公比 q_.解析：由题意，知S奇S偶240，S奇S偶80，S奇80，S偶160.公比 qS偶S奇16080 2.答案：2探究三 等差、等比数列的综合问题阅读教材 P61第 6 题已知 Sn 是等比数列an的前 n 项和，S3，S9，S6成等差数列求证：a2，a8，a5 成等差数列证明：设等比数列an的首项为 a1，公比为 q，显然 q1，则 S3a11q31q，S9a11q91q，S6a11q61q.由 S3，S9，S6 成等差数列，
9、得 2a11q91qa11q31qa11q61q，整理得 2q9q3q6，即 2q7qq4，2a1q7a1qa1q4，2a8a2a5，a2，a8，a5 成等差数列例 3 已知公差不为 0 的等差数列an，满足 S777，a1，a3，a11 成等比数列(1)求 an；(2)若 bn2an，求bn的前 n 项和 Tn.解析(1)设等差数列an的公差为 d(d0)，由 S77a1a7277 可得 7a477，则a13d11.因为 a1，a3，a11 成等比数列，所以 a23a1a11，整理得 2d23a1d.又 d0，所以 2d3a1.联立，解得 a12，d3，所以 an3n1.(2)因为 bn2a
10、n23n148n1，所以bn是首项为 4，公比为 8 的等比数列，所以 Tn418n18 23n247.方法技巧 解等差、等比数列综合题的注意点等差数列与等比数列既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强类比记忆(1)设出首项和公差(比)，利用待定系数法可以解决两个数列的所有问题，用好性质会降低解题的运算量，从而减少差错(2)等差数列的单调性只与公差有关，但等比数列的单调性不但与公比有关，也与首项有关(3)既是等差数列又是等比数列的数列是非零常数列(4)若an是等比数列且 an0，则lg an是等差数列(5)若一个数列的通项公式可以看作是一个等差数列与一个等比数列的通项公式的积，则该数列可以用错
11、位相减法求和跟踪探究 3.各项都是正数的等比数列an的公比 q1，且 a2，12a3，a1 成等差数列，则a3a4a4a5的值为()A.1 52B 512C.512D.512或 512解析：因为 a2，12a3，a1 成等差数列，所以 a3a2a1，因为an是公比为 q 的等比数列，所以 a1q2a1qa1，所以 q2q10，因为 q0，所以 q 512，所以a3a4a4a5 a3a4a3qa4q1q 512.答案：C课后小结(1)若数列an为非常数列的等比数列，且其前 n 项和为 SnAqnB(A0，B0，q0，q1)，则必有 AB0；反之，若某一非常数列的前 n 项和为 SnAqnA(A0
12、，q0，q1)，则该数列必为等比数列(2)若等比数列an的前 n 项和为 Sn，则(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，特别地，如果公比 q1 或虽 q1 但 n 为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n 构成等比数列素养培优1忽略对公比 q 的讨论在数列an中，ana2nan(a0)，求an的前 n 项和 Sn.易错分析 不讨论 a 的取值，直接按等比数列求和公式代入求解自我纠正 当 a1 时，an0，Sn0；当 a1 时，a21，Snn11n2；当 a1 时，Sn(a2a4a2n)(aa2an)a21a2n1a2a1an1a.综上，Sn 0 a1，n11n2 a1，a21a2n1a2a1a
13、n1a a1.2忽略题目中的隐含条件在等比数列an中，前 n 项和为 2，紧接着后面的 2n 项和为 12，再紧接着后面的 3n项和 S 是多少？易错分析 产生错误的原因是求出“qn2 或 qn3”后没有考虑它成立的合理性，直接得出：当qn2，a11q2时，S112；当qn3，a11q12时，S378.事实上，当 n 为偶数时，qn 不可能等于3.自我纠正 设数列an的公比为 q，显然 q1，则a11qn1q2，a11q3n1q122，解得qn2，a11q2或qn3，a11q12.当 n 为偶数时，只有 qn2，a11q2 符合题意，故 Sa11q6n1q(212)(2)(126)14112.
14、当 n 为奇数时，qn2，a11q2 和 qn3，a11q12都符合题意，故 S112，或 S121(3)614378.3对等比数列求和的项数用错致误在等比数列an中，公比 q2，前 87 项和 S87140，则 a3a6a9a87_.易错分析 此题中，易把项数弄错本题的求解利用定义显然比较麻烦从题干以及待求式子的特征观察，得 b1a1a4a7a85，b2a2a5a8a86，b3a3a6a9a87 三个等式，然后从等比数列的性质出发，寻找三者之间的内在关系，即可求解，相对比较简单自我纠正 法一：a3a6a9a87a3(1q3q6q84)a1q21q3291q3 q21qq2a11q871q4714080.法二：设 b1a1a4a7a85，b2a2a5a8a86，b3a3a6a9a87，因为 b1qb2，b2qb3，且 b1b2b3140，所以 b1(1qq2)140，而 1qq27，所以 b120，b3q2b142080.答案：8004 课时 跟踪训练