1、课后限时集训(四十五)立体几何中的向量方法建议用时：40分钟一、选择题1若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()A120B60 C30D60或30C设直线l与平面所成的角为，直线l与平面的法向量的夹角为.则sin |cos |cos 120|.又090，30.2(2020江西省五校协作联考)如图，圆锥的底面直径AB4，高OC2，D为底面圆周上的一点，且AOD，则直线AD与BC所成的角为()A.B C.DB如图，过点O作OEAB交底面圆于E，分别以OE，OB，OC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，因为AOD，所以BOD，则D(，1,0)，A(0，2
2、,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，(，3,0)，(0，2,2)，所以cos，则直线AD与BC所成的角为，故选B.3如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()AB CDA设CA2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得向量(2,2,1)，(0,2，1)，由向量的夹角公式得cos，.4在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，AC2，BC，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为()A30B45 C60D90A由已知AB2BC
3、2AC2，得ABBC.以B为原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设AA12a，则A(0,1,0)，C(，0,0)，D，E(0,0，a)，所以，平面BB1C1C的一个法向量为n(0,1,0)，cos，n，n60，所以直线DE与平面BB1C1C所成的角为30.故选A.5设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()AB CDD如图建立坐标系，则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(2,0,2)设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则令z1，得n(1,1,1)D
4、1到平面A1BD的距离d.6如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为()A2B3C4D5C以D为原点，以DA，DC，DD1为坐标轴建立空间坐标系如图所示，设DD1a，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0，a)，C1(0,2，a)，则(2,2,0)，(2,0，a)，(0,0，a)，设平面ACD1的法向量为n(x，y，z)，则令x1可得n，故cosn，.直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，解得a4.故选C.二、填空题7在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC90，ADBC，SA平面ABCD，SAAB
5、BC1，AD，则平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值是_如图所示，建立空间直角坐标系，则依题意可知，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，可知是平面SAB的一个法向量设平面SCD的一个法向量n(x，y，z)，因为，所以即令x2，则有y1，z1，所以n(2，1,1)设平面SCD与平面SAB所成的锐二面角为，则cos .8.如图所示，四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PD2，E是棱PB的中点，M是棱PC上的动点，当直线PA与直线EM所成的角为60时，那么线段PM的长度是_如图建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)，E是
6、棱PB的中点，E(1,1,1)，设M(0,2m，m)，则，解得m，M，PM.9.如图，平面ABCD平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AFADa，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为_如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，(a，a,0)，(0,2a,2a)，(a，a,0)，设平面AGC的法向量为n1(x1，y1,1)，由n1(1，1，1)sin .三、解答题10(2020浙江宁波二模)中国古代数学经典九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，将四个面
7、都为直角三角形的四面体称为“鳖臑”在如图所示的阳马PABCD中， 底面ABCD是矩形PA平面ABCD，PAAD2，AB，以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M(异于点D)，交PC于点N(异于点C)(1)证明：AM平面PCD，并判断四面体MCDA是否是鳖臑？若是，写出它每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由(2)求直线ON与平面ACM所成角的正弦值解(1)因为AC是球的直径，所以AMMC，又PA平面ABCD，所以CDPA，又CDAD，所以CD平面PAD，所以CDAM，所以AM平面PCD.四面体MCDA是鳖臑它的每个面的直角分别是AMC，AMD，ADC，MDC.(2)如图，以
8、A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系则B(，0,0)，C(，2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，O.由(1)知AMPD，又PAAD，则M为PD的中点，从而M(0,1,1)所以(，2,2)，设(，2，2)(01)，则(，22，2)由ANCN，得()2(22)4210260，由0得，即.所以.设平面ACM的法向量为n(x，y，z)由取x，则y1，z1，则n(，1,1)记ON与平面ACM所成的角为，则sin .所以直线ON与平面ACM所成角的正弦值为.11(2020安徽五校联考)如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是等腰梯形，ABCD，ACBDO，P
9、BAC，PAPBAB2CD2，AC3.(1)证明：平面PBD平面ABCD；(2)点E是棱PC上一点，且OE平面PAD，求二面角EOBA的正弦值解(1)证明：等腰梯形ABCD中，OABOCD，2，又AC3，OA2，OB2，OA2OB2AB2，OAOB，即ACBD.又PBAC，且BDPBB，AC平面PBD.又AC平面ABCD，平面PBD平面ABCD.(2)连接PO，如图，由(1)知，AC平面PBD，ACPO，PO2，PO2OB2PB2，即POOB.以OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,2)，平面AOB
10、的一个法向量为m(0,0,1)，OE平面PAD，OE平面PAC，平面PAC平面PADPA，OEPA.设平面EOB的法向量为n(x，y，z)，则n，则y0，nn(x，y，z)(2,0,2)0xz，令x1，则n(1,0,1)，cosm，n，sinm，n，所求二面角EOBA的正弦值是.1(2020连云港模拟)九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑PABC中，PA平面ABC，ABBC，且PAABBC1，则二面角APCB的大小是()A30B45 C60D90C在鳖臑PABC中，PA平面ABC，ABBC，且PAABBC1，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABC的垂
11、线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,1,0)，C(1,0,0)，B(0,0,0)，P(0,1,1)，(0,0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)，设平面PAC的法向量n(x，y，z)，则取x1，得n(1,1,0)，设平面PBC的法向量m(a，b，c)，则取b1，得m(0,1，1)，设二面角APCB的大小为，则cos ，60.二面角APCB的大小为60.故选C.2(2020宣城二模)如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为()AOABC是正三棱锥B二面角DOBA的平面角为C直线AD与直线OB所成角为D直线OD平面ABCB正四
12、面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，在A中，ACABBC，OAOBOC，OABC是正三棱锥，故A正确；在B中，设OB1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，D(1,1,1)，O(0,0,0)，(1,1,1)，(0,1,0)，设平面OBD的法向量m(x，y，z)，则取x1，得m(1,0，1)，平面OAB的法向量n(0,0,1)，cosm，n，二面角DOBA的平面角为，故B错误；在C中，设OB1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，D(1,1,1)，O(0,0,0)，(0,1,1)，(0,1,0)，cos，直线AD与直线OB所成角为，故C正确；在D中，设OB
13、1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，D(1,1,1)，O(0,0,0)，C(0,0,1)，(1,1,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，0，0，ODAB，ODAC，ABACA，直线OD平面ABC，故D正确故选B.3(2020厦门模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面ACC1A1，ABC为正三角形，D为线段BB1的中点(1)证明：平面ADC1平面ACC1A1；(2)若AA1与平面ABC所成角的大小为60，AA1AC，求二面角ADC1B1的余弦值解(1)证明：设AC，AC1的中点分别为M，O，连接BM，MO，DO，ABC为正三角形，BMAC.平面ABC平面ACC1A1，平
14、面ABC平面ACC1A1AC，BM平面ABC，BM平面ACC1A1.M，O分别为AC，AC1的中点，MO綊CC1，在棱柱ABCA1B1C1中，BB1綊CC1，又D为BB1的中点，BD綊CC1，MO綊BD，四边形BMOD为平行四边形，DOBM ，DO平面ACC1A1，DO平面ADC1，平面ADC1平面ACC1A1.(2)平面ACC1A1平面ABC，A1在平面ABC内的射影落在AC上，A1AC为AA1与平面ABC所成的角，故A1AC60，连接A1O，AA1AC，则A1OAO，设AA12，则AO，A1O1，以O为原点，分别以OA，OA1，OD所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
15、则A(，0,0)，D(0,0，)，C1(，0,0)，C(0，1,0)，B1，(，0，)，平面ACC1A1平面ADC1，平面ACC1A1平面ADC1AC1，OA1AC1，OA1平面ADC1，设平面ADC1的一个法向量为(0,1,0)，设平面B1DC1的一个法向量为m(x，y，z)，则取m(1，1)，cos，m，又二面角ADC1B1为钝角，故二面角ADC1B1的余弦值为.1(2020乐清期末)如图在三棱锥SABC中，SASBSC，且ASBBSCCSA，M，N分别是AB和SC的中点，则异面直线SM与BN所成的角的余弦值为_，直线SM与面SAC所成角大小为_因为ASBBSCCSA，所以以S为坐标原点，
16、SA，SB，SC为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)设SASBSC2，则M(1,1,0)，B(0,2,0)，N(0,0,1)，A(2,0,0)，C(0,0,2)因为(1,1,0)，(0，2,1)，cos，所以异面直线SM与BN所成的角的余弦值为，面SAC一个法向量为(0,2,0)，则由cos，得，即直线SM与面SAC所成角大小为.2结构不良试题(2020青岛模拟)试在PCBD，PCAB，PAPC三个条件中选两个条件补充在下面的横线处，使得PO面ABCD成立，请说明理由，并在此条件下进一步解答该题：如图，在四棱锥PABCD中，ACBDO，底面ABCD为菱形，若_，且ABC60，异面直线PB与
17、CD所成的角为60，求二面角APBC的余弦值解若选，由PO平面ABCD，知POAB，又PCAB，AB平面PAC，ABAC，BAC90，BCBA，这与底面是菱形矛盾，必不选，故选.下面证明：PO平面ABCD，四边形ABCD是菱形，ACBD，PCBD，PCACC，BD平面APC，PO平面APC，BDPO，PAPC，O为AC中点，POAC，又ACBDO，PO平面ABCD，以O为原点，OB，OC，OP的方向分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，ABCD，PBA为异面直线PB与CD所成角，PBA60，在菱形ABCD中，设AB2，ABC60，OA1，OB，设POa，则PA，PB，在PBA中，由余弦定理得：PA2BA2BP22BABPcosPBA，a214a2322，解得a，A(0，1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，P(0,0，)，设平面ABP的法向量n(x，y，z)，(，1,0)，(0,1，)，则取z1，得n(，1)，设m(a，b，c)是平面CBP的法向量，(，1,0)，(0，1，)，由令c1，得m(，1)，设二面角APBC的平面角为，cos ，二面角APBC的余弦值为.