1、黑龙江省哈尔滨市第九中学2020-2021学年高二数学下学期6月月试题 文（含解析）一、单选题（共12题；共60分）1.若 z（1-i）=2 ，则 z= （ ） A.B.C.D.2.在区间 上随机取一个数 ，则 的概率为（ ） A.B.C.D.3.“双色球”彩票中红色球的号码由编号为01，02，33的33个个体组成，一位彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个红色球的编号为（）49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91
2、6457 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76A.23B.09C.02D.174.某城市收集并整理了该市2018年1月份至10月份每月最低气温与最高气温（单位：）的数据，绘制了下面的折线图.已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A.每月的最低气温与当月的最高气温两变量为正相关B.10月份的最高气温不低于5月份的最高气温C.月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月份D.最低气温低于0的月份有4个5.曲线 在点( ，0)处的切线的斜率为（ ） A.B.
3、C.- D.6.已知命题 ： ， ，若 是假命题，则实数 的取值范围是（ ） A.B.C.D.7.下列结论正确的是（ ） A.命题“若 ，则 ”的否命题为：“若 ，则 ”B.已知 是 上的可导函数，则“ ”是“ 是函数 的极值点”的充分不必要条件C.若 为真命题， 为假命题，则 为真命题D.若 ，则“ ”是“ ”的充要条件8.某网店经销某商品，为了解该商品的月销量 (单位：千件)与售价 (单位：元/件)之间的关系，收集5组数据进行了初步处理，得到如下数表：56789864.53.53根据表中的数据可得回归直线方程，以下说法正确的是（）A.，具有负相关关系，相关系数B.每增加一个单位，平均减少个
4、单位C.第二个样本点对应的残差D.第三个样本点对应的残差9.已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数 的图象附近，设 ，将其变换后得到线性方程 ，则 （ ） A.B.C.D.10.下列叙述错误的是（ ） A.互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件B.甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率为 ，甲获胜的概率是 ，则甲不输的概率为 C.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件D.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么事件“至多一件一等品”的概率为 11.已知定义域为 的奇函数 的导函数为 ，
5、当 时， ，若 ，则 的大小关系正确的是（ ） A.B.C.D.12.关于函数 ，下列说法错误的是（ ） A. 是 的极小值点B.函数 有且只有 个零点C.存在正实数 ，使得 恒成立D.对任意两个正实数 ， ，且 ，若 ，则 二、填空题（共4题；共20分）13.某单位有840名职工，现采用系统抽样抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间 的人数为_. 14.圣宋元宝，是中国古代钱币之一，宋徽宗赵估建中靖国元年（公元101年）始铸，是仁宗“皇宋通宝”之后又一种不以年号命名的非年号钱，种类主要有小平和折二两种小明同学珍藏有小平钱2枚，折二钱3枚，现随
6、机抽取2枚赠好友，则赠送的两枚为不同种类的概率为_ 15.现有一块边长为2的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为 的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是_. 16.若函数 的最大值为 ，则实数 的取值范围为_. 三、解答题（共6题；共70分）17.以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩.乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以 表示. （1）当 时，分别求出甲、乙两组同学数学成绩的平均数以及乙组的方差； （2）若甲组的数学平均成绩高于乙组的数学平均成绩，求 的值. 18.第24届冬奥会将于2022年在北京市和张家口市联合举行，
7、冬奥会志愿者的服务工作是成功举办的重要保障.在冬奥会的志愿者选拔工作中，某高校承办了冬奥会志愿者选拔的面试工作，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩分五组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右前三个组的频率成等差数列，第一组和第五组的频率相同. （1）求，的值，并估计这80名候选者面试成绩的中位数（中位数精确到0.1）；（2）已知抽取的80名候选人中，男生和女生各40人，男生希望参加张家口赛区志愿服务的人数有10人，女生希望参加张家口赛区志愿服务的人数有20人，补全下面列联表，问是否有95%的把握认为希望参加张家口赛区志愿
8、者服务的候选人与性别有关？男生女生总计希望去张家口赛区1020不希望去张家口赛区总计4040参考数据即公式：， .P（K2k0）0.0500.0100.001 k03.8416.63510.82819.在直角坐标系xOy中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），圆 的方程为 ，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相等的长度单位建立极坐标系，射线l的极坐标方程为 （1）求曲线 和 的极坐标方程； （2）当 时，若射线l与曲线 和圆 分别交于异于点O的M、N两点，且 ，求 的面积 20.某商场对商品近30天的销售情况进行整理，得到如下数据，经统计分析，日销售量 (件)与时间 (天)之间具有线性相关
9、关系. 时间( )246810日销售量( )3837323330（1）请根据表格提供的数据，用最小二乘法原理求出关于的线性回归方程 . （2）已知商品近30天内的日销售价格 (元)与时间 (天)的关系为 .根据（1）中求出的线性回归方程，预测为何值时，商品的日销售额最大. (参考公式， )21.设函数 . （1）求 的单调区间； （2）若 ， 为整数，且当 时， ，求 的最大值. 22.已知函数 . （1）当 时，求 在 的零点个数； （2）若 有两个零点 ， ，且 ，证明： . 答案解析部分一、单选题（共12题；共60分）1.若 z（1-i）=2 ，则 z= （ ） A.B.C.D.【答案】
10、 B 【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】因为 z（1-i）=2 ， 所以 ，故答案为：B. 【分析】根据题意首先由复数代数形式的运算性质整理，即可得出答案。2.在区间 上随机取一个数 ，则 的概率为（ ） A.B.C.D.【答案】 A 【考点】几何概型 【解析】【解答】区间 上随机取一个数 的试验，就是在数轴上数-3和3对应点为端点的线段上任意取点的试验，它们等可能，如图： 这个试验的基本事件总数为这条线段长 ， 的事件M中的每个基本事件是上述线段上到原点距离大于1的每一个点，它所含基本事件数为 ，由几何概型知， ，所以 的概率为 .故答案为：A 【分析】根据已知条件整理即可得到
11、基本事件总数为这条线段长 ，由此得到 的事件M中的每个基本事件是上述线段上到原点距离大于1的每一个点，利用几何概型的定义代入数值计算出结果即可。3.“双色球”彩票中红色球的号码由编号为01，02，33的33个个体组成，一位彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个红色球的编号为（）49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6457 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83
12、92 12 06 76A.23B.09C.02D.17【答案】 D 【考点】简单随机抽样 【解析】【解答】解：由题意知，第一个红球编号为21，第二个编号为32，第三个编号为09，第四个编号为16，第五个编号为17， 故答案为：D. 【分析】根据题意由随机数表中的数据，对选项逐一判断即可得出答案。4.某城市收集并整理了该市2018年1月份至10月份每月最低气温与最高气温（单位：）的数据，绘制了下面的折线图.已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A.每月的最低气温与当月的最高气温两变量为正相关B.10月份的最高气温不低于5月份的最高
13、气温C.月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月份D.最低气温低于0的月份有4个【答案】 D 【考点】频率分布折线图、密度曲线 【解析】【解答】解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：）的数据的折线图，得：在 中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确； 在 中，10月的最高气温为20，5月的最高气温小于20 ，故B正确；在 中，由图知，当月最高气温与最低气温所成线段中，1月份线段最长，则月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；在 中，最低气温低于 的月份有3个，故D错误故答案为：D 【分析】根据题意由折线图中的数据，对选项逐一判断即可得出答案。
14、5.曲线 在点( ，0)处的切线的斜率为（ ） A.B.C.- D.【答案】 B 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【解答】 所以曲线 在点( ，0)处的切线的斜率为 故答案为：B 【分析】首先对函数求导，再把点的坐标代入导函数的解析式计算出结果即可。6.已知命题 ： ， ，若 是假命题，则实数 的取值范围是（ ） A.B.C.D.【答案】 C 【考点】命题的否定，一元二次不等式的解法 【解析】【解答】依题意， ，当且仅当x=-a时取“=”， 因命题 是假命题，即没有实数使得 成立，从而有 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 .故答案为：C 【分析】 根据命题p是假命题，由此即可得
15、到是真命题，从而转化为不等式恒成立的问题，由此求出实数a的取值范围 。7.下列结论正确的是（ ） A.命题“若 ，则 ”的否命题为：“若 ，则 ”B.已知 是 上的可导函数，则“ ”是“ 是函数 的极值点”的充分不必要条件C.若 为真命题， 为假命题，则 为真命题D.若 ，则“ ”是“ ”的充要条件【答案】 C 【考点】复合命题的真假，命题的否定，必要条件、充分条件与充要条件的判断，利用导数研究函数的极值 【解析】【解答】对于A选项：命题“若 ，则 ”的否命题应为：“若 ，则 ”，A不正确； 对于B选项：因 是 上可导函数，则 是函数 的极值点必有 ，而 不能确保 在 的两侧异号，如： ，有
16、，而 没有极值，即0不是极值点，所以“ ”是“ 是函数 的极值点”的必要不充分条件，B不正确；对于C选项：因 为假命题，则 为真命题，而 为真命题，所以 为真命题，C符合题意；对于D选项： ，则 或 ，“ ”是“ ”的必要不充分条件，D不正确.故答案为：C 【分析】 由命题的否命题的定义既要的否定条件，又要否定结论由此即可判断出选项A错误； 由导函数的运算性质以及极值的定义，结合充分和必要条件的定义即可判断出选项B错误；由复合命题的真假判断即可得出选项C正确；由不等式的解法求解出a的取值范围，结合充要条件的定义即可判断出选项D错误，从而得出答案。8.某网店经销某商品，为了解该商品的月销量 (单
17、位：千件)与售价 (单位：元/件)之间的关系，收集5组数据进行了初步处理，得到如下数表：56789864.53.53根据表中的数据可得回归直线方程，以下说法正确的是（）A.，具有负相关关系，相关系数B.每增加一个单位，平均减少个单位C.第二个样本点对应的残差D.第三个样本点对应的残差【答案】 D 【考点】两个变量的线性相关，线性回归方程，可线性化的回归分析 【解析】【解答】对于A选项：由相关系数绝对值的不超过1，A不正确； 对于B选项：由回归直线方程知， 每增加一个单位， 平均减少 个单位，B不正确；对于C选项：第二个样本点对应的残差 ，C不正确；对于D选项：第三个样本点对应的残差 ，D符合题
18、意.故答案为：D 【分析】根据题意由相关系数的定义，以及线性回归方程的性质即可判断出选项A、B错误，再由残差的公式代入数值即可判断出选项C错误，D正确，由此得到答案。9.已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数 的图象附近，设 ，将其变换后得到线性方程 ，则 （ ） A.B.C.D.【答案】 B 【考点】对数的运算性质，散点图 【解析】【解答】因 ，则 ，于是有 ， 所以 .故答案为：B 【分析】 由题可知，ln(2e2x+1)=mx+n，再结合对数的运算法则可得到m和n的值，从而得解.10.下列叙述错误的是（ ） A.互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
19、B.甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率为 ，甲获胜的概率是 ，则甲不输的概率为 C.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件D.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么事件“至多一件一等品”的概率为 【答案】 C 【考点】互斥事件与对立事件，互斥事件的概率加法公式 【解析】【解答】对于A选项：互斥事件是不可能同时发生的两个事件，它可以同时不发生，对立事件是必有一个发生的互斥事件，A正确，不符合题意； 对于B选项：甲不输的事件是下成和棋的事件与甲获胜的事件和，它们互斥，则甲不输的概率为 ，B正确，不符合题意；对于C选项：由
20、给定条件知，至少有一个黑球与至少有一个红球这两个事件都含有一红一黑的两个球这一基本事件，即它们不互斥，C错误，符合题意；对于D选项：5件产品中任取两件有10个基本事件，它们等可能，其中“至多一件一等品”的对立事件为“恰两件一等品”，有3个基本事件，从而所求概率为 ，D正确，不符合题意.故答案为：C 【分析】根据题意由互斥事件和对立事件的定义即可判断出选项A正确；由互斥事件的概率公式计算出结果由此判断出选项B正确；由互斥事件的定义即可判断出选项C错误；由对立事件的概率定义即可判断出乘除D正确，由此得出答案。11.已知定义域为 的奇函数 的导函数为 ，当 时， ，若 ，则 的大小关系正确的是（ ）
21、 A.B.C.D.【答案】 D 【考点】函数奇偶性的性质，对数函数的单调性与特殊点，利用导数研究函数的单调性 【解析】【解答】构造函数g（x） ，g（x） ， xf（x）f（x）0，g（x）0，函数g（x）在（0，+）单调递减函数f（x）为奇函数，g（x） 是偶函数，c g（3）g（3），a g（e），b g（ln2），g（3）g（e）g（ln2），cab，故答案为：D 【分析】首先由已知条件构造函数g(x)对函数求导结合导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，再由奇函数的定义整理即可得出函数g(x)为偶函数，由偶函数的定义代入数值整理即可计算出a、b、c的值，再由函数的单调性即可比较出大小
22、。12.关于函数 ，下列说法错误的是（ ） A. 是 的极小值点B.函数 有且只有 个零点C.存在正实数 ，使得 恒成立D.对任意两个正实数 ， ，且 ，若 ，则 【答案】 C 【考点】函数单调性的判断与证明，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，函数的零点 【解析】【解答】对于A选项： 定义域为 ， ， 时, 时 ， 是 的极小值点，A符合题意；对于B选项：令 ， 在 上递减， ， 有唯一零点，B符合题意；对于C选项：令 ，令 ， 时, 时, ， 在 上递减，在 上递增，则 ， ， 在 上递减， 图象恒在x轴上方，与x轴无限接近，不存在正实数k使得 恒成立，C不符合题意；对于D选
23、项：由A选项知， 在 上递减，在 上递增，因正实数 ， ，且 ， ，则 ， 时，令 ， ，即 在 上递减，于是有 ，从而有 ，又 ，所以 ，即 成立，D符合题意.故答案为：C. 【分析】根据题意首先对函数求导，结合导函数以及极值的定义即可判断出选项A正确；根据题意构造函数对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，再由零点的定义即可判断出选项B正确；由题意设对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性结合图象的性质即可判断出选项C错误；由函数f(x)的单调性即可得出的单调性，从而得出 ， 即解题意即可得证出结论，由此判断出选项D正确，从而得出答案即可。二、填空题（共4题；共2
24、0分）13.某单位有840名职工，现采用系统抽样抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间 的人数为_. 【答案】 9 【考点】系统抽样方法 【解析】【解答】由条件可知，分段间隔为： ， 所以编号落入区间 的人数为： ，故答案为：9. 【分析】 根据系统抽样的特点，求出组距是20，再计算出样本数据落入区间61，120的人数即可.14.圣宋元宝，是中国古代钱币之一，宋徽宗赵估建中靖国元年（公元101年）始铸，是仁宗“皇宋通宝”之后又一种不以年号命名的非年号钱，种类主要有小平和折二两种小明同学珍藏有小平钱2枚，折二钱3枚，现随机抽取2枚赠好友，则赠送的
25、两枚为不同种类的概率为_ 【答案】【考点】简单随机抽样，古典概型及其概率计算公式 【解析】【解答】小平钱2枚编号为 ，折二钱3枚编号为 ，则任取2枚的所有基本事件为： 共10种，其中两枚不同类的有 共6种，所求概率为 故答案为： 【分析】根据题意由随机抽样的定义即可求出任取2枚的所有基本事件，再由题意即可求出两枚不同类的事件个数，结合概率公式代入数值计算出结果即可。15.现有一块边长为2的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为 的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是_. 【答案】【考点】函数的最值及其几何意义，利用导数求闭区间上函数的最值 【解析】【解答】设方盒的容积为 ，则
26、， 所以 ，当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，所以 ，故答案为： . 【分析】首先根据题意由正方体的体积公式求出 ， 对其求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最大值。16.若函数 的最大值为 ，则实数 的取值范围为_. 【答案】【考点】函数单调性的性质，函数的最值及其几何意义，利用导数研究函数的单调性，分段函数的应用 【解析】【解答】解：当 时， ，则 ，则当 时 ，即 在 上单调递增，当 时 ，即 在 上单调递减，所以当 时取得极大值，即当 时的最大值； 由 ，可得 在 恒成立，即为 ，当 时， 显然成立；当 时，有 ，可得 ，设 ， ， ，由 时， ，
27、则 ， 在 递减，且 ，可得 ；当 时，有 ，可得 ，设 ， ， ，由 时， ， 在 递减，由 时， ， 在 ， 递增，即有 在 处取得极小值，且为最小值 ，可得 ，综上可得 故答案为： 【分析】 根据题意首先求得 ， 由题意可得在x0恒成立，讨论x的范围，分情况讨论：当x=e，当0xe时，运用参数分离和构造函数，求得导数和单调区间，可得最值，进而得到a的范围.三、解答题（共6题；共70分）17.以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩.乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以 表示. （1）当 时，分别求出甲、乙两组同学数学成绩的平均数以及乙组
28、的方差； （2）若甲组的数学平均成绩高于乙组的数学平均成绩，求 的值. 【答案】 （1）甲组的平均成绩是 ，乙组的平均成绩是 ， 乙组的方差是 ；（2）因乙组的平均成绩是 ，而 ，由(1)知 ，a是不超过9的自然数， ， 所以 的值是0.【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差 【解析】【分析】(1)由已知的图表中的数据结合平均数公式和方差的公式代入数值计算出结果即可。 (2)由平均数公式代入数值计算出结果，再由题意即可得出a的取值范围，由此得到a的值。 18.第24届冬奥会将于2022年在北京市和张家口市联合举行，冬奥会志愿者的服务工作是成功举办的重要保障.在冬奥会的志愿者选拔工作中
29、，某高校承办了冬奥会志愿者选拔的面试工作，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩分五组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右前三个组的频率成等差数列，第一组和第五组的频率相同. （1）求，的值，并估计这80名候选者面试成绩的中位数（中位数精确到0.1）；（2）已知抽取的80名候选人中，男生和女生各40人，男生希望参加张家口赛区志愿服务的人数有10人，女生希望参加张家口赛区志愿服务的人数有20人，补全下面列联表，问是否有95%的把握认为希望参加张家口赛区志愿者服务的候选人与性别有关？男生女生总计希望去张家口赛区1020不希望去
30、张家口赛区总计4040参考数据即公式：， .P（K2k0）0.0500.0100.001 k03.8416.63510.828【答案】（1）由题意可知：，解得，所以中位数等于（2）补全列联表：男生女生总计希望去张家口赛区102130不希望去张家口赛区302050总计404080所以有95%的把握认为希望参加张家口赛区志愿者服务的候选人与性别有关.【考点】频率分布直方图，独立性检验的应用 【解析】【分析】 (1)由频率分布直方图列出方程组，能求出a和b的值，.进而能估计这80名候选者面试成绩平均值和中位数. (2)根据题意首先补全22列联表，求出K25.3333.84，从而有95%的把握认为希望
31、参加张家口赛区志愿者服务的候选人与性别有关. 19.在直角坐标系xOy中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），圆 的方程为 ，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相等的长度单位建立极坐标系，射线l的极坐标方程为 （1）求曲线 和 的极坐标方程； （2）当 时，若射线l与曲线 和圆 分别交于异于点O的M、N两点，且 ，求 的面积 【答案】 （1）由曲线 的参数方程为 （ 为参数），消去参数 ， 可得曲线 的普通方程为： ，又 ， ，代入可得 ，曲线 的极坐标方程： ；由圆 的方程为 ，得 ， ，得曲线 的极坐标方程： ；（2） ， ， 即 ，整理得 ，且 ，解得： ， ， ，点 到l的距离 ，
32、 的面积为： 【考点】曲线与方程，点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程 【解析】【分析】 (1)根据题意化曲线C1的参数方程为普通方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C1的极坐标方程，把圆C2的方程变形，再结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C2的极坐标方程； (2)由|ON/=2|0M|，得 ， 进一步得到关于的方程，由求得与 ， 由此得到的面积公式，整理化简即可得到答案。 20.某商场对商品近30天的销售情况进行整理，得到如下数据，经统计分析，日销售量 (件)与时间 (天)之间具有线性相关关系. 时间( )246810日销售量( )3837323330（1）请根据表格
33、提供的数据，用最小二乘法原理求出关于的线性回归方程 . （2）已知商品近30天内的日销售价格 (元)与时间 (天)的关系为 .根据（1）中求出的线性回归方程，预测为何值时，商品的日销售额最大. (参考公式， )【答案】 （1）根据题意， ， ， ， ，所以回归系数为： ， ，故所求的线性回归方程为 ；（2）由题意日销售额为 ； 当 ， 时， ，即当 时， (元)；当 ， 时， ，即当 时， (元)，综上所述，当 时， (元)，所以估计 天时， 商品的日销售额最大，为1600元.【考点】二次函数在闭区间上的最值，线性回归方程 【解析】【分析】 (1)根据题意，计算 ， 求出回归系数的值，即可写出
34、线性回归方程； (2)根据题意求出日销售额函数L的代数式，结合二次函数的性质即可计算函数L的最大值即可. 21.设函数 . （1）求 的单调区间； （2）若 ， 为整数，且当 时， ，求 的最大值. 【答案】 （1） ， ， 当 时， ， ，即 在 上递增，在 上递减，当 时， ， ，即 在 上递增，在 上递减，所以 在 上递增，在 上递减；（2） 时， ， 则 时， ，令 ， ，则 ，令 ，则 ，即 在 上单调递增，而 ， ，于是 在 上存在唯一零点 ，即 在 上存在唯一零点 ，显然 ，当 时， ，当 时， ， 在 上递减，在 上递增，所以 ，而 ，即 ，于是有 ， ，所以整数 的最大值为2
35、.【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值 【解析】【分析】 (1)根据题意求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母a，故应按a的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间； (2)由题设条件结合(1)，将不等式，在x0时成立转化为k0)成立，由此问题转化为求在x0上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出k的最大值； 22.已知函数 . （1）当 时，求 在 的零点个数； （2）若 有两个零点 ， ，且 ，证明： . 【答案】 （1） 时， ， ，令 ，解得 ; 令 ，解得 ，则 在 单调递减， 在 单调递增，所以 在
36、单调递减，在 单调递增，因为 ， ， ，所以存在 ， ，存在 ， ，所以 时， 在 上有两个零点，（2）证明：因为 有两个零点，所以 ，即 ， 解得 .设 ，则要证 ，因为 ， ，又因为 在 上单调递增，所以只要证 ，设 则 所以 在 上单调递减， ，所以 .【考点】利用导数研究函数的单调性，函数的零点 【解析】【分析】（1）根据题意对函数求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性结合零点的定义即可得出答案。 (2)由零点的定义整理即可得到 ， 分离参数 ， 再由已知条件结合函数单调性的定义即可得出 在 上单调递增，构造函数结合分析法，利用导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，从而得证出结论。
