1、课后限时集训(十一)函数性质的综合问题建议用时：40分钟一、选择题1定义在R上的函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且f(x)其中aR，若f(5)f(4.5)，则a()A0.5B1.5 C2.5D3.5C由f(x1)f(x1)，得f(x)是周期为2的周期函数，又f(5)f(4.5)，所以f(1)f(0.5)，即1a1.5，所以a2.5，故选C.2定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在0,1上是减函数，则有()Af f f Bf f f Cf f f Df f f C由f(x2)f(x)及f(x)是奇函数得f f f f ，又函数f(x)在1,1上是减函数，所以f f f ，即
2、f f f ，故选C.3(多选)若奇函数f(x)在1,2上为减函数且最大值为0，则它在2，1上()A是增函数B是减函数C有最大值为0D有最小值为0BD因为f(x)为奇函数，所以函数在关于原点对称的区间上单调性相同，故函数在2，1上也为减函数又由题易得f(1)0，所以f(1)0，即0为函数在2，1上的最小值，故选BD.4设奇函数f(x)定义在(，0)(0，)上，f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)0，则不等式0的解集为()A(1,0)(1，)B(，1)(0,1)C(，1)(1，)D(1,0)(0,1)D奇函数f(x)定义在(，0)(0，)上，在(0，)上为增函数，且f(1)0，函数f(x)的
3、图象关于原点对称，且过点(1,0)和(1,0)，且f(x)在(，0)上也是增函数函数f(x)的大致图象如图所示f(x)f(x)，不等式0可化为0，即xf(x)0.不等式的解集即为自变量与对应的函数值异号的x的范围，据图象可知x(1,0)(0,1)5(2020全国卷)设函数f(x)ln|2x1|ln|2x1|，则f(x)()A是偶函数，且在单调递增B是奇函数，且在单调递减C是偶函数，且在单调递增D是奇函数，且在单调递减D由得函数f(x)的定义域为，其关于原点对称，因为f(x)ln|2(x)1|ln|2(x)1|ln|2x1|ln|2x1|f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除A，C.当x时，f
4、(x)ln(2x1)ln(12x)，易知函数f(x)单调递增，排除B.当x时，f(x)ln(2x1)ln(12x)lnln，易知函数f(x)单调递减，故选D.6(2020全国卷)已知函数f(x)sin x，则()Af(x)的最小值为2Bf(x)的图象关于y轴对称Cf(x)的图象关于直线x对称Df(x)的图象关于直线x对称D由题意得sin x1,0)(0,1对于A，当sin x(0,1时，f(x)sin x22，当且仅当sin x1时取等号；当sin x1,0)时，f(x)sin x22，当且仅当sin x1时取等号，所以A错误对于B，f(x)sin(x)f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于
5、原点对称，所以B错误对于C，f(x)sin(x)，f(x)sin(x)sin x，则f(x)f(x)，f(x)的图象不关于直线x对称，所以C错误对于D，f sincos x，f sincos x，所以f f ，f(x)的图象关于直线x对称，所以D正确故选D.二、填空题7已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当x3,0时，f(x)6x，则f(919)_.6f(x4)f(x2)，f(x6)f(x)，f(x)的周期为6，91915361，f(919)f(1)又f(x)为偶函数，f(919)f(1)f(1)6.8定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)0，且f(4x)f
6、(x)现有以下三个命题：8是函数f(x)的一个周期；f(x)的图象关于直线x2对称；f(x)是偶函数其中正确命题的序号是_f(x)f(x2)0，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，f(x)的周期为4，故正确；又f(4x)f(x)，所以f(2x)f(2x)，即f(x)的图象关于直线x2对称，故正确；由f(x)f(4x)得f(x)f(4x)f(x)，故正确9(2020湖北荆门模拟)黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用黎曼函数定义在0,1上，其定义为：R(x)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f(2x)f(x)0，
7、当x0,1时，f(x)R(x)，则ff(lg 30)_.f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)f(2x)0，f(x)f(2x)f(x2)，函数f(x)是以2为周期的周期函数，则f f f f R，f(lg 30)f(lg 3lg 10)f(lg 31)f(lg 31)f(1lg 3)R(1lg 3)0，f f(lg 30).三、解答题10设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1x)f(1x)，当1x0时，f(x)x.(1)判断f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间1,2上的表达式解(1)f(1x)f(1x)，f(x)f(2x)又f(x2)f(x)，f(x)f(x)
8、又f(x)的定义域为R，f(x)是偶函数(2)当x0,1时，x1,0，则f(x)f(x)x；从而当1x2时，1x20，f(x)f(x2)(x2)x2.故f(x)11设函数f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求函数f(x)的图象与x轴所围成图形的面积解(1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数且f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)故函数yf(x)的
9、图象关于直线x1对称又当0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示当4x4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB44.1(多选)(2020山东日照期中)设f(x)是定义在R上的函数，若存在两个不相等的实数x1，x2，使得f ，则称函数f(x)具有性质P.那么下列函数中，具有性质P的函数为()Af(x)Bf(x)|x21|Cf(x)x3xDf(x)2|x|ABC对于A，在函数f(x)的图象上取A(1，1)，B(0,0)，C(1,1)，有f(0)成立，故A正确；对于B，在函数f(x)的图象上取A(，1)，B(0,1)，C(，1)，有f(
10、0)成立，故B正确；对于C，在函数f(x)的图象上取A(1,2)，B(0,0)，C(1，2)，有f(0)成立，故C正确；对于D，因为f(x)2|x|，22f，又x1x2，所以f 恒成立，故D错误故选ABC.2定义在R上的函数f(x)满足：对任意xR有f(x4)f(x)；f(x)在0,2上是增函数；f(x2)的图象关于y轴对称则下列结论正确的是()Af(7)f(6.5)f(4.5)Bf(7)f(4.5)f(6.5)Cf(4.5)f(6.5)f(7)Df(4.5)f(7)f(6.5)D由知函数f(x)的周期为4，由知f(x2)是偶函数，则有f(x2)f(x2)，即函数f(x)图象的一条对称轴是x2
11、，由知函数f(x)在0,2上单调递增，则在2,4上单调递减，且在0,4上越靠近x2，对应的函数值越大，又f(7)f(3)，f(6.5)f(2.5)，f(4.5)f(0.5)，由以上分析可得f(0.5)f(3)f(2.5)，即f(4.5)f(7)f(6.5)故选D.3已知函数yf(x)在定义域1,1上既是奇函数又是减函数(1)求证：对任意x1，x21,1，有f(x1)f(x2)(x1x2)0；(2)若f(1a)f(1a2)0，求实数a的取值范围解(1)证明：若x1x20，显然不等式成立若x1x20，则1x1x21，因为f(x)在1,1上是减函数且为奇函数，所以f(x1)f(x2)f(x2)，所以
12、f(x1)f(x2)0.所以f(x1)f(x2)(x1x2)0成立若x1x20，则1x1x21，同理可证f(x1)f(x2)0.所以f(x1)f(x2)(x1x2)0成立综上得证，对任意x1，x21,1，有f(x1)f(x2)(x1x2)0恒成立(2)因为f(1a)f(1a2)0f(1a2)f(1a)f(a1)，所以由f(x)在定义域1,1上是减函数，得即解得0a1.故所求实数a的取值范围是0,1)1定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，f(x2)f(x)且f(x)在1,0上是增函数，给出下列几个命题：f(x)是周期函数；f(x)的图象关于x1对称；f(x)在1,2上是减函数
13、；f(2)f(0)其中正确命题的序号是_(请把正确命题的序号全部写出来)因为f(xy)f(x)f(y)对任意x，yR恒成立令xy0，所以f(0)0.令xy0，所以yx，所以f(0)f(x)f(x)所以f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数因为f(x)在1,0上为增函数，又f(x)为奇函数，所以f(x)在0,1上为增函数由f(x2)f(x)f(x4)f(x2)f(x4)f(x)，所以周期T4，即f(x)为周期函数f(x2)f(x)f(x2)f(x)又因为f(x)为奇函数所以f(2x)f(x)，所以函数图象关于x1对称由f(x)在0,1上为增函数，又关于x1对称，所以f(x)在1,2上为减函数由f
14、(x2)f(x)，令x0得f(2)f(0)f(0)2函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围解(1)因为对于任意x1，x2D有f(x1x2)f(x1)f(x2)，所以令x1x21，得f(1)2f(1)，所以f(1)0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：f(x)定义域关于原点对称，令x1x21，有f(1)f(1)f(1)，所以f(1)f(1)0.令x11，x2x有f(x)f(1)f(x)，所以f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数(3)依题设有f(44)f(4)f(4)2，由(2)知f(x)是偶函数，所以f(x1)2等价于f(|x1|)f(16)又f(x)在(0，)上是增函数，所以0|x1|16，解得15x17且x1，所以x的取值范围是(15,1)(1,17).
