1、第三章 综合过关规范限时检测(时间：120 分钟 满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1(2020四川资阳二诊)在平面直角坐标系中，若角 的始边为 x 轴正半轴，其终边经过点 Psin 43，cos 43，则 cos(D)A.32 B12 C12 D 32解析 本题考查任意角的三角函数的定义sin 43 sin 3 32，cos 43 cos 3 12，而 角 的 终 边 经 过 点Psin 43，cos 43，即角 的终边经过点 P 32，12，于是|PO|3221221，因此 cos 321
2、32.2(2020云南昆明一模)已知 2，sin 35，则 cos()(A)A.45 B35 C45 D35解析 本题考查诱导公式和同角三角函数基本关系式的应用由 2，且 sin 35得 cos 1sin245，所以 cos()cos 45.3(2020东北三省三校一模)若 是三角形的一个内角，且 tan 43，则 sin32 cos2(C)A.15 B15 C75 D75解析 本题考查同角三角函数基本关系和诱导公式由题意，tan sin cos 43，(0，)，故 sin 0，cos 0.又 sin2cos21，所以 sin 45，cos 35.因此，sin32 cos2 cos sin 7
3、5.4(2021安徽阜阳一中月考)中国折叠扇有着深厚的文化底蕴如图，在半圆 O 中作出两个扇形 OAB 和 OCD，用扇环形 ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面记扇环形ABDC 的面积为 S1，扇形 OAB 的面积为 S2，当 S1 与 S2 的比值为 512时，扇面的形状较为美观，则此时扇形 OCD 的半径与半圆 O 的半径之比为(B)A.514 B 512C3 5 D 52解析 本题考查弧度制下扇形面积计算问题设AOB，半圆 O 的半径为 r，扇形OCD 的半径为 r1，依题意，有12r212r2112r2 512，即r2r21r2 512，所以r21r23 5262 545122，
4、得r1r 512.方法总结 弧度制下扇形面积计算求解思路(1)明确弧度制下扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度(2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解，5为了得到函数 ysin 3x 的图象，可以将 ycos 3x 的图象向(A)A右平移6个单位长度 B左平移6个单位长度C右平移2个单位长度 D左平移3个单位长度解析 ycos 3xsin3x2 sin 3x6，将该函数的图象向右平移6个单位长度得到 ysin 3x66 sin 3x.故选 A.6 (理)(2020 石 家 庄 市 重 点 高
5、 中 摸 底)已 知 函 数f(x)2sin(x)x 12，23，00，22 的部分图象如图所示，则、的值分别为(A)A2，3 B2，6 C4，6 D4，3解析(理)由题意可知3T4 23 12 34，T2，2，又 2 12 0，6，f(x)2sin 2x6.由 2x62知 x6，又 f(x1)f(x2)且 x1x2，x1x23，f(x1x2)1，故选 B.(文)由图可知34T5123 34，T，2T 2，又 25122，3，故选 A.7(2021南开模拟)ABC 中三个内角为 A，B，C，若关于 x 的方程 x2xcos Acos Bcos2C20 有一根为 1，则ABC 一定是(B)A直角
6、三角形 B等腰三角形C锐角三角形 D钝角三角形解析 依题意，可得 1cos Acos Bcos2C20，因为 cos2C21cos C21cosAB21cos Acos Bsin Asin B2，所以 1cos Acos B1cos Acos Bsin Asin B20，整理得：cos(AB)1，又 A，B 为ABC 的内角，所以 AB，所以ABC 一定为等腰三角形故选 B.8(2020安徽省合肥市一中、合肥六中联考)已知函数 f(x)3sin 2x2cos2x1，将 f(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移 1 个单位长度，得到函数 yg(x)的
7、图象，若 g(x1)g(x2)9，则|x1x2|的值可能为(C)A.54 B34 C2 D3解析 函数 f(x)3sin 2x2cos2x1 3sin 2xcos 2x2sin2x6，变换后得函数 yg(x)2sin4x6 1 的图象，易知函数 yg(x)的值域为1,3若 g(x1)g(x2)9，则 g(x1)3 且 g(x2)3，均为函数 yg(x)的最大值，|x1x2|的值为函数 yg(x)的最小正周期 T 的整数倍，且 T24 2.9下列命题正确的是(D)A若 cos 则 cos 0 且sin tan 0解析 当 2k 时，cos10，此时 不是象限角，A 错；当 0，2 时，cos c
8、os，故 B 错；当 6，56 时，sin sin，但 与 终边不相同，故 C 错；当 是第三象限角时，sin 0，cos 0，故 D 正确因此选 D.10已知函数 f(x)12cos xsinx3，则下列结论中错误的是(C)Af(x)是周期函数但不具备奇偶性Bf(x)的图象关于 x 12对称Cf(x)最大值为 1Df(x)在区间0，12 上递增解析 f(x)12cos xsinx3 14sin2x3 38，f(x)为非奇非偶函数，故 A 正确，当x 12时，2x32，图象关于 x 12对称，B 正确f(x)最大值为2 38，故 C 错，f(x)在0，12上单调递增，故 D 正确，因此选 C.
9、11(理)(2021吉林通化月考改编)已知 0，a0，f(x)asin x 3acos x，g(x)2cosax6，h(x)fxgx.这 3 个函数在同一直角坐标系中的部分图象如图所示，则函数 g(x)h(x)的图象的一条对称轴方程可以为(A)Ax 12 Bx136Cx 12 Dx 512(文)在ABC 中，角 A、B、C 的对边为 a，b，c，且(abacbc)，则下列结论不正确的是(B)Asin Asin Bsin CBABC 是钝角三角形CABC 最大内角是最小内角的 2 倍D若 c6 则ABC 外接圆半径为8 77解析(理)f(x)asin x 3acos x2asinx3，g(x)2
10、cosax6，又由函数图象可知，f(x)的最大值为 2，可得 a1，f(x)2sinx3，g(x)2cosx6，由图象可知，f(x)的周期为，2，h(x)fxgx2sin2x32cosx62sinx6，xk3(kZ)那么函数 g(x)h(x)2cosx6 2sinx6 2 2sinx64 2 2sinx512，xk3(kZ)令 x5122k(kZ)可得对称轴方程为 x 12k(kZ)，当 k0 时，x 12.故选 A.(文)设ab9kac10kbc11k，解得a4kb5kc6k.利用正、余弦定理可知，A 正确，B 错误由于cos C18，cos A34，cos 2A18cos C，又 C、A
11、都是锐角，所以 C2A，故 C 正确，又 sin C3 78，2R 6sin C16 77，R8 77，故 D 正确，因此选 B.12(理)(2020江西红色七校第一次联考)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bacos C 33 sin C，a2，c2 63，则 C(D)A.34 B3 C6 D4(文)(2020广东百校联考)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 C4，a4，SABC2，则2a3cb2sin A3sin Csin B(D)A.5 B2 5 C2 7 D2 13解析(理)由 bacos C 33 sin C，得 sin Bsin
12、 A(cos C 33 sin C)因为 sin Bsin(AC)sin(AC)，所以 sin Acos Ccos Asin Csin Acos C 33 sin Asin C(sin C0)，所以 cos A 33 sin A，所以 tan A 3.因为 0A，所以 A3.由正弦定理 asin Acsin C，得sin C 22.因为 0C0)的最小正周期为，则 f(3)32 .解析 由题设及周期公式得 T，所以 1，即 f(x)sinx3，所以 f 3 sin 23 32.14(2020安徽省池州中学第二次质量检测)已知 cos3 45，则 sin76 的值是 45.解析 sin76 si
13、n6 sin32 cos3 45.15(2021河南名校联考)已知函数 f(x)2sin xcosx2 3cos2xa 3(0，xR，a 是常数)的图象的一条对称轴方程为 x512，与其相邻的一个对称中心为23，1，则函数 f(x)的单调递减区间为 k512，k1112(kZ).解析 本题考查三角函数的图象及其性质f(x)2sin xcos x2 3cos2xa 3sin 2x 3cos 2xa2sin2x3 a.因为其图象的一条对称轴方程为 x512，与其相邻的一个对称中心为23，1，所以T423 5124，所以 T，即22，所以 1，所以 f(x)2sin2x3 a.因为图象过点23，1，
14、所以 2sin43 3 a1，所以 a1，所以 f(x)2sin2x3 1.由 2k22x32k32(kZ)得 k512xk1112(kZ)，所以函数 f(x)的单调递减区间为k512，k1112(kZ)16.(2020全国，16)如图，在三棱锥 PABC 的平面展开图中，AC1，ABAD 3，ABAC，ABAD，CAE30，则 cos FCB 14.解析 本题考查立体几何平面展开图及解三角形问题在ABC 中，ABAC，AC1，AB 3，所以 BC2.在ABD 中，ABAD，AD 3，AB 3，所以 BD 6.在ACE 中，AC1，AEAD 3，CAE30，由余弦定理得 CE2AC2AE22A
15、CAEcosCAE1321 3 32 1，所以 CE1.在BCF 中，BC2，FCCE1，BFBD 6，由余弦定理得 cosFCBFC2BC2FB22FCBC14621214.四、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)(2020浙江杭州联考)已知 cos 17，cos()1314，且 02.(1)求 tan 2 的值；(2)求 的值解析(1)由 cos 17，02，得 sin 1cos21 1724 37，所以 tan sin cos 4 37 714 3，所以 tan 2 2tan 1tan2 24 314 328 3
16、47.(2)由 02，得 00，0，|)的部分图象如图所示(1)求函数 f(x)的解析式；(2)当 x3，时，求 f(x)的取值范围解析(1)由图象知 A3，T443 3，即 T4，又24，所以 12，因此 f(x)3sin12x，又因为 f 3 3，所以622k(kZ)，即 23 2k(kZ)，又|0,0)为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为2.(1)当 x2，4 时，求 f(x)的单调递减区间；(2)将函数 yf(x)的图象沿 x 轴方向向右平移6个单位长度，再把横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数 yg(x)的图象当 x 12，6 时，若方程 g(x)m0 有两个不等实根，求实数
17、 m 的取值范围解析(1)由题意可知：f(x)3sin(x)cos(x)2sinx6，因为相邻两对称轴间的距离为2，所以 T，2，因为函数为奇函数，所以 6k，k6，kZ，因为 0，所以 6，函数 f(x)2sin 2x，x2，4，2x，2，要使 f(x)单调减，需满足2x2，即2x4，所以函数的减区间为2，4.(2)由题意可得：g(x)2sin4x3，12x6，23 4x33，1sin4x3 32，g(x)2，3列表：4x323203x 12 24126g(x)3203描点连线得 g(x)图象如下当 4x32，3，即 x 24，6 时，g(x)2，3由题意知 ym 与 yg(x)的图象在 x 12，6 有两个交点则符合题意的 m 的取值范围为(2，3
