1、练案60高考大题规范解答系列(五)解析几何1(2018天津高考)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，上顶点为B，已知椭圆的离心率为，点A的坐标为(b,0)，且|FB|AB|6.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：ykx(k0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若sinAOQ(O为原点)，求k的值解析(1)设椭圆的焦距为2c，由已知有，又由a2b2c2，可得2a3b.由已知可得，|FB|a，|AB|b，由|FB|AB|6，可得ab6，从而a3，b2.所以，椭圆的方程为1.(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)由已知有y1y20，故|PQ|sinAOQy1y2
2、.又因为|AQ|，而OAB，故|AQ|y2.由sinAOQ，可得5y19y2.由方程组(k0)消去x，可得y1.易知直线AB的方程为xy20，由方程组(k0)消去x，可得y2.由5y19y2，可得5(k1)3，两边平方，整理得56k250k110，解得k，或k.所以，k的值为或.2(2021湖南五市十校教研教改共同体联考)已知椭圆E的标准方程为1(ab0)，且经过点和(0,1)(1)求椭圆E的标准方程；(2)设经过定点(0,2)的直线l与E交于A，B两点，O为坐标原点，若0，求直线l的方程解析(1)题意得，解得a2，b1，所以椭圆E的标准方程为y21.(2)设A，B的坐标为(x1，y1)，(x
3、2，y2)，依题意可设直线l的方程为ykx2，联立方程组消去y，得(14k2)x216kx120.(16k)248(14k2)0，k2，x1x2，x1x2，x1x2y1y2x1x2(kx12)(kx22)(1k2)x1x22k(x1x2)4(1k2)2k440，0，k24，解得k2，所以所求直线l的方程为y2x2或y2x2，即2xy20或2xy20.3(2021广东深圳、汕头、潮州、揭阳联考)已知F1，F2分别是椭圆C：y21的左、右焦点(1)若P是第一象限内该椭圆上的一点，求点P的坐标；(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l
4、的斜率k的取值范围解析(1)因为椭圆方程为y21，所以a2，b1，c，可得F1(，0)，F2(，0)，设P(x，y)(x0，y0)，则(x，y)(x，y)x2y23，联立解得即P.(2)显然x0不满足题意，可设l的方程为ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立(14k2)x216kx120，由(16k)24(14k2)120，得k2，x1x2，x1x2.又AOB为锐角，即0，即x1x2y1y20，x1x2(kx12)(kx22)0，(1k2)x1x22k(x1x2)4(1k2)2k40，可得k2，即为k2b0)的长轴长为4，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，且F1AF260，O
5、为坐标原点(1)求椭圆C的方程；(2)设点M，N为椭圆C上的两个动点，0，问：点O到直线MN的距离d是否为定值？若是，求出d的值；若不是请说明理由解析(1)设椭圆C的半焦距为c.由已知可得2a4，解得a2.因为F1AF260，易得在RtOAF2中，OAF230，|OA|b，|OF2|c，|AF2|a2.所以cosOAF2，解得b.所以椭圆C的方程为1.(2)当直线MN的斜率不存在时，MNx轴由0可得.结合椭圆的对称性，可设M(x，x)，N(x，x)，则d|x|.将点M(x，x)代入椭圆C的方程，得1，解得x，所以d.当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为ykxm，此时点O到直线MN的距离d
6、，即d2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由可得(34k2)x28kmx4m2120，则64k2m24(34k2)(4m212)0，得m20)交于A，B两点，以AB为直径作圆，记为M，M与抛物线C的准线始终相切(1)求抛物线C的方程；(2)过圆心M作x轴垂线与抛物线相交于点N，求SABN的取值范围解析(1)过A，B，M分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为D，E，P，设抛物线焦点为F，由题意知圆M的半径r|MP|AB|，且|MP|(|AD|BE|)(|AF|BF|)，即可得|AB|AF|BF|，所以A，B，F三点共线，即F(0,4)，所以4，所以抛物线C的方程为x216y.(2)由(1)知
7、抛物线C：x216y，设直线l：ykx4，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立可得：x216kx640，0，所以x1x216k，x1x264，所以y1y2k(x1x2)816k28，则M(8k,8k24)，N(8k,4k2)，故点N到直线AB距离d4，又|AB|，|x1x2|16(k21)，所以SABN|AB|d16(k21)432(1k2)32，当k0时，SABN取最小值为32.故所求三角形ABN面积的取值范围32，)8(2021广东新课改大联考、湖南百校联考)已知抛物线C的顶点为坐标原点O，对称轴为坐标轴，且C经过点A(4,6)(1)求A到C的焦点的距离；(2)若C的对称轴为x轴，过
8、(9,0)的直线l与C交于M，N两点，证明：以线段MN为直径的圆过定点解析(1)当C的对称轴为x轴时，设C的方程为y22px(p0)，将点A的坐标代入方程得622p4，即p，此时A到C的焦点的距离为4.当C的对称轴为y轴时，设C的方程为x22py(p0)，将点A的坐标代入方程得422p6，即p，此时A到C的焦点的距离为6.(2)证明：由(1)可知，当C的对称轴为x轴时，C的方程为y29x.直线l斜率显然不为0，可设直线l的方程为xmy9.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为G(x0，y0)，由得y29my810，则y1y29m，y1y281，所以y0，x0，且|MN|9.以线段MN为直径的圆的方程为(xx0)2(yy0)22，即x29(m22)xy29my0，即x218xy29m(mxy)0，令mxy0，则x218xy20，因为mR，所以圆x218xy29m(mxy)0过定点(0,0)，从而以线段MN为直径的圆过定点.