1、第2讲函数的综合问题高考年份全国卷全国卷全国卷2020对数大小的判断T11函数模型、指对数运算T4对数大小的比较T122019函数的性质,判断函数零点个数T11恒成立问题T122018已知零点个数求参数范围T9判断函数零点个数T151.2018全国卷已知函数f(x)=ex,x0,lnx,x0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.-1,0)B.0,+)C.-1,+)D.1,+)2.2017全国卷已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=()A.-12B.13C.12D.13.2019全国卷设函数f(x)的定义域为R,满足f(
2、x+1)=2f(x),且当x(0,1时,f(x)=x(x-1).若对任意x(-,m,都有f(x)-89,则m的取值范围是()A.-,94B.-,73C.-,52D.-,834.2020天津卷已知函数f(x)=x3,x0,-x,x0,-2x(x+2),x0,则函数y=f(x)-3的零点个数是()A.1B.2C.3D.4【规律提炼】确定函数零点的常用方法:(1)当方程易求解时,可直接解方程求解;(2)数形结合法,在研究函数零点、方程的根及图像交点问题时,当从正面求解难以入手时可以转化为某一易入手的等价问题求解,如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题,常转化为两个熟悉函
3、数的图像的交点问题求解.测题1.函数f(x)=|lgx2|+x2-2|x|的零点的个数为()A.2B.3C.4D.62.设函数f(x)=1-|x-1|,x2,12f(x-2),x2,则函数F(x)=xf(x)-1的零点的个数为()A.4B.5C.6D.7已知函数零点个数求参数2(1)已知函数f(x)=1-x1+x,x0,x2+2x+1,x0.若方程f(x)=mx+m-12恰有四个不相等的实数根,则实数m的取值范围是()A.12,e-12B.12,e-12C.12,e12D.-e12,122.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(2-x),当x-2,0时,f(x)=22x-1,若
4、关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a0且a1)在(-2,6)内有4个不同的根,则实数a的取值范围是.函数零点的应用3(1)若函数f(x)=log123x+5x+2t+1在区间(1,5)内有零点,则函数g(t)=13t2-4t的值域为()A.-54,-1B.-1,-34C.-54,-34D.-43,-54(2)已知函数f(x)=|log2x|,0x2,x2-6x+9,x2,若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),且x1x2x30|(x-3)sinx=1,则x1+x2+x3+x4的最小值为()A.12B.15C.12D.15不等式恒成立问题4(1)已知函数f(x)=x2+(1
5、-m)x-m,若ff(x)0恒成立,则实数m的取值范围是()A.-3,-3+22B.-1,-3+22C.-3,1D.-3+22,1(2)已知不等式mx3y3-6x2y对于任意x2,3,y3,6恒成立,则m的取值范围是()A.9,+)B.-5,+)C.42,+)D.42,9【规律提炼】1.对于恒成立问题,常用到以下两个结论:(1)af(x)恒成立af(x)max;(2)af(x)恒成立af(x)min.2.解决恒成立问题的常用方法是依据不等式的特点,等价变形,构造函数,借助图像观察,参变分离,转化为求函数的最值问题来处理,此时要遵循“知道谁的范围,谁是变量;求谁的范围,谁是参数”的原则.测题1.
6、已知f(x)=aexx,x1,3,且x1,x21,3,x1x2,f(x1)-f(x2)x1-x2mx-ln(x+1)对一切正数x都成立,则实数m的取值范围是()A.-,e3B.-,e2C.-,1D.-,e(2)已知实数x1,x2满足x1ex1=e3,x2(lnx2-2)=e5,则x1x2=.【规律提炼】1.同构式是指除了变量不同,其余地方均相同的表达式.2.同构式的应用:(1)在方程中的应用:如果方程f(a)=0和f(b)=0呈现同构特征,则a,b可视为方程f(x)=0的两个根;(2)在不等式中的应用:如果不等式的两侧呈现同构特征,则可将相同的结构构造为一个函数,进而和函数的单调性找到联系,可
7、比较大小或解不等式;(3)在解析几何中的应用:如果A(x1,y1),B(x2,y2)满足的方程为同构式,则A,B为方程所表示曲线上的两点,特别地,若满足的方程是直线方程,则该方程即为直线AB的方程;(4)在数列中的应用:可将递推公式变形为“依序同构”的形式,即关于(an,n)与(an-1,n-1)的同构式,从而将同构式设为辅助数列便于求解.测题1.已知函数f(x)=2x3lnx-(m-x)emx-1,当xe时,f(x)0恒成立,则实数m的取值范围为()A.(-,4eB.(-,3eC.(-,2eD.-,3e22.已知实数a,b(0,2),且满足a2-b2-4=42b-2a-4b,则a+b的值为.
8、第2讲函数的综合问题真知真题扫描1.C解析函数g(x)=f(x)+x+a有2个零点,即方程f(x)=-x-a有2个不同的解,即函数f(x)的图像与直线y=-x-a有2个不同的交点.分别作出函数f(x)的图像与直线y=-x-a,由图可知,当-a1,即a-1时,函数f(x)的图像与直线y=-x-a有2个不同的交点,即函数g(x)有2个零点.2.C解析f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a(e2-x-1+ex-2+1)=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),f(2-x)=f(x),则直线x=
9、1为f(x)图像的对称轴.f(x)有唯一零点,f(x)的零点只能为x=1,即f(1)=12-21+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=12.3.B解析由条件可推得f(x)=12x(x+1),x(-1,0,x(x-1),x(0,1,2(x-1)(x-2),x(1,2,4(x-2)(x-3),x(2,3,8(x-3)(x-4),x(3,4,当x(1,2时,f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2)=2x-322-12-12,满足f(x)-89;当x1时,f(x)=12f(x+1)12-12=-14,满足f(x)-89;当x(2,3时,f(x)=2f(x-1)=4f(x-2)=4(x-2)
10、(x-3)=4x-522-1-1,所以f(x)-89不恒成立,此时由4x-522-1=-89,解得x=73或x=83,结合图像可知当x73时,恒有f(x)-89.若对任意x(-,m,都有f(x)-89,则m73.4.D解析注意到g(0)=0,所以要使g(x)恰有4个零点,只需方程|kx-2|=f(x)|x|恰有3个实根即可,令h(x)=f(x)|x|,即函数y=|kx-2|与h(x)=f(x)|x|的图像有3个不同的交点.因为h(x)=f(x)|x|=x2,x0,1,x0,当k=0时,此时y=2,如图,函数y=2与h(x)=f(x)|x|的图像只有1个交点,不满足题意;当k0时,如图,当直线y
11、=kx-2与函数y=x2(x0)的图像相切时,联立方程,消去y,得x2-kx+2=0,令=0,得k2-8=0,解得k=22(负值舍去),所以k22时,函数y=|kx-2|与h(x)=f(x)|x|的图像恒有3个不同的交点.综上,k的取值范围为(-,0)(22,+).故选D.5.(-,0)(0,1)(1,+)解析根据条件(1)可得f(0)=0且f(1)=1,所以当a=0或a=1时,关于x的方程f(x)=a必有实数解.当a0且a1时,只需令f(x)=x,xa,x2,x=a,则关于x的方程f(x)=a无实数解,故a的取值范围为(-,0)(0,1)(1,+).考点考法探究小题1例1(1)A(2)B解析
12、(1)令f(x)=xsinx-1=0,显然x=0不是函数f(x)的零点,可得sinx=1x.作出函数y=sinx和y=1x的图像,如图所示,由图可知,两函数的图像在-2,2上有2个交点,故f(x)在-2,2上有2个零点.(2)当x0时,由|lnx|-3=0,得lnx=3,x=e3或x=e-3;当x0时,由-2x2-4x-3=0,得2x2+4x+3=0,=16-4230时,g(x)=|2lgx|,h(x)=-x2+2x,作出两函数在(0,+)上的图像,如图所示.由图可知,两函数的图像在(0,+)上共有2个交点,即当x0时,|lgx2|=-x2+2|x|有2个根,根据对称性可得,当x0时,|lgx
13、2|=-x2+2|x|有2个根,所以|lgx2|=-x2+2|x|共有4个根,即函数f(x)=|lgx2|+x2-2|x|的零点的个数为4.故选C.2.C解析由F(x)=0得xf(x)=1,可化为f(x)=1x.作出函数y=f(x)和g(x)=1x的图像,如图所示.由图可知,当x0时,f(1)=1,g(1)=1,故f(1)=g(1)=1.f(3)=12f(1)=12,g(3)=13,f(3)g(3),所以两函数的图像在2,4)上有两个交点.同理f(5)g(5),所以两函数的图像在4,6)上有两个交点.因为f(7)g(7),所以两函数的图像在6,8)上没有交点,当x8时,恒有f(x)g(x),所
14、以两函数的图像在8,+)上没有交点,所以F(x)的零点个数为6,故选C.小题2例2(1)D(2)C解析(1)g(x)=f(1-x)-kx+k-12恰有3个不同的零点,方程f(1-x)=k(x-1)+12恰有3个不同的实根,令1-x=t,则方程f(t)=-kt+12恰有3个不同的实根,即曲线y=f(x)与直线y=-kx+12恰有3个不同的交点.易知直线y=-kx+12过定点0,12,作出曲线y=f(x)和直线y=-kx+12,如图所示.当-k=0,即k=0时,满足题意.当直线y=-kx+12与曲线y=x2+2x+1(x0)相切时,可得k=-2+2.当直线y=-kx+12与曲线y=1-x1+x(x
15、0)相切时,可得k=12.由图可得,当-2+20)相切时,设切点为P(x0,ln(x0+1),y=1x+1,可得1x0+1=ln(x0+1)+12x0+1,解得x0=e12-1,此时m=e-12.当直线y=mx+m-12过点(0,0)时,m=12.由图可知,当12m1,loga(6+2)8,故实数a的取值范围是(8,+).小题3例3(1)B(2)6解析(1)因为f(x)=log123+5x+2t+1在区间(1,5)内有零点且单调递增,所以f(1)f(5)0,即(2t-2)(2t-1)0,解得12t1.设h(t)=3t2-4t,易知h(t)在12,23上单调递减,在23,1上单调递增,所以-43
16、h(t)-1,从而-1g(t)-34,即函数g(t)=13t2-4t的值域为-1,-34.故选B.(2)作出函数f(x)的图像,如图所示.由图可知,若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),且x1x2x3x4,则x3+x42=3,则x3+x4=6.又-log2x1=log2x2,所以log2(x1x2)=0,即x1x2=1,所以x1x2(x3+x4)=6.【自测题】A解析方程(x-3)sinx=1的根即为函数y=sinx的图像与函数y=1x-3的图像的交点的横坐标,则x1,x2,x3,x4即为两函数图像在y轴右侧的交点的横坐标.不妨设x1x2x3-1时,ff(x)0恒成立等价于f(x)
17、m或f(x)-1(舍去)恒成立,即x2+(1-m)x-mm恒成立,则m-1,=(1-m)2+8m0,解得-1m-3+22;当m=-1时,ff(x)0恒成立,符合题意;当m-1时,ff(x)0恒成立等价于f(x)m(舍去)或f(x)-1恒成立,即x2+(1-m)x-m-1恒成立,则m-1,=(1-m)2-4(1-m)0,解得-3m0得2t3,由f(t)0得1t2,f(t)在1,2)上单调递减,在2,3上单调递增.又f(1)=-5,f(3)=9,f(t)max=9,m9,故选A.【自测题】1.D解析因为x1,x21,3,x1x2,f(x1)-f(x2)x1-x2-2=f(x1)-2x1-f(x2)
18、-2x2x1-x20恒成立,所以g(x)=f(x)-2x=aexx-2x在1,3上单调递减,所以g(x)=aex(x-1)x2-20在1,3上恒成立.当x=1时,aex(x-1)x2-20显然成立,此时aR.当x(1,3时,可得a2x2ex(x-1),令h(x)=2x2ex(x-1),则h(x)=-2x(x2-2x+2)ex(x-1)20,所以h(x)在(1,3上单调递减,所以ah(3)=232e3(3-1)=9e3.综上,a的取值范围是-,9e3.故选D.2.(-,-12,+)解析f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x).设x0,则f(-x)=3(-x)2=3x2,故f(x)=-f(-x)=
19、-3x2,故f(x)=3x2(x0),-3x2(x0),从而4f(x)=12x2(x0),-12x2(x0)=3(2x)2(x0),-3(2x)2(x0,故f(x)0,故f(x)在(0,+)上单调递增,原不等式可化为ex-x-1meln(x+1)-ln(x+1)-1.易知xln(x+1),则ex-x-1eln(x+1)-ln(x+1)-10,则m1.故选C.(2)方法一:对x1ex1=e3两边取自然对数得lnx1+x1=3.对x2(lnx2-2)=e5两边取自然对数得lnx2+ln(lnx2-2)=5(*),为使两式结构相同,将(*)式进一步变形为(lnx2-2)+ln(lnx2-2)=3.设
20、f(x)=lnx+x,则f(x)=1x+10,f(x)在(0,+)上单调递增,f(x)=3的解只有一个,x1=lnx2-2,x1x2=(lnx2-2)x2=e5.方法二:实数x1,x2满足x1ex1=e3,x2(lnx2-2)=e5,x10,x2e2,lnx2-2=t0,x2=et+2,则tet=e3.设f(x)=xex(x0),则f(x)=(x+1)ex0(x0),f(x)在(0,+)上单调递增,而f(x1)=f(t)=e3,x1=t=lnx2-2,x1x2=x2(lnx2-2)=e5.【自测题】1.B解析当xe时,由f(x)0恒成立,得2x3lnx(m-x)emx-1恒成立,当m0时,显然
21、成立.当m0时,可得2x2lnxmx-1emx-1,变形得(2lnx)e2lnxmx-1emx-1.因为xe,m0,所以mx0,2lnx0,又易知f(x)=xex在(-1,+)上单调递增,所以2lnxmx-1,则2xlnx+xm,又y=2xlnx+x在e,+)上单调递增,故当x=e时,y=2xlnx+x取到最小值3e,故m3e,故选B.2.2解析由a2-b2-4=42b-2a-4b,得a2+2a=22-b+(b-2)2,即a2+2a=(2-b)2+22-b.设f(x)=x2+2x,则f(x)在(0,2)上单调递增,因为a,b(0,2),所以2-b(0,2),又f(a)=f(2-b),所以a=2-b,故a+b=2.