1、江西省抚州市临川第一中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题1.设全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】全集，.故选B.2.若指数函数在上递减，则实数的取值范围是()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据指数函数的性质得到关于的不等式，解出即可【详解】解：由题意得： ，解得：，故选：A【点睛】本题考查指数函数单调性，是一道基础题3.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，则故选：4.下列函数中,在其定义域内与函数有相同的奇偶性和单调性的是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据常见函数单调性和奇偶
2、性判断即可【详解】解：函数在上递增，是奇函数，对于A，在定义域无单调性，是奇函数，不符合题意；对于B，是非奇非偶函数，不符合题意；对于C，是偶函数，不符合题意；对于D，在定义域上递增，是奇函数，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，是一道基础题5.在映射中，且，则与中的元素对应的中的元素为()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，令，解出即可【详解】解：由题意，解得：，故选：C【点睛】本题考查了映射的定义，属于基础题6.已知函数对任意不相等的实数都满，若，则的大小关系()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用可得函数的单调性
3、，进而分析的大小，借助单调性，可得答案【详解】解：当时，有，即对任意，有，所以函数在其定义域内为增函数，故选：D【点睛】本题考查函数单调性的判定与应用，关键是应用判定函数的单调性，是基础题7.已知函数(且）的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则()A. B. C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的图象与性质，求出定点的坐标，再利用待定系数法求出幂函数，从而求出的值【详解】解：函数中，令，解得，此时，所以定点；设幂函数，则，解得；所以，所以，故选：D【点睛】本题考查用待定系数法求幂函数解析式，以及指数函数的性质，是基础题8.根据表中的数据,可以断定方程的一个根所在的区间是()0
4、1231A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令，求出选项中的端点函数值，从而由零点的存在性定理判断根的位置【详解】解：令，由上表可知，则，故，故选：D【点睛】本题考查零点存在性定理，若连续函数在某区间端点上对应的函数值异号，则在该区间上必有零点，属于基础题9.函数的定义域为，值域为，则的取值范围是A. 0，4B. 4，6C. 2，6D. 2，4【答案】D【解析】【分析】因为函数的图象开口朝上，由 ，结合二次函数的图象和性质可得的取值范围.【详解】函数的图象是开口朝上，且以直线为对称轴的抛物线，故，函数的定义域为,值域为，所以，即的取值范围是,故选D.【点睛】本题主要考查二次函数的
5、图象和性质，以及函数的定义域与值域，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力.10.关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分离参数后，构造函数求出值域可得【详解】解：对任意恒成立，令所以对任意恒成立等价于对任意恒成立，故选：B【点睛】本题考查了函数恒成立问题，可以通过分离参数转化最值问题，而且还可以避免分类讨论，属中档题11.已知函数，若直线与函数的图象有三个交点，它们的横坐标分别为，则的取值范围是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将去掉绝对值，写为分段函数的形式，做出的图像，同时做出直线的图像，当直线与函数的图象有
6、三个交点的时候，利用图像的对称性可得结果【详解】解：，其图像如图：设函数的图象与直线的交点对应横坐标分别为，则，所以，故选：D【点睛】本题考查了分段函数的图象的作法及函数图象的性质的应用，属中档题12.函数的定义域为，若满足如下两个条件：（1）在内是单调函数；（2）存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“希望函数”，若函数是“希望函数”，则的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据“希望函数”的概念利用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式求解.【详解】因为函数是“希望函数”,所以在上的值域为，且函数是单调递增的.所以 即有2个不等的正实数根，且两根之积等于解得，故
7、选A.【点睛】本题主要考查了函数的值域，单调性，二次方程根的问题，属于难题.二.填空题13.函数的定义域为_。【答案】【解析】【分析】根据对数的真数大于零，分式的分母不为零，列不等式求解即可【详解】解：由已知得，解得且，函数的定义域为，故答案为：【点睛】本题考查函数的定义域的求法，是基础题14.已知定义在上的奇函数满足，若，则实数的取值范围是_。【答案】【解析】【分析】先判断函数的单调性，然后再根据函数的单调性和奇偶性，“脱”掉，得到关于的不等式，解出不等式即可【详解】解：函数，是增函数，又是奇函数，且其图像具有连续性，是上增函数由，于是，解得或，故答案为：【点睛】本题属于函数性质的综合应用，
8、学生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，是中档题15.以下说法中正确的是_。（写出所有正确的序号）若函数的定义域为，则函数的定义域为；函数的单调递减区间是；方程 的解是；若任意，且，则；【答案】【解析】【分析】根据抽象函数定义域的求法，可判断；由函数单调区间的表示法判断；解出方程可判断；根据已知得到，进而可判断【详解】若函数的定义域为，则，得，即函数的定义域为，故正确；函数的单调递减区间是和，不能并起来，故错误；方程，得，解得，故正确；若，则，则，故错误故答案为：【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了抽象函数定义域的求法，函数单调区间的表示，指数对数方程以及，抽象函数函数值的求
9、和，是中档题16.已知函数，若关于的方程有8个不同根，则实数的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：函数的图像如图所示，因为，所以关于的方程在上有2个根令，则方程在上有2个不同的正解，所以，解得考点：1、分段函数；2、函数的图象；3、方程的根【方法点睛】方程解的个数问题解法：研究程的实根常将参数移到一边转化为值域问题当研究程的实根个数问题，即方程的实数根个数问题时，也常要进行参变分离，得到的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解；也可将方程化为形如，常常是一边的函数图像是确定的，另一边的图像是动的，找到符合题意的临界值，然后总结答案即可三、解答题17.计算：（1）（2）【答案】（1）；（2）
10、【解析】【分析】（1）利用幂指数运算性质来计算即可；（2）利用对数的运算性质来计算即可【详解】解：（1）原式；（2）原式【点睛】本题考查指数对数的运算，是基础题18.已知集合，函数的定义域为，（1）当时，求，（2）若求实数的取值范围.【答案】（1）; （2）【解析】【分析】（1）根据题意，由可得，再由交并补的定义可得，；（2）根据题意，分析可得，进而分2种情况讨论：当时和当时，列不等式分别求出的取值范围，进而对其求并集可得答案【详解】解：根据题意,当时, ,则 ,又或,则；根据题意,若,则,分2种情况讨论：当时,有,解得：；当时,若有,必有 ，解得：,综上可得：的取值范围是：【点睛】本题考查集
11、合间关系的判断，涉及集合间的混合运算，（2）中注意可能为空集的情况，是基础题19.已知函数是定义域在上的奇函数,且.（1）求实数值；（2）判断函数的单调性,并用定义证明；（3）解不等式：.【答案】（1）;（2）增函数,证明见解析;（3）【解析】【分析】（1）利用,，列方程组求解即可；（2）先观察出函数的单调性，然后利用单调性的定义进行证明即可；（3）利用的单调性和奇偶性，将不等式中的“脱”去，得到关于的不等式，解不等式即可【详解】解：由题意可知定义域在上的奇函数可得,又，即：,解得：即实数，；由所以函数在上为增函数,证明：在上任,且,则因为，所以，即函数在上为增函数不等式 等价转化为： 又定义
12、域在上的奇函数，又函数是上的增函数,由解得： 所以原不等式的解集为【点睛】本题考查抽象函数性质的证明与应用，注意：1.定义在上的奇函数必有；2. 函数在上为增函数，则由可得，本题综合性较强，是中档题20.某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工（万元）与精加工的蔬菜量（吨）有如下关系：设该农业合作社将（吨）蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润（扣除加工费）为（万元）（1）写出关于的函数表达式；（2）当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润【答案】（1）；（2）精加
13、工吨时，总利润最大为万元.【解析】【分析】（1）利用已知条件求出函数的解析式；（2）利用二次函数的性质，转化求解函数的最值【详解】解：（1）由题意知，当0x8时，y=0.6x+0.2（14-x）-x2=-x2+x+， 当8x14时，y=0.6x+0.2（14-x）-=x+2， 即y=（2）当0x8时，y=-x2+x+=-（x-4）2+，所以当x=4时，ymax=当8x14时，y=x+2，所以当x=14时，ymax=因为，所以当x=4时，ymax=答：当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为万元【点睛】本题考查实际问题的应用，二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力21.若为定义域上
14、的单调函数,且存在区间（其中,使得当时, 的取值范围恰为,则称函数是上的“优美函数”. 函数是否为“优美函数”？若是,求出的值；若不是，请说明理由. 若为“优美函数”，求实数的取值范围. 若函数为“优美函数”，求实数的取值范围.【答案】（1）是“优美函数”,过程见解析（2） （3）【解析】【分析】（1）由已知条件中“优美函数”的定义，说明函数在区间的值域是，又由函数的单调性，得到关于的方程，解出即可；（2）由题意知，函数为“优美函数”，等价于方程有两实根，利用判别式和韦达定理列不等式，解不等式可得的范围；（3）函数为“优美函数”，可得，消去，可得间的关系，再代入原方程组，可得两个结构一摸一样的
15、方程，将方程组的问题化归为一个二次方程有两正根的问题，利用判别式和韦达定理列不等式，解不等式可得的范围【详解】解：因为函数在区间上单调递增，且值域为, ，所以是“优美函数”,此时,；因为函数为递增函数,要使在定义域区间上存在,使得的值域,则只需有两个不等的实根,由得在有两个不等的实根,设为， ，解得；因为函数在上单调递减，由题意得，两式相减，得， 可得 将上式代入方程组得，是方程的两根，令在上有两个不同的实根，设为，解得【点睛】本题考查的知识点是函数单调性和函数的值域，根据新定义构造出满足条件的方程（组）或不等式（组），将新定义转化为熟悉的数学模型是解答本题的关键，其中将方程组化归为二次方程是
16、第（3）问的关键，本题难度较大22.已知函数是偶函数，且，.（1）当时，求函数的值域；（2）设R，求函数的最小值；（3）对（2）中的，若不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由函数是偶函数，可得，即可求出，进而可求出与的表达式，再由时，函数和都是单调递增函数，可知函数在上单调递增，从而可求出的值域；（2），令，由（1）知，则，然后利用二次函数的单调性可求得的最小值；（3）当时，则，整理得，由于，则对于任意的恒成立，只需令大于在上的最大值，求解即可.【详解】（1）因为函数是偶函数，所以，解得.故，.当时，函数和都是单调递增函数，故函数在上单调递增，所以当时，函数的值域是.（2）,令，由（1）知，则，因为二次函数开口向上，对称轴为，故时，在上单调递增，最小值为；时，在上单调递减，在上单调递增，最小值为；时，在上单调递减，最小值为8.故函数的最小值.（3）当时，则即，整理得，因为，所以对于任意的恒成立，令，只需令大于在上的最大值即可.在上任取，且，则，则，当时，则，即，故在上单调递增；当时，则，即，故在上单调递减；所以函数在上的最大值为，故.所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了函数的单调性，考查了函数的最小值的求法，考查了不等式恒成立问题，属于难题.
