1、海淀区高三年级第一学期期中练习数学(理科) 2013.11本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合，则( A )A. B. C. D.2.下列函数中，值域为的函数是( C )A. B. C. D.3. 在中，若，则=( B )A.B.C.D.4. 在平面直角坐标系中，已知点，若，则实数的值为( C )A. B. C. D. 5.若，则“”是“”的（B）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C
2、. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知数列的通项公式，则数列的前项和的最小值是（B）A. B. C. D. 7.已知，函数若，则实数的取值范围为（D）A. B.C.D. 8.已知函数，在下列给出结论中：是的一个周期；的图象关于直线对称；在上单调递减.其中，正确结论的个数为（C）A. 0个B.1个C. 2个D. 3个二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。9._.210. 已知数列为等比数列，若，则公比_.23111. 已知，则的大小关系为_.12.函数的图象如图所示，则_，_.,13.已知是正三角形，若与向量的夹角大于，则实数的取值范围是_.14.定义在上的函数满足：当
3、时，；.设关于的函数的零点从小到大依次为.若，则；若，则_.答案：14；三、解答题: 本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。15.（本小题满分13分）在中，角的对边分别为,.（）求的值；（）求的值.解：（）由和可得, -2分所以， -3分又所以. -5分（）因为,由余弦定理可得 -7分，即. -9分由正弦定理可得-11分，-12分所以.-13分16. （本小题满分14分）已知函数.（I）求的最小正周期；（II）求在区间上的取值范围.解：（I）-2分-4分-6分最小正周期为，-8分（II）因为，所以-10分所以-12分所以， -13分所以取值范围为. -14分17.
4、（本小题满分13分）如图，已知点，直线与函数的图象交于点，与轴交于点，记的面积为.（I）求函数的解析式；（II）求函数的最大值.解：（I）由已知 -1分所以的面积为. -4分（II）解法1. -7分由得， -8分函数与在定义域上的情况下表：3+0极大值-12分所以当时，函数取得最大值8. -13分解法2.由设， -6分则.-7分函数与在定义域上的情况下表：3+0极大值-11分所以当时，函数取得最大值， -12分所以当时，函数取得最大值.-13分18.（本小题满分13分）已知数列满足：；对于任意正整数都有成立.（I）求的值；（II）求数列的通项公式；（III）若，求数列的前项和.解：（I）由可得
5、， -2分由可得. -3分（II）由可得， -6分所以数列的通项公式. -7分（III）由（II）可得，易得分别为公比是4和2的等比数列，-8分由等比数列求和公式可得.-13分19.（本小题满分14分）已知函数.（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（II）求的单调区间；（III）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.解：（I）因为，,所以, -1分，, -3分所以切线方程为. -4分(II）, -5分由得, -6分当时，在或时，在时,所以的单调增区间是和，单调减区间是； -7分当时，在时，所以的单调增区间是；-8分当时，在或时，在时.所以的单调增区间是和，单调减区间是. -10分(III）由（I
6、I）可知在区间上只可能有极小值点，所以在区间上的最大值在区间的端点处取到，-12分即有且,解得. -14分20.（本小题满分13分）已知数列的首项其中，令集合.（I）若是数列中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项；（II）求证：；（III）当时，求集合中元素个数的最大值.解：（I）27,9,3；8,9,3；6,2,3. -3分（II）若被3除余1，则由已知可得,；若被3除余2,则由已知可得,；若被3除余0，则由已知可得,；所以，所以所以，对于数列中的任意一项，“若，则”.因为，所以.所以数列中必存在某一项（否则会与上述结论矛盾！）若,则；若,则,若,则,由递推关系易得. -8分（III）集合中元素个数的最大值为21.由已知递推关系可推得数列满足：当时，总有成立，其中.下面考虑当时，数列中大于3的各项：按逆序排列各项，构成的数列记为，由（I）可得或9，由（II）的证明过程可知数列的项满足：，且当是3的倍数时，若使最小，需使，所以，满足最小的数列中，或7，且，所以，所以数列是首项为或的公比为3的等比数列，所以或，即或，因为，所以，当时，的最大值是6，所以，所以集合重元素个数的最大值为21.-13分