1、考点突破练10概率与统计的综合问题1.(2022黑龙江哈尔滨六中一模)某厂家将其生产的糖果批发给当地一家商场,商场根据这批糖果的品质将其分为A,B,C三个等级,批发单价分别为6元/千克、5元/千克和4元/千克.(1)根据以往的经验,该厂家生产的糖果为A,B,C等级的比例分别为50%,30%,20%,估计这批糖果的批发单价的平均值;(2)为了对糖果进行合理定价,商场对近5天的日销量y(单位:千克)和销售单价x(单位:元/千克)进行了统计,得到一组数据如表所示:销售单价x/(元/千克)678910日销量y/千克1501351109575根据表中所给数据,用线性回归模型拟合y与x的关系,求出y关于x
2、的线性回归方程,并预测当糖果单价为12元/千克时,该商场糖果的日销量.参考公式:回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2,a=y-bx.参考数据:i=15yi=565,i=15xiyi=4 330,i=15xi2=330.2.(2022宁夏银川一中三模)某高校进行志愿者选拔的面试工作,现随机抽取了100名候选者的面试成绩,并分成五组:第一组45,55),第二组55,65),第三组65,75),第四组75,85),第五组85,95,绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7,第一组和第五组的频率相同.(1)求
3、a,b的值;(2)在第四、第五两组志愿者中,现采用分层抽样的方法,从中抽取5人,然后再从这5人中选出2人,以确定组长人选,求选出的两人来自不同组的概率.3.(2022山西运城模拟)随着北京冬奥会的成功举办,冰雪运动成为时尚.“三亿人参与冰雪运动”与建设“健康中国”紧密相连,对我国经济发展有极大的促进作用,我国冰雪经济市场消费潜力巨大.为了更好地普及冰雪运动知识,某市十几所大学联合举办了大学生冰雪运动知识系列讲座,培训结束前对参加讲座的学生进行冰雪知识测试,现从参加测试的大学生中随机抽取了100名大学生的测试成绩(满分100分),将数据分为5组:50,60),60,70),70,80),80,9
4、0),90,100,得到如下频数分布表:分数50,60)60,70)70,80)80,90)90,100人数815253022(1)若成绩不低于60分为合格,不低于80分为优秀,根据样本估计总体,估计参加讲座的学生的冰雪知识的合格率和优秀率;(2)若x为样本成绩的平均数,样本成绩的标准差为s,计算得s12.1,若x-2s55,则不及格学生需要参加第二次讲座,否则,不需要参加第二次讲座,试问不及格学生是否需要参加第二次讲座?(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)4.(2022安徽含山三模)某汽车销售公司2021年1月份至6月份的销售收入y(单位:百万元)关于月份x的数据如表:月份x12345
5、6收入y/百万元6.68.616.121.633.041.0根据以上数据绘制散点图,如图所示.(1)根据散点图判M断,y=ax+b与y=cedx(a,b,c,d均为常数)哪一个适宜作为该公司销售收入y关于月份x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的结果及表中数据,求出y关于x的回归方程,并预测该公司8月份的销售收入(保留两位小数).参考数据:xyui=16(xi-x)2i=16(xi-x)(yi-y)i=16(xi-x)(ui-u)3.5021.152.8517.50125.356.73其中u=ln y,ui=ln yi(i=1,2,3,4,5,6).附:回归直线y=
6、bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2,a=y-bx;e4.5695.58,e4.5897.51.5.(2020山东19)为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位:g/m3),得下表:PM2.5SO20,50(50,150(150,4750,3532184(35,756812(75,1153710(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”的概率;(2)根据所给数据,完成下面的22列联表:PM2.5SO20,150(1
7、50,4750,75(75,115(3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关?附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.8286.(2022四川南充模拟)某市为促进生活垃圾分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾桶.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾,总计400吨,数据统计如下表(单位:吨).类型厨余垃圾桶可回收物桶其他垃圾桶厨余垃圾602020可回收物10401
8、0其他垃圾3040170(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率p;(2)若处理1吨厨余垃圾需要5元,处理1吨非厨余垃圾需要8元,请估计处理这400吨垃圾所需要的费用;(3)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组,有3名女性志愿者,2名男性志愿者,现从这5名志愿者中随机选取3名,利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动(每名志愿者被选到的可能性相同),求两名男性志愿者都参加的概率.考点突破练10概率与统计的综合问题1.解 (1)由题得这批糖果的批发单价的平均值为60.5+50.3+40.2=5.3(元/千克).(2)x=15(6+7+8+9+10)=8,y=15565=113,所以b=i=15xiyi-5x
9、 yi=15xi2-5x2=4 330-58113330-582=-19,a=y-bx=113-(-19)8=265,故y关于x的线性回归方程为y=-19x+265.当x=12时,y=-1912+265=37,即当糖果单价为12元/千克时,预测该超市糖果的日销量为37千克.2.解 (1)由题意可知10a+0.65=0.7,20a+10b+0.65=1,解得a=0.005,b=0.025.(2)因为第四、第五两组志愿者人数之比为0.20.05=41,在第四、第五两组志愿者中,现采用分层抽样的方法,从中抽取5人,所抽取的5人中,第四组的志愿者人数为4,分别记为a,b,c,d,第五组的志愿者人数为1
10、,记为A,从这5人中选出2人,所有的基本事件有ab,ac,ad,aA,bc,bd,bA,cd,cA,dA,共10种,其中,事件“选出的两人来自不同组”所包含的基本事件有aA,bA,cA,dA,共4种,因此,所求事件的概率为P=410=25.3.解 (1)根据表格可知成绩不低于60分的频率为100-8100=0.92,所以估计参加培训讲座的学生的冰雪知识的合格率为92%;根据表格可知成绩不低于80分的频率为30+22100=0.52,所以估计参加培训讲座的学生的冰雪知识的优秀率为52%.(2)由题得,x=558100+6515100+7525100+8530100+9522100=79.3,所以
11、x-2s=79.3-12.12=55.155,故不及格学生不需要参加第二次讲座.4.解 (1)y=cedx.散点图中点的分布不是一条直线,相邻两点在y轴上的差距是增大的趋势,故用y=cedx表示更合适.(2)由y=cedx,得ln y=ln(cedx)=ln c+dx,设u=ln y,h=ln c,u=dx+h,d=i=16(xi-x)(ui-u)i=16(xi-x)2=6.7317.500.38,h=u-dx=2.85-0.383.50=1.52,u=1.52+0.38x,y=e1.52+0.38x,则回归方程为y=e1.52+0.38x,预测该公司8月份的销售收入为y=e1.52+0.38
12、8=e4.5695.58(百万元).5.解 (1)根据抽查数据,该市100天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的天数为32+18+6+8=64,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的概率的估计值为64100=0.64.(2)根据抽查数据,可得22列联表:PM2.5SO20,150(150,4750,756416(75,1151010(3)根据(2)的列联表得K2的观测值k=100(6410-1610)2802074267.484.由于7.4846.635,故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.6.解 (1)由题表可得厨余垃圾共有60+20+20=100(吨),其中投入厨余垃圾桶的有60吨,所以P=60100=35.(2)由题表可得这400吨垃圾含有100吨厨余垃圾和300吨非厨余垃圾,则处理费用为5100+8300=2 900(元),所以估计处理这400吨垃圾需要2 900元.