1、第 1 讲 命题有纲六大核心素养命题趋势 随着新课程标准的实施，今后的高考命题必将以知识为载体，能力立意、思想方法为灵魂，核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，落实立德树人的根本任务，推动人才培养的改革创新聚焦核心素养的养成，才能从容应对高考的变化类型一 用数学的眼光去观察世界素养 1 数学抽象数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征【例 1】(2019扬州模拟)如图是一“T”形水渠的平面视图(俯视图
2、)，水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为 4 m，东西向渠宽为 2 m(从拐角处，即图中 A，B 处开始)假定渠内的水面始终保持水平位置(即无高度差)(1)在水平面内，过点 A 的一条直线与水渠的内壁交于 P，Q 两点，且与水渠的一边的夹角为 02(如图)，请将线段 PQ 的长度 l(单位：m)表示为 的函数；(2)若从南面漂来一根长为 7 m 的笔直的竹竿(粗细不计)，竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)？请说明理由解(1)由题意得 PA2sin m，QA 4cos m，所以 lPAQA2sin 4cos 02 m.故所
3、求的函数为 l2sin 4cos 02.(2)设 f()2sin 4cos，0，2.则 f()2cos sin2 4sin cos2 2（2 2sin3cos3）sin2cos2，令 f()0，则存在 0 满足 tan 0 22，且当(0，0)时，f()0；当 0，2 时，f()0，所以 f()在(0，0)上单调递减，在0，2 上单调递增，所以当 0 时，f()取得极小值，也为最小值当 tan 0 22 时，sin 0 13，cos 0 23，所以 f()的最小值为 f(0)3 6，即这根竹竿能通过拐角处长度的最大值为 3 6m.因为 3 67，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠【训练
4、 1】(2019徐州高三期末)如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池 ABCD 及其矩形附属设施EFGH，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化其中半圆的圆心为 O，半径为 R，矩形 ABCD 的边 AB 在直径上，点 C，D，G，H 在圆周上，E，F 在边 CD 上，且BOG3，设BOC.(1)记游泳池及其附属设施的占地面积为 f()，求 f()的表达式；(2)怎样设计才能符合园林局的要求？解(1)由题意得 AB2Rcos，BCRsin.连接 OH，易得HOG 为等边三角形，所以 HGR，EH 32 RRsin，则 f()S 矩形 ABCDS 矩形 EFGH2Rcos
5、Rsin R32 RRsin R22sin cos sin 32，0，3.(2)要符合园林局的要求，只要 f()最小即可由(1)知，f()R2(2cos22sin2cos)R2(4cos2cos 2)，令 f()0，即 4cos2cos 20，解得 cos 1 338或 cos 1 338(舍去)，令 cos 01 338，00，3，则当(0，0)时，f()0，f()是单调减函数，当 0，3 时，f()0，f()是单调增函数，所以当 0 时，f()取得最小值故当 满足 cos 1 338时，该设计才符合园林局的要求素养 2 直观想象直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空
6、间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题直观模型，探索解决问题的思路【例 2】(2019南京、盐城高三一模)有一矩形 ABCD 硬纸板材料(厚度忽略不计)，边 AB 的长为 6 分米，其邻边足够长现从中截取矩形 EFHG(如图甲所示)，再剪去图中阴影部分，剩下的部分恰好能折成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示，重叠部分忽略不计)，其中 OEMF 是以 O 为圆心、EOF120为圆心角的扇形，且弧EF，GH 分别与边 BC，AD 相切于点 M，N.(1)当 BE 的长为
7、1 分米时，求折成的包装盒的容积；(2)当 BE 的长是多少分米时，折成的包装盒的容积最大？解(1)在题图甲中，连接 MO 交 EF 于点 T.设 OEOFOMR 分米，在 RtOET 中，因为EOT12EOF60，所以 OTR2，则 MTOMOTR2.从而 BEMTR2，即 R2BE2.故所得柱体的底面积 SS扇形 OEFSOEF13R212R2sin 12043 3 平方分米又柱体的高 EG4 分米，所以 VSEG163 4 3 立方分米故当 BE 长为 1 分米时，折成的包装盒的容积为163 4 3 立方分米(2)设 BEx 分米(0 x3)，则 R2x 分米，所以所得柱体的底面积 SS
8、 扇形 OEFSOEF13R212R2sin 12043 3 x2 平方分米又柱体的高 EG(62x)分米，所以 VSEG83 2 3(x33x2)，其中 0 x3.令 f(x)x33x2，x(0，3)，则由 f(x)3x26x3x(x2)0，解得 x2(x0 舍去)列表如下：x(0，2)2(2，3)f(x)0f(x)极大值 所以当 x2 时，f(x)取得极大值，也是最大值故当 BE 的长为 2 分米时，折成的包装盒的容积最大【训练2】(1)(2019苏州调研)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的
9、正四棱柱分成三组，经 90榫卯起来若正四棱柱的高为 5，底面正方形的边长为 1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为_(容器壁的厚度忽略不计，结果保留)(2)(2019南京二模)在边长为 4 的正方形 ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形(如图 1 中阴影部分)，将剩下的部分折叠成底面边长为 2的正四棱锥 SEFGH(如图 2)，则正四棱锥 SEFGH 的体积为_解析(1)该球形容器最小时，两个正四棱柱组成的四棱柱与球内接，此时球的直径 2R 等于四棱柱的体对角线，即 2R 522212 30，故球形容器的表面积至少为 4R230.(2)设题图 1 中BEF 的高为 h1
10、，则 BD 22h1，在四棱锥 SEFGH 中，斜高为 h1，设高为 h2，由 BD4 2 22h1，h13 22，h2h2122292122，VSEFGH13S 四边形 EFGHh2132243.答案(1)30(2)43类型二 用数学的思维去分析世界素养 3 逻辑推理逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎【例 3】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数 1，3，6，10，第 n 个三角形数为n（n1）212n212n.记第 n 个 k 边形数
11、为 N(n，k)(k3)，以下列出了部分第 n 个 k 边形数的表达式：三角形数 N(n，3)12n212n，正方形数 N(n，4)n2，五边形数 N(n，5)32n212n，六边形数 N(n，6)2n2n，可以推测 N(n，k)的表达式，由此计算 N(10，24)_解析 由题意，设 N(n，k)akn2bkn(k3)，则 akk22(k3)，bk4k2(k3)，所以 N(n，24)11n210n，当 n10 时，N(10，24)1110210101 000.答案 1 000【训练 3】(1)(2019徐州二模)设等比数列an满足：a1 2，ancos n3sin n，其中 n0，2，nN*，
12、则数列n的前 2 018 项之和是_(2)(2019赣榆月考)将正奇数排列成如右图形式，其中 aij 表示第 i行第 j 个数(iN*，jN*)，例如 a329，若 aij2 009，则 ij_解析(1)因为 n0，2，所以 n66，23，所以 ancos n 3sin n2sinn6(1，2，所以等比数列an的公比 q0.若 q1，由 a1 2知，当 n 充分大时 an2，矛盾；若 0q1，由 a1 2知，当 n 充分大时 an1，矛盾，所以 q1，从而 ana1 2，所以 n 12.则数列n的前 2 018 项之和是1 0096.(2)2 009 是第 1 005 个奇数，则 123(i1
13、)i（i1）21 005，且 123ii（i1）21 005，验证 i45 时，式成立，所以 i45.易得出第 45 行第 1 个数是 444511 981，1 9812(j1)2 009，j15.2 009 是第 45 行第 15 个数，则 ij60.答案(1)1 0096(2)60素养 4 数学运算数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等【例 4】(2019盐城模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的焦距为 2，F1，F2 分别为其左、
14、右焦点，过 F2 的直线与椭圆交于 A，B 两点，直线 AB 的斜率为1.(1)若直线 AB 与椭圆的右准线交于点 C 且CF1 CF2 24，求椭圆的标准方程；(2)若 OA2OB2AB2，求 a2 的取值范围解(1)由题意可知，F1(1，0)，F2(1，0)，由直线 AB：y(x1)，即 xy10，椭圆右准线方程为 xa2，得 C(a2，1a2)，CF1(1a2，a21)，CF2(1a2，a21)由CF1 CF224，得(a2)21(a21)224，a24，a23 舍去，b2a2c23，椭圆的标准方程为x24y231.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，OA2OB2AB2，cos
15、AOBOA2OB2AB22OAOB0，AOB 为钝角，OA OB x1x2y1y20.联立直线与椭圆方程y（x1），x2a2y2b21，消 y 得 b2x2a2(x1)2a2b2，整理可得(a2b2)x22a2x(a2a2b2)0，解得 x1，2 a2ab a2b21a2b2，x1x2 2a2a2b2，x1x2a2a2b2a2b2，又y1y2(x11)(x21)x1x2(x1x2)1，x1x2y1y22x1x2(x1x2)12a2a2b2a2b2 2a2a2b21，又 b2a21，x1x2y1y24a22a42a22a2112a44a212a210，又 a1，2a44a210，解得 a22 2
16、2a22 221舍去.故 a2 的取值范围为2 22，.【训练 4】(2019泰州调研)已知函数 yf(x)是 R 上的奇函数，且 f(x)在区间(，0)上单调递增，f(1)0.设 g(x)cos2xmsin x2m，集合 Mm|x0，2，g（x）0，集合 Nm|x0，2，f（g（x）0，则MN_解析 易得 f(1)f(1)0，所以由 R 上的奇函数 f(x)在(，0)上单调递增，得 x1 或 0 x1 时 f(x)0，由此 Nm|x0，2，g（x）1或0g（x）1，所以 MNm|x0，2，g（x）1，即x0，2，g(x)cos2xmsin x2m1 恒成立，即 1sin2xmsin x2m1
17、0，所以 sin2xmsin x2m20.令 tsin x0，1，则 t2mt2m20 对 t0，1恒成立，所以 m2t22t max.令 2ts1，2，所以2t22t 2（2s）2ss24s2s4s2s 42 2(当且仅当 s 2时取“”)，所以2t22t max42 2，所以 MNm|m42 2答案 m|m42 2类型三 用数学的语言去表达世界素养 5 数学建模数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题【例
18、 5】(2019南京师大附中模拟)如图，A，B，C 三个警亭有直道相通，已知 A 在 B 的正北方向 6 千米处，C 在 B 的正东方向 6 3千米处(1)警员甲从 C 出发，沿 CA 行至点 P 处，此时CBP45，求 P，B 两点间的距离；(2)警员甲从 C 出发沿 CA 前往 A，警员乙从 A 出发沿 AB 前往 B，两人同时出发，甲的速度为 3 千米/时，乙的速度为 6 千米/时两人通过专用对讲机保持联系，乙到达 B 后原地等待，直到甲到达 A 时任务结束若对讲机的有效通话距离不超过 9 千米，求两人通过对讲机能保持联系的总时长解(1)由题意知，在ABP 中，AB6，A60，APB75
19、，由正弦定理知，ABsinAPB BPsin A，即 BP ABsin AsinAPB6sin 60sin 75 6 322 64 12 36 212 3（6 2）43 3(62)9 23 6，故 P，B 两点间的距离是(9 23 6)千米(2)因为 AC62（6 3）212，故甲从 C 到 A 需要 4 小时，乙从 A 到 B 需要1 小时设甲、乙之间的距离为 f(t)，要保持通话则需要 f(t)9.当 0t1 时，f(t)（6t）2（123t）226t（123t）cos 603 7t216t169，即 7t216t70，解得8 157t8 157，又 t0，1，所以8 157t1，时长为
20、1517小时当 1t4 时，f(t)36（123t）226（123t）cos 603 t26t129，即 t26t30，解得 3 6t3 6，又 t(1，4，所以 1t4，时长为 3 小时故两人通过对讲机能保持联系的总时长为3 1517 15207(小时)【训练 5】(2019南京模拟)某小型服装厂生产一种风衣，日销售量 x 件(xN*)与单价 p 元/件之间的关系为 p1602x，生产 x 件所需成本为 C50030 x元要使日获利不少于 1 300 元，则该厂日销售量的最小值为_件解析 由题意，得(1602x)x(50030 x)1 300，解得 20 x45，故该厂日销售量的最小值为 2
21、0 件答案 20素养 6 数据分析数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型对信息进行分析、推断，获得结论【例 6】甲、乙两位学生参加数学竞赛培训现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取 8 次，记录如下：甲：82，81，79，78，95，88，93，84.乙：92，95，80，75，83，80，90，85.(1)用茎叶图表示这两组数据；(2)现要从两人中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由解(1)作出茎叶图如图所示(2)x 甲18(
22、70280490289124835)85，x 乙18(70180490350035025)85，s2甲18(7885)2(7985)2(8185)2(8285)2(8485)2(8885)2(9385)2(9585)235.5，s2乙18(7585)2(8085)2(8085)2(8385)2(8585)2(9085)2(9285)2(9585)241.因为 x 甲x 乙，s2甲s2乙，所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适【训练 6】(1)(2019泰州二模)在某个容量为 300 的样本的频率分布直方图中共有九个小长方形若中间一个小长方形的面积等于其他八个小长方形面积和的15，则中间一组的频数
23、为_(2)(2019苏、锡、常、镇四市调研)某中学共有 1 800 人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取 n 人，其中高二年级被抽取的人数为 21，则n_解析(1)在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于该组的频率，所有小长方形的面积之和为 1.设中间一个小长方形面积为 x，则 x15(1x)，解得 x16，所以中间一组的频数为1630050.(2)分层抽样是按比例抽样，所以21n 6001 800，解得 n63，经检验，n63 为原方程的解，且符合题意答案(1)50(2)631.要重视基本概念的复习从概念的定义出发，由表及里，去伪存真，掌握概念的本质属性，这是提升数
24、学素养的必要条件.在概念复习中要避免模式化，避免机械套用有关结论.2.要重视基本定理、公式的复习很多学生存在重应用轻推导的现象，就是只重视定理公式的应用，而忽视公式的推导、定理的证明.事实上，重视公式的推导、定理的证明，不仅有利于理解与掌握定理和公式，理解公式之间的相互关系，而且还可以进一步挖掘公式中蕴含的数学思想，使其成为我们解决某些问题的敲门砖.3.要重视基本技能的复习基本技能是数学基础知识的重要组成部分，在数学建模、数学运算以及数据分析等核心素养中都有它的影子，也是历年高考考查的重点.对基本技能的复习，主要包括掌握入手点、了解隐藏点与熟悉易错点.4.要重视数学本质数学核心素养中的数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学知识的产生、发展、应用的全过程中.要养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁，运用数学抽象的思维方式思考并解决问题.