1、课时规范练32基本不等式及其应用基础巩固组1.下列不等式一定成立的是()A.lgx2+14lg x(x0)B.sin x+1sinx2(xk,kZ)C.x2+12|x|(xR)D.1x2+10,b0,a+b=2,则y=1a+4b的最小值是()A.72B.4C.92D.54.(2018江西南昌测试三,10)若正数x,y满足x+4y-xy=0,则3x+y的最大值为()A.13B.38C.37D.15.(2018江西新余四中适应性考试,9)设正数x,y满足xy,x+2y=3,则1x-y+9x+5y的最小值为()A.83B.3C.32D.2336.(2018辽宁辽南协作校一模拟,6)若lg a+lg
2、b=0且ab,则2a+1b的取值范围为()A.22,+)B.(22,+)C.22,3)(3,+)D.(22,3)(3,+)7.(2018天津十二中学联考一,12)已知ab0,则2a+3a+b+2a-b的最小值为()A.22+23B.2+3C.22+3D.2+328.(2018河北唐山迁安三中期中,9)设x,y均为正实数,且32+x+32+y=1,则xy的最小值为()A.4B.43C.9D.169.若对于任意x0,xx2+3x+1a恒成立,则a的取值范围是.10.已知x,yR且满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的取值范围为.11.(2018河北唐山二模,23)已知a0,b0,c0,
3、d0,a2+b2=ab+1,cd1.(1)求证:a+b2;(2)判断等式ac+bd=c+d能否成立,并说明理由.12.已知a0,b0,a+b=1,求证:(1)1a+1b+1ab8;(2)1+1a1+1b9.综合提升组13.(2018湖北宜昌一中适应性考试,11)若P是面积为1的ABC内一点(不含边界),PAB,PAC和PBC的面积分别为x,y,z,则y+zx+1y+z的最小值是()A.3B.3+23C.13D.23+1314.(2018广东广州仲元中学期末,11)已知x,yR*,且满足x+2y=2xy,则x+4y的最小值为()A.3-2B.3+22C.3+2D.4215.(2018湖南澧县一中
4、一检,14)已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(xR)的值域为0,+),则a+1c+c+1a的最小值为.创新应用组16.(2018河南信阳二模,11)点M(x,y)在曲线C:x2-4x+y2-21=0上运动,t=x2+y2+12x-12y-150-a,且t的最大值为b,若a0,b0,则1a+1+1b的最小值为()A.1B.2C.3D.4课时规范练32基本不等式及其应用1.C当x0时,x2+142x12=x,所以lgx2+14lg x(x0),故选项A不正确;运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”,而当xk,kZ时,sin x的正负不定,故选项B不正确;由基本不等式可知,选项C正确
5、;当x=0时,有1x2+1=1,故选项D不正确.2.Ca,b都是正数,1+ba1+4ab=5+ba+4ab5+2ba4ab=9,当且仅当b=2a0时取等号.故选C.3.C依题意,得1a+4b=121a+4b(a+b)=125+ba+4ab125+2ba4ab=92,当且仅当a+b=2,ba=4ab,a0,b0,即a=23,b=43时取等号,即1a+4b的最小值是92.4.A因为x+4y-xy=0,化简可得x+4y=xy,左右两边同时除以xy,得1y+4x=1,求3x+y的最大值,即求x+y3=x3+y3的最小值,所以x3+y31=x3+y31y+4x=x3y+4y3x+13+432x3y4y3
6、x+13+433,当且仅当x3y=4y3x时取等号,所以3x+y的最大值为13,所以选A.5.A因为x+2y=3,所以2x+4y=6,所以(x-y)+(x+5y)=6,所以1x-y+9x+5y=161x-y+9x+5y6=161x-y+9x+5y(x-y)+(x+5y)=1610+x+5yx-y+9(x-y)x+5y16(10+29)=83,当且仅当x=2,y=12时取最小值.故选A.6.Alg a+lg b=0且ab,lg ab=0,即ab=1.2a+1bab=2b+a22ab=22,当且仅当a=2b=2时取等号.2a+1b的取值范围为22,+),故选A.7.Aab0,2a+3a+b+2a-
7、b=a+b+a-b+3a+b+2a-b,a+b+3a+b23,当且仅当a+b=3时取等号;a-b+2a-b22,当且仅当a-b=2时取等号.联立a+b=3,a-b=2,解得a=3+22,b=3-22.当a=3+22,b=3-22时,a+b+a-b+3a+b+2a-b22+23,即2a+3a+b+2a-b取得最小值22+23.8.D将等式化简可得xy-8=x+y2xy,解得xy4,所以xy16,所以最小值为16.故选D.9.15,+xx2+3x+1=13+x+1x,因为x0,所以x+1x2(当且仅当x=1时取等号),则13+x+1x13+2=15,即xx2+3x+1的最大值为15,故a15.10
8、.4,122xy=6-(x2+4y2),而2xyx2+4y22,6-(x2+4y2)x2+4y22,x2+4y24(当且仅当x=2y时取等号).(x+2y)2=6+2xy0,即2xy-6,z=x2+4y2=6-2xy12(当且仅当x=-2y时取等号).综上可知4x2+4y212.11.(1)证明 由题意得(a+b)2=3ab+13a+b22+1,当且仅当a=b时,取等号.解得(a+b)24,又a0,b0,所以a+b2.(2)解 不能成立.ac+bda+c2+b+d2,因为a+b2,所以ac+bd1+c+d2,因为c0,d0,cd1,所以c+d=c+d2+c+d2c+d2+cdc+d+1,故ac
9、+bd=c+d不能成立.12.证明 (1)a+b=1,a0,b0,1a+1b+1ab=1a+1b+a+bab=21a+1b=2a+ba+a+bb=2ba+ab+44baab+4=8(当且仅当a=b=12时,等号成立),1a+1b+1ab8.(2)1+1a1+1b=1a+1b+1ab+1,由(1)知1a+1b+1ab8.1+1a1+1b9.13.Ax+y+z=1,y+zx+1y+z=1-xx+11-x=1-xx+x+1-x1-x=1-xx+x1-x+121-xxx1-x+1=3,当且仅当x=12时取等号,y+zx+1y+z的最小值为3,故选A.14.B由题意可得(2y-1)(x-1)=1,变形为
10、(x-1)(4y-2)=2,所以2=(x-1)(4y-2)x+4y-32,所以x+4y22+3,当且仅当x-1=4y-2时,等号成立,即x=2+1,y=2+24,选B.15.4由题意知,a0,=4-4ac=0,ac=1,c0,则a+1c+c+1a=ac+1c+ca+1a=ac+ca+1c+1a2+21ac=2+2=4,当且仅当a=c=1时取等号.a+1c+c+1a的最小值为4.16.A曲线C:x2-4x+y2-21=0可化为(x-2)2+y2=25,表示圆心为A(2,0),半径为5的圆.t=x2+y2+12x-12y-150-a=(x+6)2+(y-6)2-222-a,(x+6)2+(y-6)2可以看作点M到点N(-6,6)的距离的平方,圆C上一点M到N的距离的最大值为|AN|+5,即点M是直线AN与圆C的离点N最远的交点,所以直线AN的方程为y=-34(x-2),由y=-34(x-2),(x-2)2+y2=25,解得x1=6,y1=-3或x2=-2,y2=3(舍去),当x=6,y=-3时,t取得最大值,且tmax=(6+6)2+(-3-6)2-222-a=b,a+b=3,(a+1)+b=4,1a+1+1b=141a+1+1b(a+1)+b=14ba+1+a+1b+21,当且仅当ba+1=a+1b,且a+b=3,即a=1,b=2时等号成立.故选A.