1、解析几何专 题 七 212()()ee圆锥曲线的统一性、和谐性从方程的形式看，在直角坐标系中，三类曲线的方程都是二元二次的，所以也叫二次曲线 从点的集合 或轨迹 的观点看，它们都是与定点和定直线距离的比是常数 的点的集合 或轨迹，这个定点是它们的焦点，定直线是它们的准线，只是由于离心率 取值范围的不同，而分为椭圆、双曲线和抛物线三种曲线 3410,1(1)从定义上看，圆锥曲线第二定义深刻地提示了三类曲线的内在联系，使曲线上的点、焦点、离心率、准线方程构成一个和谐的整体从几何性质上看，主要都是从变量范围、对称性、顶点、离心率四个方面来进行研究的特别是抛物线的离心率为常数，而椭圆与双曲线离心率的范
2、围分别在与，内3(1)21,01,0_CAC已知椭圆 过点，两个焦点为与，则椭圆 的方程为例1：考点1 求圆锥曲线的标准方程2232.2ba可利用三种方法求解，即利用待定系数法、定义法、利用椭圆的通径分析：22222222222211.11913143()241.431xycbbAbbbbabcCxy 由题意，可设椭圆方程为因为 在椭圆上，所以，解得，或舍去 所以方法：，所以椭圆的方程为解析：2222222223211 0231 10423221.43aabacxy 由椭圆定义得，所以，则，故所求的方程为方法：2222222223(1)1,021 2323223112231.433AFbAFb
3、aacabcaaaxyb因为点，与焦点的横坐标相同，则为通径的一半，即，即，又，所以，解得，则，故所求的方程为方法：3()AFx本题解答用了三种方法，前两种方法是常见方法，而方法 是结合题设具体条件，挖掘出隐含条件轴 即椭圆的长轴，利用椭圆的通径来【评析】解决的.22127364xy 已知双曲线与椭圆有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为，求双曲线变试题的方程2222221212736154(15 4)12736320()1.45xyCAyx 设双曲线 的方程为，将点，代入所设方程得，解得，或舍去 所解析以双曲线的方程：222212121(00)30()A.6 B.33C.2 D.3x
4、yababFFFMMFx双曲线，的左、右焦点分别是，过 作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于 轴，则双曲线的离心率为 例 2：考点2 圆锥曲线几何性质的计算及应用2212RtMFxMFMF Fabcca根据条件垂直于 轴，知为通径的一半，再在中利用三边的关系可以确定，之间的关系，从而可求得 与 的比值，分析：即离心率22122222Rt|2|3tan30.|1 2|232 32 3103333.13B.3bMFMF FaMFbF Fcacaaceeeee 由条件知，则在中，即所以，所以，解得或因为 ，所以析，故选解：222abccab本题的解答抓住了已知条件的特殊性，利用“通径”的值在直
5、角三角形中建立，之间【评析的关系，注意结合双曲线的固有条件“”的转化功能，使问题顺利得到】了解决221222121(0)60()23A.B.231C.2xyabFxabPFF PF 过椭圆 的左焦点 作 轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为 变试题1 D.31221121222212222.Rt603222331B.3PFxxcbbPFPF FF PFPFaabbPFPFaaaacbeaa 因为轴，所以将代入椭圆方程得在中，则，由，得，所以，从而可得，解故选析：20 1222222222122112514.1350.12.0CxyxabxyABC abxyCCCPAPCMPBCN
6、AMMPMN AB 如图，已知椭圆 的中心在原点，已知椭圆方程，一条准线方程是，左、右顶点分别是、双曲线：的一条渐近线方程为求椭圆 的方程及双曲线的离心率；在第一象限内取双曲线上一点，连结交椭圆于点，连结并延长交椭圆于点，若求证：备选例题.211222112222222225453135411.2592593425934.5acabbCaccabxyxyCcCe由已知，解得，所以椭圆 的方程为，双曲线的方程为又，所以双曲线的离心率解析：00002200122200215,05,0()25,212592541259ABMxyAMMPMAPPxyMPxyCCxy 证明：由知，设的坐标为，则由得为的
7、中点，所以点的坐标为将、的坐标分别代入、方程得20000022252x52505()2(10,3 3)(10,3 3)3 33 35511055259552152505().220.NNMyxxxPPPBxyyxyxxxxxxxxMNxMNAB 消去 得，解得或舍去，由此可得当 为时，直线的方程为，即，代入，得，解得或舍去，所以所以，故轴，即 112()ab求圆锥曲线的标准方程的两种基本方法：直接法，即根据圆锥曲线的定义及平面几何的相关知识等，直接求得 与；待定系数法，即根据题设条件设出所求的椭圆标准方程，然后通过建立方程 组 求得待定参数2在圆锥曲线的题型中，凡涉及到焦点均可用定义进行转化，
8、特别是利用抛物线定义解决相关问题的转化过程相对于椭圆、双曲线的定义转化要简捷得多，因此在解题中一定要加强抛物线定义的应用意识 312caceaace求解离心率问题主要有两种处理方法：根据条件求出 和，利用公式；建立关于 与 的齐次式方程或不等式，再转化为离心率 的方程或不等式求解，求离心率的范围时注意基本不等式及函数思想的应用4()焦点三角形是指椭圆或双曲线上一点与两个焦点连线所构成的三角形，或是三点均在抛物线上，而一边过焦点的三角形，求解的问题主要有三角形的周长、面积、角等问题解答的主要策略是利用圆锥曲线的定义，并结合正、余弦定理或三角形的面积公式等，建立方程 组 进行解答5椭圆、双曲线、抛
9、物线的依存关系问题，只要对三种圆锥曲线的概念与性质掌握得好，通过建立方程即可处理222260(0)axbya xb y 如果已知双曲线的渐近线，或能够根据已知条件确定出渐近线方程为时，可设双曲线方程为，再利用其他条件确定 的值，所用方法实质是待定系数法7圆锥曲线本身就是数与形的结合，真可谓是数形结合无处不在，因此“以形助数”、“以数助形”是解答直线与圆锥曲线位置关系问题的常见策略22222 A8 B8C4 1.(20 D114)xyxyxyxyx 陕西卷 设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是222248.pxpyx 因为准线方程为，所以，所以，所以抛物线的方程为解析：222221(00)24(21)A 2 3 B 2 5C 4 3 2.(201D)4 51xyababypx已知双曲线，的左顶点与抛物线的焦点的距离为，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为卷天津2(21)(21)2242,042,02.(21)1.125pypxxpayxbc 根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，即点，在抛物线的准线上又由抛物线的准线方程为，则，抛物线的焦点为因为双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为，所以双曲线的左顶点为，即因为点，在双曲线的渐近线上，所以其渐近线方程为由双曲线的性质，可得，则，故双曲解析：线的焦距为22 5.c