1、高考资源网（） 您身边的高考专家微专题8空间平行与垂直问题真 题 感 悟(2019江苏卷)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，ABBC.求证：(1)A1B1平面DEC1；(2)BEC1E.证明(1)因为D，E分别为BC，AC的中点，所以EDAB.在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1，所以A1B1ED.又因为ED平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1平面DEC1.(2)因为ABBC，E为AC的中点，所以BEAC.因为三棱柱ABCA1B1C1是直棱柱，所以C1C平面ABC.又因为BE平面ABC，所以C1CBE.因为C1C平面A1ACC1，AC平面A
2、1ACC1，C1CACC，所以BE平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1，所以BEC1E.考 点 整 合垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.(2)证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l，ala.热点一空间线面位置关系的判断【例1】 (1)(2019盐城模拟)设，为两个
3、不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是_(填上所有正确命题的序号).若，m，则m；若m，n，则mn；若，n，mn，则m；若n，n，m，则m.(2)(2018镇江期末)设b，c表示两条直线，表示两个平面，现给出下列命题：若b，c，则bc；若b，bc，则c；若c，则c；若c，c，则.其中正确的命题是_(写出所有正确命题的序号).解析(1)由面面平行的性质可得正确；若m，n，则m，n平行或异面，错误；由面面垂直的性质定理可知中缺少条件“m”，错误；若n，n，则，又m，则m，正确.综上，命题正确的是.(2)b和c垂直，故错；可能c，故错；可能c与相交，c，c，故错；根据面面垂直判定定理
4、可知，故正确.答案(1)(2)探究提高长方体(或正方体)是一类特殊的几何体，其中蕴含着丰富的空间位置关系.因此，对于某些研究空间直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直关系问题，常构造长方体(或正方体)，把点、线、面的位置关系转移到长方体(或正方体)中，对各条件进行检验或推理，根据条件在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，判断条件的真伪，可使此类问题迅速获解.【训练1】 (2019全国卷改编)设，为两个平面，则的充要条件是_(填序号).内有无数条直线与平行；内有两条相交直线与平行；，平行于同一条直线；，垂直于同一平面.解析若，则内有无数条直线与平行，当无数条直线互相平行
5、时，与可能相交；若，平行于同一条直线，则与可以平行也可以相交；若，垂直于同一平面，则与可以平行也可以相交，故、均不是充要条件.根据两平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立.因此条件是的充要条件.答案热点二平行、垂直关系的证明【例2】 (2019北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.(1)求证：BD平面PAC；(2)若ABC60，求证：平面PAB平面PAE；(3)棱PB上是否存在点F，使得CF平面PAE？说明理由.(1)证明因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.因为底面ABCD
6、为菱形，所以BDAC.又PAACA，PA，AC平面PAC，所以BD平面PAC.(2)证明因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.因为底面ABCD为菱形，ABC60，且E为CD的中点，所以AECD.又因为ABCD，所以ABAE.又ABPAA，AB，PA平面PAB，所以AE平面PAB.因为AE平面PAE，所以平面PAB平面PAE.(3)解棱PB上存在点F，使得CF平面PAE.理由如下：取PB的中点F，PA的中点G，连接CF，FG，EG，则FGAB，且FGAB.因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CEAB，且CEAB.所以FGCE，且FGCE.所以四边形CEGF为平行四边形.
7、所以CFEG.因为CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF平面PAE.探究提高垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.【训练2】 (2018江苏卷)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1.求证：(1)AB平面A1B1C；(2)平面ABB1A1平面A1BC.证明(1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1.因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1
8、C，所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1A1B.又因为AB1B1C1，BCB1C1，所以AB1BC.又因为A1BBCB，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC.因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1BC.热点三面面垂直性质定理的考查【例3】 (2017江苏卷)如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.证
9、明(1)在平面ABD内，因为ABAD，EFAD，所以EFAB.又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因为AD平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC，又因为AC平面ABC，所以ADAC.探究提高题目已知条件中出现面面垂直条件(如)时，要在其中的一个平面中找出(或作出)一条直线与两平面的交线垂直，才可以依据面面垂直的性质定理将此条件转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直.【训练3】 (2019如皋市高三模拟)如图，四
10、棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC，AD2BC，且BADBPA90，平面APB底面ABCD，点M为PD的中点.(1)求证：CM平面PAB；(2)求证：PBPD.证明(1)取AP的中点H，连接BH，HM.因为H，M分别为AP，DP的中点，所以HMAD且HMAD.因为ADBC且AD2BC，所以HMBC且HMBC，所以四边形BCMH为平行四边形，所以CMBH.因为CM平面PAB，BH平面PAB，所以CM平面PAB.(2)因为BAD90，所以BAAD.因为平面APB平面ABCD，AD平面ABCD，平面APB平面ABCDAB，所以AD平面APB.因为PB平面PAB，所以PBAD.因为BPA90，
11、所以PBPA.因为PAPDP，PA，PD平面PAD，所以PB平面PAD.因为PD平面PAD，所以PBPD.【新题感悟】 (2019南京、盐城高三二模)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，A1CBC1，AB1BC1，D，E分别是AB1和BC的中点.求证：(1)DE平面ACC1A1；(2)AE平面BCC1B1.证明(1)连接A1B，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B是平行四边形，又因为D是AB1的中点，所以D也是BA1的中点.在BA1C中，D和E分别是BA1和BC的中点，所以DEA1C.又因为DE平面ACC1A1，A1C平面ACC1A1，所以DE平面ACC1A1.(2)由(
12、1)知DEA1C，因为A1CBC1，所以BC1DE.又因为BC1AB1，AB1DED，AB1，DE平面ADE，所以BC1平面ADE.又因为AE平面ADE，所以AEBC1.在ABC中，ABAC，E是BC的中点，所以AEBC.又因为BC1BCB，BC1，BC平面BCC1B1，所以AE平面BCC1B1.一、填空题1.(2019徐州二模)已知平面，直线m，n，给出下列命题：若m，n，mn，则；若，m，n，则mn；若m，n，mn，则；若，m，n，则mn.其中是真命题的是_(填序号).解析如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，CD平面ABC1D1，BC平面ADC1B1，且BCCD，但平面ABC1D1与
13、平面ADC1B1不垂直，故不正确；因为平面ABCD平面A1B1C1D1，且B1C1平面ABCD，AB平面A1B1C1D1，但AB与B1C1不平行，故不正确；正确.答案2.设a，b是平面内两条不同的直线，l是平面外的一条直线，则“la，lb”是“l”的_条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)解析若a，b是平面内两条不同的直线，l是平面外的一条直线，la，lb，ab，则l可以与平面斜交，推不出l.若l，a，b是平面内两条不同的直线，则la，lb.“la，lb”是“l”的必要不充分条件.答案必要不充分3.已知平面平面，l，点A，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下
14、列四种位置关系中，不一定成立的是_.(填序号)ABm；ACm；AB；AC.解析如图所示，ABlm；ACl，ml，ACm；ABl，AB，l，AB，只有不一定成立.答案4.(2019泰州调研)已知a，b，c是三条不同的直线，是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为_.(填序号)若ac，bc，则ab；，则；若a，b，则ab；若a，a，则.解析可以借助长方体进行判断，中的a，b也可能相交或异面；中的，可能相交，正确.答案5.在三棱锥ABCD中，若ADBC，BDAD，BCD是锐角三角形，下列一定正确的是_.(填序号)平面ABD平面ADC；平面ABD平面ABC；平面ADC平面BCD；平面ABC平面BC
15、D.解析由ADBC，BDAD，BCBDB，BC，BD平面BCD，AD平面BCD，又AD平面ADC，平面ADC平面BCD.答案6.已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l，m.给出下列命题：lm；lm；ml；lm.其中正确的命题是_.(填写所有正确命题的序号)解析，lllm，命题正确；，ll，m可平行，可相交，可异面，命题错误；m，llml与可平行，l可在内，l可与相交，命题错误；l，lm，命题正确.答案7.如图，平面与平面相交于BC，AB，CD，点ABC，点DBC，则下列叙述正确的是_(填序号).直线AD与BC是异面直线；过AD只能作一个平面与BC平行；过AD能作一个平面与BC垂直；
16、过D只能作唯一平面与BC垂直，但过D可作无数个平面与BC平行.解析由异面直线的判定定理得直线AD与BC是异面直线；在平面内仅有一条直线过点D且与BC平行，这条直线与AD确定一个平面与BC平行，即过AD只能作一个平面与BC平行；若AD与BC不垂直，则过AD的任一平面都不与BC垂直，因此错；过D只能作唯一平面与BC垂直，但过D可作无数个平面与BC平行.故正确.答案8.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，点D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF_时，CF平面B1DF.解析由题意易知，B1D平面ACC1A1，又C
17、F平面ACC1A1，所以B1DCF.要使CF平面B1DF，只需CFDF即可.令CFDF，设AFx，则A1F3ax.易知RtCAFRtFA1D，得，即，整理得x23ax2a20，解得xa或x2a.答案a或2a二、解答题9.(2019如皋市高三模拟)如图，已知四棱锥PABCD中，CD平面PAD，APAD，ABCD，CD2AB，M是PD的中点.(1)求证：AM平面PBC；(2)求证：平面PBC平面PCD.证明(1)取CP的中点N，连接BN，MN.因为M，N分别是PD，PC的中点，所以MNCD，且CD2MN.又ABCD，且CD2AB，所以MNAB，且MNAB，所以四边形ABNM是平行四边形，所以AMB
18、N，又BN平面PBC，AM平面PBC，所以AM平面PBC.(2)因为APAD，点M是PD的中点，所以AMPD，又AMBN，所以BNPD.因为CD平面PAD，AM平面PAD，所以CDAM，又AMBN，所以BNCD.因为PDCDD，PD，CD平面PCD，所以BN平面PCD，又BN平面PBC，所以平面PBC平面PCD.10.(2019苏、锡、常、镇调研)如图，在四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点.求证：(1)CE平面PAD；(2)平面EFG平面EMN.证明(1)法一如图1，取PA的中点H，连接EH，DH.图1又因为
19、E为PB的中点，所以EHAB，且EHAB.又ABCD，CDAB，所以EHCD，且EHCD.所以四边形DCEH是平行四边形.所以CEDH.又DH平面PAD，CE平面PAD，因此，CE平面PAD.法二如图2，连接CF.因为F为AB的中点，所以AFAB.图2又CDAB，所以AFCD，又AFCD，所以四边形AFCD为平行四边形.因此CFAD.又CF平面PAD，AD平面PAD，所以CF平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又EF平面PAD，PA平面PAD，所以EF平面PAD.因为CFEFF，CF平面CEF，EF平面CEF，故平面CEF平面PAD.又CE平面CEF，所以CE平面PAD
20、.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又ABPA，所以ABEF.同理可证ABFG.又EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG，因此AB平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MNDC，又ABDC，所以MNAB，所以MN平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.11.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分别是CD和PC的中点.求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.证明(1)因为平面PAD平面ABCDAD，又平面PAD平面ABCD，且PAAD，PA平面
21、PAD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以四边形ABED为平行四边形.所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，且四边形ABED为平行四边形.所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，又CD平面ABCD，所以PACD.又因为PAADA，PA，AD平面PAD，所以CD平面PAD，又PD平面PAD，从而CDPD.又E，F分别是CD和CP的中点，所以EFPD，故CDEF.又EF，BE在平面BEF内，且EFBEE，所以CD平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.高考资源网版权所有，侵权必究！