1、第二讲等差数列及其前n项和A组基础巩固一、单选题1在等差数列an中，a22，a34，则a10(D)A12B14C16D18解析由a22，a34知d2.所以a10a28d28218.故选D.2(2021贵州阶段性检测)在等差数列an中，已知a3a5a715，则该数列前9项和S9(D)A18B27C36D45解析本题考查等差数列的性质，前n项和公式在等差数列an中，a3a5a73a515，a55，所以S9999a59545.故选D.3(2021广东深圳教学质量检测)记等差数列an的前n项和为Sn.若S1095，a817，则(D)Aan5n23BSn2n2nCan4n15DSn解析本题考查等差数列基
2、本量的求解设等差数列an的公差为d，则10a145d95，a17d17，解得a14，d3，故an3n7，Sn.故选D.4周髀算经中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为(B)A13.5B15.5C17.5D19.5解析从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列an，冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，解得d1
3、，a115.5，冬至的日影子长为15.5尺，故选B.5一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是(D)AdBdC.dDd解析由题意可得即解得0Ba10C当n5时Sn最小DSn0时，n最小值为8解析a73a5，a16d3a112d，a13d，由已知得d0，a10解得n7或n0时n最小为8，故D正确，选A、D.8已知数列an是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a15a3S8，下列选项正确的有(AC)Aa100BS10最小CS7S12DS200解析根据题意，数列an是等差数列，若a15a3S8，即a15a110d8a128d，变形可得a19d，又由ana
4、1(n1)d(n10)d，则有a100，故A一定正确；不能确定a1和d的符号，不能确定S10最小，故B不正确；又由Snna19nd(n219n)，则有S7S12，故C一定正确；则S2020a1d180d190d10d，d0，S200，则D不正确三、填空题9已知数列an中，a11且(nN*)，则a10 解析由已知得(101)134，故a10.10已知等差数列an的前n项为Sn，若S43，S54，则a9 解析由题知：，解得a1，d.a9a18d8.11若等差数列an的前17项和S1751，则a5a7a9a11a13 3 解析因为S171717a951，所以a93.根据等差数列的性质知a5a13a7
5、a11，所以a5a7a9a11a13a93.12记Sn为正项等差数列an的前n项和，若a11，a3a4S7，则Sn n2n 解析设等差数列的公差为d，由题意得a3a4S777a4，所以a37，所以12d7，d3，所以Snn3n2n.故答案为：n2n.四、解答题13(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和已知S9a5.(1)若a34，求an的通项公式；(2)若a10，求使得Snan的n的取值范围解析(1)设an的公差为d.由S9a5得a14d0.由a34得a12d4.于是a18，d2.因此an的通项公式为an102n.(2)由(1)得a14d，故an(n5)d，Sn.由a10知d0，故S
6、nan等价于n211n100，解得1n10.所以n的取值范围是n|1n10，nN14(2021江苏连云港模拟)已知等差数列an为递增数列，且满足a12，aaa.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(nN*)，Sn为数列bn的前n项和，求Sn.解析(1)设等差数列an的公差为d，由题意知(22d)2(23d)2(24d)2，3d24d40，d2或d，an为递增数列，d2，故数列an的通项公式为an2n.(2)由(1)知bn，Sn.B组能力提升1(2021湖北咸宁联考)等差数列an的前n项和为Sn，若S23，S510，则an的公差为(C)ABCD解析由题意知a1a23，S510，即a1a54，
7、得3d1，d，故选C.2设Sn是等差数列an的前n项和，若S6742，S1 34812，则S2 022(C)A22B26C30D34解析由等差数列的性质知，S674，S1 348S674，S2 022S1 348成等差数列，则2(S1 348S674)S674S2 022S1 348，即2(122)2S2 02212，解得S2 02230.3(2021湖北四地七校联考)据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n(n为常数)盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯(C)A39盏B42盏C26盏D13盏解析本题考查等差数列的通项公式、前n项
8、和公式设顶层有x盏灯，则底层有(x8n)盏，故x8n13x，8n13xx12x，xn.所以x(xn)(x2n)(x3n)(x8n)126，9x(1238)n126，9x36n126，故9n36n126，解得n3，故x32，所以底层有灯13226(盏)故选C.4在等差数列an中，Sn为其前n项和若S2 0202 020，且2 000，则a1等于(D)A2 021B2 020C2 019D2 018解析S2 0202 020a12 020，得a1d1由a11 000d2 000，d2，代入得a112 0192 018，故选D.5已知数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足2Snan4(nN*)(1)求证：数列an为等差数列；(2)求数列an的通项公式解析(1)证明：当n1时，有2a1a14，即a2a130，所以a13(a11舍去)当n2时，有2Sn1an5，又2Snan4，所以两式相减得2anaa1，即a2an1a，即(an1)2a，因此an1an1或an1an1.若an1an1，则anan11.而a13，所以a22，这与数列an的各项均为正数矛盾，所以an1an1，即anan11，因此数列an为等差数列(2)由(1)知a13，数列an的公差d1，所以数列an的通项公式为an3(n1)1n2.
