1、25 等比数列的前n项和第1课时 等比数列的前n项和公式的推导及简单应用内 容 标 准学 科 素 养1.理解等比数列前n项和公式的推导过程2.掌握等比数列前n项和的公式，会用前n项和公式解决等比数列问题.提升数学运算发展逻辑推理应用数学建模01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点 等比数列前 n 项和公式阅读教材P5556，思考并完成以下问题等差数列有求和公式，对于等比数列，可用 a1 和 q 求 Sna1a2an吗？(1)若等比数列an的公比 q1，这时数列an是什么数列？其前 n 项和公式是什么？提示：常数列(2)对于等比数列an，q1
2、.Sna1a2an1ana1a1qa1q2a1qn2a1qn1，qSna1qa1q2a1q3a1qn1a1qn，后 Sn 能用 a1 和 q 表示吗？提示：Sna11qn1q.知识梳理 等比数列的前 n 项和公式 Snna1 q1.Sn 用 an、a1 和 q 怎么表示，Snna1 q1.a11qn1q q1a1anq1q q1自我检测1数列2n1的前 99 项和为()A21001 B12100C2991 D1299答案：C2在等比数列an中，q2，n5，Sn62，则 a1_.答案：2探究一 等比数列的前 n 项和公式的基本运算阅读教材 P56例 1 及 P61A 组第 1 题方法步骤：(1)
3、确定 a1 和 q.(2)利用 Sn 及 an 建立方程例 1(1)若 an32n，求 S6.解析 因为 an32n62n1，所以该等比数列的首项 a16，公比 q2，于是S6612612378.(2)已知等差数列an和等比数列bn满足 a1b11，a2a410，b2b4a5.求an的通项公式；求和：b1b3b5b2n1.解析 设an的公差为 d，bn的公比为 q.则 a2a42a310，即 a35.故 a3a12d514，即 d2.an12(n1)2n1(nN*)由知 a59，即 b2b49，则 b21q49，q23.bn是公比为 q 的等比数列，b1，b3，b5，b2n1 构成首项为 1，
4、公比为 q23 的等比数列，b1b3b5b2n1113n133n12(nN*)方法技巧(1)应用等比数列的前 n 项和公式时，首先要对公比 q1 或 q1 进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论(2)当 q1 时，等比数列是常数列，所以 Snna1；当 q1 时，等比数列的前 n 项和Sn 有两个公式当已知 a1，q 与 n 时，用 Sna11qn1q比较方便；当已知 a1，q 与 an时，用 Sna1anq1q 比较方便跟踪探究 1.求和：Sn1aa2an1.解析：(1)当 a0 时，数列 1，a，a2，an1 不是等比数列，Sn1.(2)当 a1 时，Snna1，即 Snn.(3)当
5、a0 且 a1 时，Sn1an1a.若令 a0，可得 Sn1，满足关系式 Sn1an1a.故 Snna1，1an1a a1.例 2 在等比数列an中，(1)若 Sn189，q2，an96，求 a1和 n；(2)若 a1a310，a4a654，求 a4 和 S5；(3)若 q2，S41，求 S8.解析(1)由 Sna11qn1q，ana1qn1 以及已知条件得189a112n12，96a12n1，a12n192，2n192a1.189a1(2n1)a1(192a1 1)，a13.又2n1963 32，n6.(2)设公比为 q，由通项公式及已知条件得 a1a1q210，a1q3a1q554，即a1
6、1q210，a1q31q254.a10,1q20，得 q318，即 q12，a18.a4a1q381231，S5a11q51q81125112312.(3)法一：q2，S41，a1124121，即 a1 115，S8a11q81q1151281217.法二：S4a11q41q1，且 q2，S8a11q81qa11q41q(1q4)S4(1q4)1(124)17.方法技巧(1)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时用整体代换的思想(2)在等比数列中，对于 a1，q，n，an，Sn 五个量，若已知其中三个量就可求出其余两量，常常列方程组来解答问题跟踪探究
7、 2.已知等比数列an的公比 q2，前 n 项和为 Sn，则S3a2()A3 B4C.72D.132解析：已知等比数列an的首项为 a1，则S3a2a112312a12 72.答案：C3若首项为 1 的等比数列an(nN*)的前 3 项和为 3，则公比 q 为()A2 B1C2 或 1 D2 或1解析：当 q1 时，S33a13，符合题意；当 q1 时，S3a11q31q1qq23，解得 q2.答案：C探究二 等比数列前 n 项和的实际应用阅读教材 P56例 2方法步骤：(1)判断等比数列(2)写明已知条件(3)建立 Sn 的关系式求 n.例 3 某市决定将燃油型公交车，尽快换为电力型公交车该
8、市共有 1 万辆燃油型公交车，有关部门计划于 2019 年投入 128 辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加 50%.(1)该市在 2025 年应该投入电力型公交车多少辆？(2)到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的13？解析(1)每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列an，其中 a1128，q1.5，2025 年应投入电力型公交车为 a7a1q61281.561 458(辆)(2)设an的前 n 项和为 Sn，则 Sn12811.5n11.5256(1.5n1)，由 Sn(10 000Sn)13，即 Sn5 000，解得 n7.到 2026 年底电力型公交车
9、的数量开始超过该市公交车总量的13.方法技巧 应用数列知识解决实际问题的步骤(1)根据实际问题提取数据；(2)建立数据关系，对提取的数据进行分析、归纳，建立数列的通项公式或递推关系；(3)检验关系是否符合实际，符合实际可以使用，不符合则要修改关系；(4)利用合理的结论对实际问题展开讨论跟踪探究 4.一个热气球在第一分钟上升了 25 m 的高度，在以后的每一分钟内，它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的 80%.这个热气球上升的高度能超过 125 m 吗？解析：用 an 表示热气球在第 n 分钟内上升的高度，由题意，得 an145an，因此，数列an是首项 a125，公比 q45的等比数列热气
10、球在前 n 分钟内上升的总高度Sna1a2ana11qn1q25145n145125145n 125，即这个热气球上升的高度不可能超过 125 m.课后小结(1)等比数列前 n 项和的三点说明求和公式中是 qn，通项公式中是 qn1，不要混淆应用求和公式时注意公比 q 的取值，必要时应讨论 q1 和 q1 的情况利用方程思想在 a1，q，n，Sn 和 a1，an，q，Sn 中，各已知三个量可求第四个量(2)等比数列前 n 项和的推导方法错位相减法：即本节的课前探究的方法定义法：由等比数列的定义，得a2a1a3a2 anan1q.根据比例的性质，得a2a3ana1a2an1Sna1Snanq(n
11、2)，故(1q)Sna1anq.所得结论同上素养培优等比数列前 n 项和公式推导方法的拓展应用错位相减法是一种重要的数列求和方法，等比数列前 n 项和公式的推导用的就是错位相减法当一个数列由等差数列与等比数列对应项的乘积构成时，可使用此法求数列的前 n 项和设数列an为等差数列，公差为 d；数列bn为等比数列，公比为 q(q1)；数列anbn的前 n 项和为 Tn.则 Tn 的求解步骤如下：(1)列出和式 Tna1b1a2b2a3b3anbn.(2)两边同乘以公比 q：qTna1b1qa2b2qa3b3qanbnqa1b2a2b3a3b4anbn1.(3)两式相减(错位相减)并求和：(1q)T
12、na1b1(a2b2a1b2)(a3b3a2b3)(anbnan1bn)anbn1a1b1(a2a1)b2(a3a2)b3(anan1)bnanbn1a1b1d(b2b3bn)anbn1a1b1db21qn11qanbn1.(4)两边同除以(1q)即得数列anbn的前 n 项和 Tn.1求数列 1,3a,5a2,7a3，(2n1)an1，的前 n 项和 Sn，其中 a0.解析：当 a1 时，数列变为 1,3,5,7，(2n1)，则 Snn12n12n2.当 a1 时，Sn13a5a27a3(2n1)an1，aSna3a25a37a4(2n1)an.，得 SnaSn12a2a22a32an1(2
13、n1)an，即(1a)Sn1(2n1)an2(aa2a3an1)1(2n1)an2aan1a1a1(2n1)an2aan1a.1a0，Sn12n1an1a2aan1a2.2已知数列an是等差数列，且 a12，a1a2a312，(1)求数列an的通项公式；(2)令 bnan3n，求数列bn的前 n 项和 Sn.解析：(1)设数列an的公差为 d，则a1a2a33a13d12.又 a12，得 d2，an2n.(2)由 bnan3n2n3n，得Sn23432(2n2)3n12n3n，3Sn232433(2n2)3n2n3n1.得2Sn2(332333n)2n3n13(3n1)2n3n1(12n)3n13，所以 Sn2n123n132.04 课时 跟踪训练