1、规范练4(时间:45分钟,满分:46分)1.(10分)(2022福建福州格致中学模拟)在Tn+1Tn=(n+2)ann,Sn=n+23an这两个条件中任选一个补充在下面的问题中,并解答下列题目.设首项为2的数列an的前n项和为Sn,前n项积为Tn,且.(1)求数列an的通项公式.(2)在数列an中是否存在连续三项构成等比数列?若存在,请举例说明;若不存在,请说明理由.2.(12分)(2022广东惠州一模)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,1-cos 2B=cos(A-C)+cos B,且AD=DC.(1)求证:b2=ac;(2)当BD=b时,求cosABC.3.(12分)在疫
2、情防控常态化的背景下,某政府各部门在保安全、保稳定的前提下有序恢复生产、生活和工作秩序.五一期间,文旅部门在落实防控举措的同时,推出了多款套票文旅产品,得到消费者的积极回应.下面是文旅部门在某地区推出六款不同价位的旅游套票,每款的套票价格x(单位:元)与购买人数y(单位:万人)的数据如下表:旅游类别城市展馆科技游乡村特色游齐鲁红色游登山套票游园套票观海套票套票价格x/元394958677786购买数量y/万人16.718.720.622.524.125.6在分析数据、描点绘图中,发现散点(vi,wi)(1i6)集中在一条直线附近,其中vi=ln xi,wi=ln yi.(1)根据所给数据,建立
3、y关于x的经验回归方程;(2)按照文旅部门的指标测定,当购买数量y与套票价格x的比在区间e9,e7上时,该套票受消费者的欢迎程度更高,可以被认定为“热门套票”,现有三位同学从以上六款旅游套票中,购买不同的三款各自旅游.记三人中购买“热门套票”的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.附:可能用到的数据:i=16viwi75.3,i=16vi24.6,i=16wi18.3,i=16vi2101.4.对于一组数据(v1,w1),(v2,w2),(vn,wn),在经验回归方程w=bv+a中,b=i=1nviwi-nvwi=1nvi2-nv2,a=w-bv.4.(12分)(2022辽宁东北育才学校二
4、模)如图,ABC是边长为6的正三角形,点E,F,N分别在边AB,AC,BC上,且AE=AF=BN=4,M为BC边的中点,AM交EF于点O,沿EF将AEF折到DEF的位置,使DM=15.(1)证明:平面DEF平面BEFC.(2)在线段DM上是否存在点P,使二面角P-EN-B为60?若存在,求出DPPM的值;若不存在,请说明理由.规范练41.解 (1)选:Tn+1Tn=(n+2)ann,即an+1=(n+2)ann,an+1n+2=ann,即an+1(n+2)(n+1)=an(n+1)n,数列an(n+1)n是常数列,an(n+1)n=a121=1,故an=n(n+1).选:因为3Sn=(n+2)
5、an,所以当n2时,3Sn-1=(n+1)an-1,两式相减得3an=(n+2)an-(n+1)an-1,即(n-1)an=(n+1)an-1,易知an0,则anan-1=n+1n-1,n2,所以an=n+1n-1nn-24231a1=n(n+1),n2.当n=1时,a1=2也满足,所以an=n(n+1),nN*.(2)不存在.理由如下:假设在数列中存在连续三项an,an+1,an+2成等比数列,那么有an+12=anan+2成立,即(n+1)(n+2)2=n(n+1)(n+2)(n+3)成立,即(n+1)(n+2)=n(n+3)成立,即2=0成立,此等式显然不成立,故原假设不成立,即不存在连
6、续三项an,an+1,an+2成等比数列.2.(1)证明 因为1-cos 2B=cos(A-C)+cos B,所以2sin2B=cos(A-C)-cos(A+C),所以2sin2B=cos Acos C+sin Asin C-cos Acos C+sin Asin C,所以sin2B=sin Asin C,结合正弦定理可得b2=ac.(2)解 由AD=DC,知D是边AC的中点,则BD=12(BA+BC),两边平方整理得4BD2=BA2+BC2+2BABC,即4b2=c2+a2+2accosABC,根据余弦定理b2=c2+a2-2accosABC,两式相加得a2+c2=52b2,故cosABC=
7、a2+c2-b22ac=52b2-b22b2=34.3.解 (1)散点(vi,wi)(1i6)集中在一条直线附近,可设经验回归方程为w=bv+a.v=16i=16vi4.1,w=16i=16wi3.05,则b=i=16viwi-6vwi=16vi2-6v275.3-64.13.05101.4-64.12=12,a=w-bv=3.05-124.1=1,变量w关于v的经验回归方程为w=12v+1.vi=ln xi,wi=ln yi,lny=12ln x+1,y=ex12.综上,y关于x的经验回归方程为y=ex12.(2)由yx=ex12x=ex12e9,e7,解得49x81,乡村特色游、齐鲁红色游
8、、登山套票、游园套票为“热门套票”,则三人中购买“热门套票”的人数X服从超几何分布,X的可能取值为1,2,3,P(X=1)=C41C22C63=15,P(X=2)=C42C21C63=35,P(X=3)=C43C63=15,X的分布列为X123P153515数学期望E(X)=115+235+315=2.4.(1)证明 在DOM中,易得DO=23,OM=3,DM=15,由DM2=DO2+OM2,得DOOM.又AE=AF=4,AB=AC=6,EFBC.又M为BC的中点,AMBC,DOEF.EFOM=O,EF,OM平面EBCF,DO平面EBCF.又DO平面DEF,平面DEF平面BEFC.(2)解 存
9、在点P满足题意,此时DPPM=6.由(1)知DO平面EBCF,EFOM,以O为原点,以OE,OM,OD为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则D(0,0,23),M(0,3,0),E(2,0,0),N(-1,3,0),DM=(0,3,-23),ED=(-2,0,23),EN=(-3,3,0).由(1)得平面ENB的法向量为n=(0,0,1),设平面ENP的法向量为m=(x,y,z),设DP=DM(01),则DP=(0,3,-23),EP=ED+DP=(-2,3,23-23),mEN=-3x+3y=0,mEP=-2x+3y+(23-23)z=0,取x=1,则平面ENP的一个法向量m=1,3,2-323-23.二面角P-EN-B为60,12=2-323-231+3+2-323-232,解得=2(舍去)或=67.此时DP=67DM,DPPM=6.