1、第 8 讲 解三角形 高考年份 全国卷 全国卷 全国卷 2020 解三角形及三角形的周长的最值T17 2019 三角恒等变换与解三角形T17 解三角形及三角形的面积T18 2018 正余弦定理的应用T17 1.2019全国卷ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.(1)求 A;(2)若2a+b=2c,求 sinC.2.2018全国卷在平面四边形 ABCD 中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求 cosADB;(2)若 DC=22,求 BC.3.2020浙江卷在锐角ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为
2、 a,b,c.已知 2bsinA-3a=0.(1)求角 B 的大小;(2)求 cosA+cosB+cosC 的取值范围.三角形基本量的求解 12020全国卷ABC 中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.(1)求 A;(2)若 BC=3,求ABC 周长的最大值.2 已知ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 cosC-33 sinC=ba.(1)求角 A 的大小;(2)若 P 是线段 CA 延长线上的一点,且 PA=3,AC=2,C=6,求 PB.【规律提炼】在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,若式
3、子中含有角的余弦或边的二次式,则考虑用余弦定理;若式子中含有角的正弦或边的一次式,则考虑用正弦定理.测题 2020全国新高考卷在ac=3,csinA=3,c=3b 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求 c 的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在ABC,它的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 sinA=3sinB,C=6,?注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.与三角形面积有关的问题 3 已知ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 13acosA-5ccosB=5bcosC.(1)求 sinA;(2)若 a=27
4、且ABC 的面积为 6,求ABC 的周长.【规律提炼】正、余弦定理都揭示了三角形边角之间的数量关系,而三角形的面积与三角形的边、角都有关系,所以在解决三角形的面积问题时,正、余弦定理都是重要的工具.三角形面积的最值问题主要有两种解决方法:一是将面积表示为边的形式,利用基本不等式求得最大值或最小值;二是将面积用三角形某一个角的三角函数表示,结合角的范围确定三角形面积的最值.测题 1.在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 4c=b+4acosB.(1)求 sinA;(2)若 a=4,且 b+c=6,求ABC 的面积.2.已知ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,
5、b,c,sin(A+C)=23sin2B2.(1)求角 B 的大小;(2)若 a+c=6,ABC 的面积为3,求 b.以平面几何为载体的解三角形问题 4 如图 M2-8-1,在ABC 中,AC=6,D 为 AB 边上一点,CD=AD=2,且 cosBCD=64.(1)求 sinB;(2)求ABC 的面积.图 M2-8-1 5 如图 M2-8-2,在平面四边形 ABCD 中,BC=2,CD=23,且 AB=BD=DA.(1)若CDB=6,求 tanABC 的值;(2)求四边形 ABCD 面积的最大值.图 M2-8-2 【规律提炼】以平面几何为载体的问题,主要注意以下几方面:一是充分用好平面几何图
6、形的性质;二是出现多个三角形时从条件较多的三角形突破求解;三是四边形问题要转化为三角形问题去求解;四是善于用好三角形中的不等关系 如大边对大角,最大角一定大于等于3,从而可以确定角或边的范围.测题 已知ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,C=120.(1)若 a=2b,求 tanA 的值;(2)若ACB 的平分线交 AB 于点 D,且 CD=1,求ABC 的面积的最小值.第 8 讲 解三角形 真知真题扫描 1.解:(1)由已知得 sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得 b2+c2-a2=bc.由余弦定理得 cosA=2+2-22=12.因为 0
7、A180,所以 A=60.(2)由(1)知 B=120-C,由题设及正弦定理得2sinA+sin(120-C)=2sinC,即62+32 cosC+12sinC=2sinC,可得 cos(C+60)=-22.由于 0C120,所以 sin(C+60)=22,故 sinC=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos60-cos(C+60)sin60=6+24.2.解:(1)在ABD 中,由正弦定理得 sin=sin.由题设知,5sin45=2sin,所以 sinADB=25.由题设知,ADB90,所以 cosADB=1-225=235.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=
8、25.在BCD 中,由余弦定理得 BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=25,所以 BC=5.3.解:(1)由正弦定理得 2sinBsinA=3sinA,故 sinB=32,由题意得 B=3.(2)由 A+B+C=得 C=23-A,由ABC 是锐角三角形得 A6,2.由 cosC=cos23-A=-12cosA+32 sinA 得 cosA+cosB+cosC=32 sinA+12cosA+12=sin A+6+123+12,32.故 cosA+cosB+cosC 的取值范围是3+12,32.考点考法探究 解答 1 例 1 解:(1)由正弦定理和已知条件得 B
9、C2-AC2-AB2=ACAB.由余弦定理得 BC2=AC2+AB2-2ACABcosA.由得 cosA=-12.因为 0A,所以 A=23.(2)由正弦定理及(1)得 sin=sin=sin=23,从而 AC=23sinB,AB=23sin(-A-B)=3cosB-3sinB,故 BC+AC+AB=3+3sinB+3cosB=3+23sin(+3).又 0B0,所以 tanA=-3,又 A(0,),所以 A=23.(2)由(1)可知,BAC=23,又 C=6,则ABC=6,所以 AB=AC=2.在PAB 中,PAB=3,由余弦定理,得 PB2=PA2+AB2-2PAABcosPAB=9+4-
10、6=7,所以 PB=7.【自测题】解:方案一:选条件.由 C=6和余弦定理得2+2-22=32.由 sinA=3sinB 及正弦定理得 a=3b.于是32+2-2232=32,由此可得 b=c.由ac=3,解得 a=3,b=c=1.因此,选条件时问题中的三角形存在,此时 c=1.方案二:选条件.由 C=6和余弦定理得2+2-22=32.由 sinA=3sinB 及正弦定理得 a=3b.于是32+2-2232=32,由此可得 b=c,B=C=6,A=23.由csinA=3,所以 c=b=23,a=6.因此,选条件时问题中的三角形存在,此时 c=23.方案三:选条件.由 C=6和余弦定理得2+2-
11、22=32.由 sinA=3sinB 及正弦定理得 a=3b.于是32+2-2232=32,由此可得 b=c.由c=3b,与 b=c 矛盾.因此,选条件时问题中的三角形不存在.解答 2 例3 解:(1)因为13acosA-5ccosB=5bcosC,所以由正弦定理得13sinAcosA=5sinBcosC+5sinCcosB,即 13sinAcosA=5sin(B+C)=5sinA.因为 0A0,所以 cosA=513,所以 sinA=1-cos2=1213.(2)因为 SABC=12bcsinA=613bc=6,所以 bc=13.由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-1
12、0=(b+c)2-2bc-10=(b+c)2-36,即 28=(b+c)2-36,解得 b+c=8,所以ABC 的周长为 8+27.【自测题】1.解:(1)因为 4c=b+4acosB,所以由正弦定理得 4sinC=sinB+4sinAcosB,所以 4sin(A+B)=sinB+4sinAcosB,即 4cosAsinB=sinB.因为 B(0,),所以 sinB0,所以 cosA=14,所以 sinA=154.(2)由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc(1+cosA),因为 a=4,b+c=6,所以 36-52bc=16,所以 bc=8,故ABC 的面积为
13、12bcsinA=128154=15.2.解:(1)在ABC 中,sin(A+C)=23sin22,sinB=23sin22,即 2sin2cos2=23sin22,0B,022,sin20,tan2=33,2=6,B=3.(2)由ABC 的面积为3,得12acsinB=3,ac=4,又 a+c=6,由余弦定理得 b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-3ac=24,b=26.解答 3 例 4 解:(1)在ADC 中,由余弦定理得 cosADC=2+2-22=22+22-(6)2222=14,所以 sinADC=1-cos2=1-(14)2=154.因为 cosBCD=64,BCD 是
14、BCD 的内角,所以 sinBCD=1-cos2=1-(64)2=104,所以 sinB=sin(ADC-BCD)=sinADCcosBCD-cosADCsinBCD=154 64-14104=108.(2)在BCD 中,由正弦定理得sin=sin=sin,所以 BD=sinsin=2104108=4,BC=sinsin=sinsin=2154108=26,所以 AB=AD+BD=6,所以 SABC=12ABBCsinB=12626108=3152.例 5 解:(1)在BCD 中,由正弦定理得sin=sin,sinCBD=23sin62=32.0CBD,CBD=3或CBD=23.当CBD=23
15、 时,A,B,C 三点共线,矛盾,CBD=3,tanABC=tan(ABD+CBD)=tan3+3=tan23=-3.(2)设BCD=,(0,),在BCD 中,由余弦定理得 BD2=BC2+CD2-2BCCDcos=22+(23)2-2223cos=16-83cos,S 四边形 ABCD=SBCD+SBAD=12BCCDsin+12BABDsin3=43sin-3+43,(0,),当-3=2,即=56 时,四边形 ABCD 的面积取得最大值,最大值为 83.【自测题】解:(1)方法一:由 a=2b 及正弦定理知 sinA=2sinB,则 sinA=2sin(60-A),即 sinA=3cosA-sinA,得 tanA=32.方法二:c2=a2+b2-2abcosC=4b2+b2-22bb-12=7b2,c=7b,则 cosA=2+2-22=2+72-4227=27.A(0,180),sinA=1-cos2=1-47=37,tanA=sincos=32.(2)由ACB 的平分线交 AB 于点 D,得 SACD+SBCD=SABC,12bsin60+12asin60=12absin120,则 a+b=ab.由 a+b=ab2,得 ab4,当且仅当 a=b 时等号成立,ABC 的面积的最小值为1232 4=3.