1、考点02：常用逻辑用语一、考纲要求内容要求ABC命题的四种形式充分条件、必要条件、充要条件简单的逻辑关键词全称量词与存在量词了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。理解充分条件、必要条件、充分条件的意义，会判断充分条件、必要条件、充要条件。了解或、且、非的含义了解全称量词与存在量词的意义，能准确地对一个量词的命题进行否定二、近五年高考分析2009年2015年2016年2017年2018年2019年考查了命题以及命题的条件与圆锥曲线结合的恒成立问题有函数结合的恒成立问题与数列结合的恒成立问题与数列结合的恒成立问题与数列结合的恒成立问题从近几年江苏高考可以看出，高考对本章的考
2、查主要体现在函数的恒成立和存在问题，这也是与函数知识点融合的热点问题，这就要引起考生的重视，另外一方面也要重点复习含有量词的否定等含有量词的简单问题以及两个命题的条件的问题。三、考点总结本节内容是高考的要求掌握的内容，本节内容在江苏高考中很少直接考查，往往是以本节内容的知识点为依托考查函数、立体几何、解析几何等有关内容。以两种形式考查，一是简单的填空题形式出现，如四种命题、含有量词的否定，集合的充分条件、必要条件、充要条件的判断。而是中档题或者解答题中的考查，主要以存在量词和全称量词在函数中的考查，主要是研究函数的值域的关系，恒成立问题，存在问题等形式出现。在高考复习中要特别注意以下几点：、判
3、断命题时要分清命题的条件与结论，进而根据命题的关系写出其它命题。、判断命题之间P是q的什么条件，要从两个方面入手：一是P能否推出q，另一方面是q能否推出p。若不能推出可以举出一个反例即可，否则就要进行简单的证明。对于证明命题的充要条件要从充分性和必要性两个方面加以证明。、对于含义存在于任意的问题，要充分理解题意，分清是函数中的值域问题还是恒成立问题或者是最值问题或者构造函数问题。四、五年真题1、(2019年江苏试卷).定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”.（1）已知等比数列an满足：，求证:数列an为“M数列”；（2）已知数列bn满足: ，其中Sn为数列bn的前n项和求数列bn的通项
4、公式；设m为正整数，若存在“M数列”cn，对任意正整数k，当km时，都有成立，求m的最大值【详解】（1）设等比数列an的公比为q，所以a10，q0.由，得，解得因此数列为“M数列”.（2）因为，所以由得，则.由，得，当时，由，得，整理得所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列bn的通项公式为bn=n.由知，bk=k，.因为数列cn为“M数列”，设公比为q，所以c1=1，q0.因为ckbkck+1，所以，其中k=1，2，3，m.当k=1时，有q1；当k=2，3，m时，有设f（x）=，则令，得x=e.列表如下：xe(e，+)+0f（x）极大值因为，所以取，当k=1，2，3，4，5时，即
5、，经检验知也成立因此所求m的最大值不小于5若m6，分别取k=3，6，得3q3，且q56，从而q15243，且q15216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为52、(2018年江苏卷) 设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列（1）设，若对均成立，求d的取值范围；（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）解析：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结
6、合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.详解：解：（1）由条件知：因为对n=1，2，3，4均成立，即对n=1，2，3，4均成立，即11，1d3，32d5，73d9，得因此，d的取值范围为（2）由条件知：若存在d，使得（n=2，3，m+1）成立，即，即当时，d满足因为，则，从而，对均成立因此，取d=0时，对均成立下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）当时，当时，有，从而因此，当时，数列单调递增，故数列的最大值为设，当x0时，所以单调递减，从而0，b0，a1，b1)(1) 设a2，b.求方程f(x)2的根；若对于任意xR，不等式f(2x)mf(x)6恒成立，求实数m的最大值；【解析
7、】 第1问的第2小题，通过将变量m分离出来，将问题转化为求分离出的函数的最小值则可第2问，注意到g(0)0，从而得0是函数g(x)的一个零点，为此，只需说明函数g(0)为函数g(x)的最大值或者最小值，进而说明它的某个极值点与0相等，由此来求出ab的值规范解答 (1) 因为a2，b，所以f(x)2x2x.方程f(x)2，即2x2x2，亦即(2x)222x10，所以(2x1)20，于是2x1，解得x0.由条件知f(2x)22x22x(2x2x)22(f(x)22.因为f(2x)mf(x)6对于xR恒成立，且f(x)0，所以对于一切实数R恒成立。而所以m4，故实数m的最大值为4.5、（2015年江
8、苏卷） 在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点若点P到直线xy10的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_【答案】 【解析】思路分析1 设出点P的坐标，求出点P到直线的距离d，从而将问题转化为求距离d的取值范围解法1 设点P(x，)(x1)，不妨以点P(x，)为例，则点P到直线xy10的距离d，令ux，它在区间1，)上单调递减，所以u0，且当x时，u0，所以d，故cmax.思路分析2 注意到双曲线的图像与它的渐近线无限接近，而直线xy10与渐近线xy0平行，因而，点P到直线xy10的距离大于两条平行线xy10与xy0的距离解法2 双曲线x2y21的渐近线方程为xy0，而
9、直线xy10与xy0平行，它们之间的距离为d，又当x时，点P到渐近线xy0的距离无限接近于0，故点P到xy10的距离d，从而cmax.五、三年模拟题型一 全称量词与存在问题1、(2018常州期末） 命题“x0，1，x210”是_命题(选填“真”或“假”)【答案】 真【解析】取x1，则x210，所以为真命题2、(2017苏州暑假测试） 命题“x01，x2”的否定是_答案. x1，x22 【解析】根据存在性命题的否定规则得“x01，x2”的否定是“x1，x22”3、(2017无锡期末）命题“x2，x24”的否定是“_，x24”【答案】x2解析：因为命题“x2，x24”的否定是“x2，x24”4、(
10、2016泰州期末） 若命题“存在xR，ax24xa0”为假命题，则实数a的取值范围是_【答案】 (2，)【解析】“存在xR，ax24xa0”为假命题，则其否定“对任意xR，ax24xa0”为真命题，当a0,4x0不恒成立，故不成立；当a0时，解得a2，所以实数a的取值范围是(2，)易错警示 转为真命题来处理，二次项系数为参数的不等式恒成立问题，要注意讨论二次项系数为0时能否成立5、(2016南通、扬州、淮安、连云港二调） 命题“xR,2x0”的否定是_【答案】xR,2x0【解析】根据全称命题的否定法则可得 6、(2016扬州期末） 已知命题p：“xR，x22x30”，则命题p的否定为_【答案】
11、xR，x22x30【解析】根据全称命题的否定法则可得 题型二：充分必要条件1、(2018盐城三模）“”是“”成立的 条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”）【答案】充分不必要 【解析】根据正弦函数的图象，由可得，或，故“”是“”成立的充分不必要条件.【规律总结】因为“小范围”可以推出“大范围”，故“小范围”是“大范围”的充分条件，“大范围”是“大范围”的必要条件.2、(2017南京学情调研）已知直线l，m，平面，m，则“lm”是“l”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)【答案】. 必要不充分【解析】根据直线与平面垂直的定义：
12、若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直现在是直线与平面内给定的一条直线垂直，而不是任意一条，故由“lm”推不出“l”，但是由定义知“l”可推出“lm”，故填必要不充分3、(2017南京、盐城一模） 设向量a(sin2，cos)，b(cos，1)，则“ab”是“tan”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)【答案】必要不充分【解析】若ab，则cos2sin20，即cos22sincos0.得cos0或tan.所以“cos0或tan”是“tan”的必要不充分条件，即“ab”是“tan”的必要不充分条件4、(2017南京三模）记不等式x2x6
13、0的解集为集合A，函数ylg(xa)的定义域为集合B若“xA”是“xB”的充分条件，则实数a的取值范围为 【答案】 【解析】由得，即，又由得，即，因为“”是“”的充分条件，所以，故。题型三 存在于任意问题1、(2019泰州期末） 已知函数f(x)若存在x00，使得f(x0)0，则实数a的取值范围是_【答案】 1，0) 本题是一个分段函数的形式，有以下两种处理的思路：思路1.对两段函数分别研究图像和性质，由于研究的是x0的情形，故分a0和a0两种情况讨论，当a0时，结论易得；当a0时，由于xa时，f(x)单调递增，而f(a)a3a，故要对f(a)a3a的正负分三种情况讨论，最后总结，问题得以解决
14、思路2.考虑能否合并成一个含绝对值的函数，本题f(x)x33|xa|a，从而问题转化为yx3和y3|xa|a的图像在y轴左侧有交点的问题，通过函数的图像，不难得到结论解法1(分类讨论法) 当a0时，只考虑x0，f(x)在(，a)上单调递增，而f(0)4a0，显然不存在x00，使得f(x0)0，所以a0不成立当a0时，当xa时，f(x)在(，a)上单调递增，且f(x)0，即1a0时，则必存在x0a，使得f(x0)0，结论成立；当a1时，f(1)0，结论成立；当a1时，f(x)在 a，1)上单调递增，在(1，0)上递减，而f(1)2a20，结论不成立综上实数a的取值范围是1，0)解法2(图像法)
15、函数f(x)x33|xa|a，由题意可得yx3与y3|xa|a在y轴左侧有交点y3|xa|a的顶点为(a，a)，在直线yx上，由解得x1.又yx3在x1处的切线率斜恰为3，画出图像如图所示，数形结合知a1，0)2、(2019苏州期末）设函数f(x)，若对任意x1(，0)，总存在x2使得，则实数a的范围 【答案】 考察函数f(x)在区间(，0)和上的最小值或下确界特别注意到，当a0时，当x时，ax20.当a0时，f(x)在(，0)上的值域为(0，)，在，满足要求；当a0恒成立，所以不可能有f(x2)f(x1)；当0时，设g(x)ax2，则g(x)2ax.易得g(x)在上递增，在上递减，在(2,)
16、单调递减所以所以综上：3、(2019苏锡常镇调研）已知e为自然对数的底数，函数的图像恒在直线上方，则实数a的取值范围为 【答案】.思路分析：根据条件，将问题转化为不等式的恒成立问题处理，通过分类讨论，合理的代数变形，将问题进一步转化为熟悉的问题，结合图像，利用导数刻画函数的图像及性质进行求解.解法1：由题意得不等式在上恒成立，即恒成立，根据图像可得当时不等式不恒成立；当时，不等式恒成立；当时，令，设函数与图像的公切线，切点，且因为，所以的斜率，因为点在函数的图像上，所以，由可得（舍），则，所以解法2：同解法1得，当时，因为，所以不等式恒成立；当时，不等式等价于，令，则，因为，所以，故函数在上递
17、减，设函数的图像在处的切线经过点，则切线斜率，化简得，即，解得（舍），所以，结合图像可得解后反思：本题条件函数的图像恒在函数的图像的上方，可以将问题等价转化为不等式恒成立问题处理.如果函数的最值求解比较困难，则需将问题进一步转化为更熟悉的问题来处理.本题解法1通过对参数分类讨论，将问题转化为两个熟悉函数的问题，通过对两函数图像公切线这一临界情况的讨论使得问题得以解决.解法2则对变量进行分类讨论，通过代数变形，将问题转化为直线与函数的图像的位置关系进行处理.4、(2019镇江期末）设数列an是各项均为正数的等比数列，a12，a2a464.数列bn满足：对任意的正整数n，都有a1b1a2b2anb
18、n(n1)2n12.(1) 分别求数列an与bn的通项公式(2) 若不等式0)，因为a12，a2a4a1qa1q364，解得q2，则an2n.(1分)当n1时，a1b12，则b11；(2分)当n2时，a1b1a2b2anbn(n1)2n12，a1b1a2b2an1bn1(n2)2n2，得anbnn2n，则bnn.综上，bnn.(4分)(2) 不等式对一切正整数n都成立，即0，当0时，不等式显然成立(5分)当0时，不等式等价于.设f(n)，则f(2)f(3)f(n)，所以f(n)maxf(1)，故，则0.综上，.(8分)(注意：如果考生直接分离19sinBsinC对任意ABC都成立，则实数k的最
19、小值为_【答案】 100本题首先用正弦定理将三角函数转化为边，然后再利用三角形中的边的不等关系，消元后转化为二元问题研究二元问题的最值问题，可以用基本不等式来处理解法1(函数的最值) 因为ksin2BsinAsinC19sinBsinC，所以由正弦定理可得kb2ac19bc，即k.因为ABC为任意三角形，所以a|bc|，即当01时，20100，即的最大值为100，所以k100，即实数k的最小值为100.解法2(基本不等式) 因为ksin2BsinAsinC19sinBsinC，所以由正弦定理可得kb2ac19bc，即k.又.因为cab，所以1，即100(要求最大值，19至少大于0)当且仅当11
20、9，即9时取等号8、(2018苏州期末）已知函数f(x)其中常数aR.(1) 当a2时，求函数f(x)的单调区间；(2) 若方程f(x)f(x)ex3在区间(0，)上有实数解，求实数a的取值范围；(3) 若存在实数m，n0，2，且|mn|1，使得f(m)f(n)，求证：1e.【解析】(1) 先分段讨论，再整体说明单调区间是否可合并(关键是图像在x0处怎样跳跃)(2) 转化为ax2x在(0，)上有实数解，即求函数g(x)x2x在(0，)上的值域(3) 首先缩小a的范围为1ae2，在此基础上考察f(x)在0，1，2，m，n处的函数值的大小关系规范解答 (1) 当a2时，f(x)当x0时，f(x)3
21、x22x0，所以f(x)的单调递减区间是(，0)和0，ln2，单调递增区间是ln2，)(5分)(2) 当x0时，f(x)exax，此时x0，f(x)(x)3(x)2x3x2.所以可化为ax2x在区间(0，)上有实数解(6分)记g(x)x2x，x(0，)，则g(x)2x1.(7分)可得g(x)在(0，1上递减，在1，)上递增，且g(1)5，当x时，g(x).(9分)所以g(x)的值域是5，)，即实数a的取值范围是5，)(10分)(3) 当x0，2时，f(x)exax，有f(x)exa.若a1或ae2，则f(x)在0，2上是单调函数，不合题意(11分)所以1ae2，此时可得f(x)在0，lna上递
22、减，在lna，2上递增不妨设0mlnaf(lna)，且f(lna)f(n)f(2)由m，n0，2，nm1，可得0m1n2.(12分)因为f(m)f(n)，所以得(14分)即e1ae2e，所以1e.(16分) 第(1)题中，若函数f(x)改为f(x)则函数f(x)的“两个”递减区间(，0)和0，ln2应合并为一个递减区间(，ln2，因为函数图像在x0处(从左往右)向下跳跃而原题中函数图像在x0处(从左往右)向上跳跃，所以不能合并9、(2018无锡期末）已知函数f(x)ex(3x2)，g(x)a(x2)，其中a，xR.(1) 求过点(2，0)和函数yf(x)图像相切的直线方程；(2) 若对任意xR
23、，有f(x)g(x)恒成立，求a的取值范围；(3) 若存在唯一的整数x0，使得f(x0)g(x0)，求a的取值范围 (1)利用导数的几何意义求切线的方程，根据斜率建立方程即可(2)不等式恒成立问题处理的方法有两种：一种是分离参变，转化为相应函数的值域(最值)问题解决；另一种是转化为含参函数的值域问题，通过分类讨论解决这里可以采取第一种方法，只是分离参变时要注意对x2的符号进行分类讨论(3)在第(2)小问的基础上，分离参变，转化为存在有限整数自变量满足条件的问题利用导数研究函数F(x)的性质，找到相关的整数自变量，求得对应的函数值是解决本问题的关键规范解答 (1) 设切点为(x0，y0)，f(x
24、)ex(3x1)，则切线斜率为ex0(3x01)，所以切线方程为yy0ex0(3x01)(xx0)，因为切线过点(2，0)，所以ex0(3x02)ex0(3x01)(2x0)，化简得3x8x00，解得x00或x0，(3分)当x00时，切线方程为yx2，(4分)当x0时，切线方程为y9ex18e.(5分)(2) 由题意，对任意xR，有ex(3x2)a(x2)恒成立，当x(，2)时，a，即a.令F(x)，则F(x)，令F(x)0，得x0，列表如下：x(，0)0(0，2)F(x)0F(x)极大F(x)maxF(0)1，故此时a1.(7分)当x2时，恒成立，故此时aR.(8分)当x(2，)时，a，即a
25、，令F(x)0，得x，列表如下：xF(x)0F(x)极小F(x)minF， 故此时a，综上，1a.(10分)(3) 由f(x)g(x)，得ex(3x2)a(x2)，由(2)知a(，1)(，)，令F(x)，列表如下：x(，0)0(0，2)F(x)00F(x)极大极小(12分)当x(，2)时，存在唯一的整数x0使得f(x0)g(x0)，等价于a存在的唯一整数x0成立，因为F(0)1最大，F(1)，F(1)e，所以当a时，至少有两个整数成立，所以a.(14分)当x(2，)时，存在唯一的整数x0使得f(x0)存在唯一的整数x0成立，因为F最小，且F(3)7e3，F(4)5e4，所以当a5e4时，至少有
26、两个整数成立，当a7e3时，没有整数成立，所以a(7e3，5e4综上，a(7e3，5e4(16分)10、(2017苏州期末）已知函数f(x)(lnxk1)x(kR)(1) 当x1时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2) 若对于任意xe，e2，都有f(x)4lnx成立，求实数k的取值范围；(3) 若x1x2，且f(x1)f(x2)，证明：x1x2e2k.思路分析 (1) 只要注意对k的讨论(2) 分离出k，转化为kK(x)恒成立问题(3) 先说明0x1ekx2，从而只要证ekx2，只要证f(x1)f(x2)f.转化为关于x1的不等式对0x1ek恒成立问题规范解答 (1) f(x)lnxk，其中
27、x1.(1分)若k0，则x1时，f(x)0恒成立，f(x)在(1，)上单调递增，无极值；(2分)若k0，则f(x)在(1，ek上单调递减，在ek，)上单调递增，(4分)有极小值f(ek)ek，无极大值(5分)(2) 问题可转化为klnx1对xe，e2恒成立(7分)设K(x)lnx1，则K(x)lnx(lnx1).当xe，e2时，K(x)0，所以K(x)在e，e2上单调递增，K(x)maxK(e2)1.(9分)所以实数k的取值范围是.(10分)(3) 因为f(x)lnxk，所以f(x)在(0，ek上单调递减，在ek，)上单调递增不妨设0x1ekx2.要证x1x2e2k，只要证x2.因为f(x)在
28、ek，)上单调递增，所以只要证f(x1)f(x2)f，即要证(lnx1k1)x1(klnx11).(12分)令t2(klnx1)0，只要证(t2)ett20.设H(t)(t2)ett2，则只要证H(t)0对t0恒成立H(t)(t1)et1，H(t)tet0对t0恒成立所以H(t)在(0，)上单调递增，H(t)H(0)0.(14分)所以H(t)在(0，)上单调递增，H(t)H(0)0.综上所述，x1x2e2k.(16分)11、(2017苏州暑假测试）已知函数f(x)xlnx，g(x)x2ax.(1) 求函数f(x)在区间t，t1(t0)上的最小值m(t)；(2) 令h(x)g(x)f(x)，A(
29、x1，h(x1)，B(x2，h(x2)(x1x2)是函数h(x)图像上任意两点，且满足1，求实数a的取值范围；(3) 若x(0,1，使f(x)成立，求实数a的最大值思路分析 (1) 是研究在动区间上的最值问题，这类问题的研究方法就是通过讨论函数的极值点与所研究的区间的大小关系来进行求解(2) 注意到函数h(x)的图像上任意不同两点A，B连线的斜率总大于1，等价于h(x1)h(x2)x1x2(x1x2)恒成立，从而构造函数F(x)h(x)x在(0，)上单调递增，进而等价于F(x)0在(0，)上恒成立来加以研究(3) 用处理恒成立问题来处理有解问题，先分离变量转化为求对应函数的最值，得到a，再利用
30、导数求函数M(x)的最大值，这要用到二次求导，才可确定函数单调性，进而确定函数最值规范解答 (1) f(x)1，x0，令f(x)0，则x1.当t1时，f(x)在t，t1上单调递增，f(x)的最小值为f(t)tlnt；(1分)当0t1时，f(x)在区间(t,1)上为减函数，在区间(1，t1)上为增函数，f(x)的最小值为f(1)1.综上，m(t)(3分)(2) h(x)x2(a1)xlnx，不妨取0x1x2，则x1x20，则由1，可得h(x1)h(x2)x1x2，变形得h(x1)x1h(x2)x2恒成立(5分)令F(x)h(x)xx2(a2)xlnx，x0，则F(x)x2(a2)xlnx在(0，
31、)上单调递增，故F(x)2x(a2)0在(0，)上恒成立，(7分)所以2xa2在(0，)上恒成立因为2x2，当且仅当x时取“”，所以a22.(10分)(3) 因为f(x) ，所以a(x1)2x2xlnx.因为x(0,1，则x1(1,2，所以x(0,1，使得a成立令M(x)，则M(x).(12分)令y2x23xlnx1，则由y0 可得x或x1(舍)当x时，y0，则函数y2x23xlnx1在上单调递减；当x时，y0，则函数y2x23xlnx1在上单调递增所以yln40，所以M(x)0在x(0,1时恒成立，所以M(x)在(0,1上单调递增所以只需aM(1)，即a1.(15分)所以实数a的最大值为1.(16分)解后反思 利用导数解决不等式恒成立问题的两种常用方法：(1) 分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求求得所求范围一般地，f(x)a恒成立，只需f(x)mina即可；f(x)a恒成立，只需f(x)maxa即可(2) 函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解
