1、第2课时 用空间向量研究空间角问题课标解读课标要求素养要求 1.理解两异面直线所成的角与他们的方向向量之间的关系，能用向量方法求两异面直线所成的角.2.理解直线与平面所成的角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系，能用向量方法求直线与平面所成的角.3.理解二面角大小与两个平面法向量夹角之间的关系，能用向量方法求二面角的大小.1.数学抽象能用向量语言表述空间角.2.逻辑推理运用向量运算求解空间角的原理.3.数学运算能用空间向量的坐标运算解决空间角问题.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一 两异面直线所成的角直线与平面所成的角1.两异面直线所成的角：一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条
2、异面直线的方向向量的夹角来求得也就是说，若异面直线l1 ，l2 所成的角为 ，其方向向量分别是u ，v ，则cos=|cosu,v|=|uv|u|v| .2.直线与平面所成的角：直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角直线与平面相交，设直线与平面所成的角为 ，直线的方向向量为u ，平面的法向量为n ，则sin=|cosu,n|=|un|u|n| .要点二 平面与平面的夹角1.定义：平面 与平面 相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90 的二面角称为平面 与平面 的夹角.2.若平面, 的法向量分别是n1 和n2 ，则平面 与平面 的夹角即为向量n1 和n2 的
3、 夹角或其补角 .设平面 与平面 的夹角为 ，则cos=|cosn1,n2|=|n1n2|n1|n2| .3.利用空间向量解决立体几何问题的三个步骤：第一步，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；第三步，把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.这种利用向量方法解决立体几何问题的 三个步骤 ，在解决立体几何问题时具有程序性、普适性.自主思考1.两异面直线所成的角与其方向向量的夹角一定相等吗？提示 不一定相等，因为两异面直线所成角的范围是 (0,2
4、 ，而两个向量夹角的范围是0, ，事实上，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系.2.直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量的夹角有怎样的关系？提示 设n为平面 的一个法向量，a 为直线a 的方向向量，直线a 与平面 的夹角为，则=2-a,n,a,n0,2,a,n-2,a,n(2,.3.三个步骤中的关键步骤是哪一步？提示 第一步最关键，合理建系把立体几何问题转化为向量问题.名师点睛1.利用向量法求直线与平面所成的角的方法（1）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）.（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法
5、向量的夹角，取其余角就是斜线与平面所成的角.2.利用向量法求两个平面的夹角的方法（1）找法向量法：分别求出两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两个平面夹角的大小.（2）找与棱垂直的方向向量法：分别在两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量夹角的大小就是两个平面夹角或其补角的大小.探究点一 两异面直线所成角的问题精讲精练 例 （2021辽宁大连第103中学高二月考）如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，ABDC ，DAB=90 ，PA 底面ABCD ，且PA=AD=DC=1 ，AB=2 .（1）证明：平面PAD 平面PCD ；（2）求AC
6、 与PB 所成角的余弦值.答案： （1）证明：以A 为坐标原点，AD ，AB ，AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0) ，B(0,2,0) ，C(1,1,0) ，D(1,0,0) ，P(0,0,1) ，所以AP=(0,0,1) ，DC=(0,1,0) ，所以APDC=0 ，所以APDC .由题设易知，ADDC ，且APAD=A ，AP ，AD 平面PAD ，所以DC 平面PAD .又DC 平面PCD ，所以平面PAD 平面PCD .（2）易知AC=(1,1,0) ，PB=(0,2,-1) ，故|AC|=2 ，|PB|=5 ，ACPB=2 ，所以cos
7、=ACPB|AC|PB|=105 ，即AC 与PB 所成角的余弦值为105 .解题感悟由于两异面直线所成角 的范围是（0，2 ，而两向量夹角 的范围是0, ，故cos=|cos| ，求解时要特别注意.迁移应用1.（2021安徽合肥一中高二段考）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1 ，BAC=60 ，则异面直线BA1和AC1所成角的余弦值为( )A.32 B.34 C.14 D.13答案：C解析：因为AB=AC ，BAC=60 ，所以ABC 是等边三角形，取AC 的中点D ，以点D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=2 ，则B(3,0,0) ，A(0,-1,0) ，A
8、1(0,-1,2) ，C1(0,1,2) ，所以BA1=(-3,-1,2) ，AC1=(0,2,2) 即|BA1|=22 ，BA1AC1=2 所以异面直线BA1 和AC1 所成角的余弦值cosBA1,AC1=|BA1AC1|BA1|AC1|=22222=14 .2.在三棱锥P-ABC 中，AB=BC=2 ，AC=22 ，PB 平面ABC ，点M ，N 分别为AC ，PB 的中点，MN=6 ，Q 为线段AB 上的点（不包括端点A ，B ） ，若使异而直线PM 与CQ 所成角的余弦值为3434 ，则BQBA 为( )A.14 B.13 C.12 D.34答案：A解析：易知PB ，BC ，BA两两垂
9、直，故以B为原点，BA ，BC ，BP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B(0,0,0) ，C(0,2,0) ，M(1,1,0) ，A(2,0,0) ，BM=2 ，又MN=6 ，BN=MN2-BM2=2 ，PB=4 ，则P(0,0,4) ，设BQBA= ，则BQBA= ，且0|=|BQn|BQ|n|=233+3+3343+1+131+3+1=31010 .解题感悟若直线l 与平面所成的角为，则利用法向量计算的步骤如下：迁移应用如图（1）所示，AD 是BCD 中BC 边上的高线，且AB=2AD=2AC ，将BCD 沿AD 翻折，使得平面ACD 平面ABD ，如图（2）.
10、（1）在图（2）中，求证：ABCD ；（2）在图（2）中，E 是BD 上一点（不含端点），连接AE、CE ，当AE 与底面ABC 所成角的正切值为12 时，求直线AE 与平面BCE 所成角的正弦值.答案： （1）证明：由题图（1）知，在题图（2）中，ACAD ，ABAD ， 平面ACD 平面ABD ，平面ACD 平面ABD=AD ，AB 平面ABD ，AB 平面ACD ，又CD 平面ACD ，ABCD .（2）以A 为原点，AC ，AB ，AD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AC=1 ，则A(0,0,0) ，B(0,2,0) ，C(1,0,0) ，D(0
11、,0,1) ，设E(x,y,z) ，DE=DB(01) 则(x,y,z-1)=(0,2,-) ，E(0，2，1-) ，AE=(0，2，1-) ，易知平面ABC 的一个法向量为AD=(0,0,1) ，AE 与底面ABC 所成角的正切值为12 ，tan=2cosAD,AE=15即1-(2)2+(1-)2=15 ，解得=12 ，则E(0,1，12)AE=(0,1,12) ，BC=(1,-2,0) ，BE=(0,-1,12) ，设平面BCE 的法向量为n=(x,y,z) ，则nBC=0,nBE=0 即x-2y=0,-y+12z=0,令y=1 ，得x=2 ，z=2 ，则n=(2,1,2) 是平面BCE
12、的一个法向量，设直线AE 与平面BCE 所成的角是 ，则cos|=|AEn|AE|n|=2523=4515 ，故直线AE 与平面BCE 所成角的正弦值为4515 .探究点三 平面与平面夹角的问题精讲精练 例 如图，在四棱锥P-ABCD 中，PC 底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，ADDC ，ABDC ，AB=2AD=2CD=2 ，点E 是PB 的中点.（1）证明：平面ACE 平面PBC ；（2）若PC=2 ，求平面PAC 与平面ACE 夹角的余弦值.答案： （1）证明：PC 平面ABCD ，AC 平面ABCD ，PCAC ，AB=2 ，AD=CD=1 ，AC=BC=2 ，AC2+BC
13、2=AB2 ，ACBC ，BCPC=C ，BC ，PC 平面PBC ，AC 平面PBC ，又AC 平面ACE ， 平面ACE 平面PBC .（2）取AB 的中点G ，连接CG ，以点C 为坐标原点，CG、CD、CP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0,) ，P(0,0,2) ，A(1,1,0) ，B(1,-1,0) ，E(12,-12,1) ，CA=(1,1,0) ，CP=(0,0,2) ，CE=(12,-12,1) .设m=(x1,y1,z1) 为平面PAC 的法向量，则mCP=2z1=0,mCA=x1+y1=0,取x1=1 ，得m=(1,-1
14、,0) .设n=(x2,y2,z2) 是平面ACE 的法向量，则nCA=x2+y2=0,nCE=12x2-12y2+z2=0,取x2=1 ，得n=(1,-1,-1) ，cosm,n=11+(-1)(-1)+0(-1)23=63 ， 平面PAC 与平面ACE 夹角的余弦值为63 .解题感悟利用向量法求平面与平面的夹角的步骤：（1）建立恰当的空间直角坐标系；（2）分别求出两个平面的法向量；（3）求两个法向量夹角的余弦值；（4）设两个平面的夹角，根据两个平面的夹角即为两个平面的法向量的夹角或其补角，从而得到两个平面的夹角.迁移应用（2021广西南宁三中高二段考）如图，在长方形ABCD 中，AB=4
15、，AD=2 ，点E 是DC 的中点，将ADE 沿AE 折起，使平面ADE 平面ABCE ，连接DB、DC、EB .（1）求证：AD 平面BDE ；（2）求平面ADE 与平面BDC 夹角的余弦值.答案： （1）取AE 的中点O ，连接DO ，DA=DE ，DOAE ，又平面ADE 平面ABCE ，平面ADE 平面ABCE=AE ，DO 平面ABCE ，过E 作直线EFDO .以E 为原点，EA、EB、EF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，AD=DE=2 ，ADE=90 ，AE=BE=22 ，则E(0,0,0) ，A(22,0,0) ，B(0,22,0) ，D(2,0,2)
16、 ，C(-2,2,0)证明：易知AD=(-2，0，2) ，BD=(2，-22，2) ，EB=(-2，2，0) .ADBD=(-2)2+0(-22)+22=0 ，ADEB=(-2)0+022+20=0 ，ADBD ，ADEB ，即ADBD ，ADEB ，又BDBE=B ，BD ，BE 平面BDE ，AD 平面BDE .（2）设平面ADE 的法向量为n1 易知n1=(0,1,0) .易知CB=(2,2,0) ，DB=(-2,22,-2) ，设平面BDC 的法向量为n2=(x,y,z)则n2CB=0,n2DB=0, 即2x+2y=0,-2x+22y-2z=0,令x=1 ，得y=-1 ，z=-3 ，
17、平面BDC 的法向量为n2=(1,-1,-3) ，cosn1,n2=n1n2|n1|n2|=-1112+(-1)2+32=-1111 ， 平面ADE 与平面BDC 夹角的余弦值为1111 . 评价检测素养提升1.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中，AA1=2AB ，则异面直线A1B 与AD1 所成角的余弦值为( )A.15 B.25C.35 D.45答案：D解析：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD1 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz （图略)，设AB=1 ，则B(1,1,0) ，A1(1,0,2) ，A(1,0,0) ，D1(0,0,2) ，A1B
18、=(0,1,-2) ，AD1=(-1,0,2) ，cosA1B,AD1=A1BAD1|A1B|AD1|=-455=-45 ，故异面直线A1B 与AD1 所成角的余弦值为45 .2.在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，BB1 与平面ACD1 所成角的正弦值为( )A.23 B.33C.23 D.63答案： B解析：设正方体的棱长为1，依题意建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0) ，B(1,1,0) ，C(0,1,0) ，D1(0,0,1) ，B1(1,1,1) ，AD1=(-1,0,1) ，AC=(-1,1,0) ，BB1=(0,0,1) .设平面ACD1 的法向量为n=(x,y,
19、z) ，则AD1n=0,ACn=0, 即-x+z=0,-x+y=0, 令x=1 ，n=(1,1,1) ，BB1 与平面ACD1 所成角的正弦值为|nBB1|n|BB1|=33 .3.如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA 底面ABCD ，SA=AB ，点M 是SD 的中点，ANSC ，且交SC 于点N .（1）求证：SC 平面AMN ;（2）求平面ACD 与平面ACM 夹角的余弦值.答案：（1）证明：依题意建立如图所示的空间直角坐标系Axyz设AB=AD=SA=1 ，则A(0,0,0) ，C(1,1,0) ，D(1,0,0) ，S(0,0,1) ，M(12,0,12) ，AM=(12,0,12) ，CS=(-1,-1,1)AMCS=-12+12=0 .AMCS ，即SCAM ，又SCAN 且ANAM=A ，AN ，AM 平面AMN ，SC 平面AMN .（2）SA 底面ABCD ，AS=(0,0,1） 是平面ACD 的一个法向量.由（1）知，AC=(1,1,0) ，AM=(12,0,12) ，设平面ACM 的法向量为n= （x ，y ，z )，则ACn=0,AMn=0, 即x+y=0,12x+12z=0,令x=-1 ，则n=(-1,1,1)cosAS,n=ASn|AS|n|=13=33 ，故由题图可知平面ACD与平面ACM 夹角的余弦值为33 .
