1、高考资源网（） 您身边的高考专家微专题19与分段函数、绝对值函数有关的最值(范围)问题真 题 感 悟(2019江苏卷)设f(x)，g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且f(x)是奇函数.当x(0，2时，f(x)，g(x)其中k0.若在区间(0，9上，关于x的方程f(x)g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是_.解析当x(0，2时，yf(x)，即(x1)2y21(y0)，故f(x)的图象是以(1，0)为圆心，1为半径的半圆.结合f(x)是周期为4的奇函数，可作出f(x)在(0，9上的图象如图所示.当x(1，2时，g(x)，又g(x)的周期为2，当x(
2、3，4(5，6(7，8时，g(x).由图可知，当x(1，2(3，4(5，6(7，8时，f(x)与g(x)的图象有2个交点.故当x(0，1(2，3(4，5(6，7(8，9时，f(x)与g(x)的图象有6个交点.又当x(0，1时，yg(x)k(x2)(k0)恒过定点A(2，0)，由图可知，当x(2，3(6，7时，f(x)与g(x)的图象无交点，当x(0，1(4，5(8，9时，f(x)与g(x)的图象有6个交点.由f(x)与g(x)的周期性可知，当x(0，1时，f(x)与g(x)的图象有2个交点.当yk(x2)与圆弧(x1)2y21(00)k.当yk(x2)过点A(2，0)与B(1，1)时，k.k0
3、恒成立，当a1时，f(x)minf(a)2aa20，0a1时，由f(x)xaln x0恒成立，即a恒成立.设g(x)(x1)，则g(x).令g(x)0，得xe，且当1xe时，g(x)e时，g(x)0，g(x)ming(e)e，ae.综上，a的取值范围是0ae，即0，e.答案0，e热点二分段函数、含绝对值函数与零点相关的最值(范围)问题【例2】 (1)(2019南京、盐城一模)设函数f(x)是偶函数，当x0时，f(x)若函数yf(x)m有四个不同的零点，则实数m的取值范围是_.(2)已知函数f(x)函数g(x)bf(2x)，其中bR，若函数yf(x)g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是_.解析
4、(1)先画出x0时的函数图象，再利用偶函数的对称性得到x0时的图象.令yf(x)，ym，由图象可得要有四个不同的零点，则m.(2)函数yf(x)g(x)恰有4个零点，即方程f(x)g(x)0，即bf(x)f(2x)有4个不同实数根，即直线yb与函数yf(x)f(2x)的图象有4个不同的交点，又yf(x)f(2x)作出该函数的图象如图所示，由图可知，当b2时，直线yb与函数yf(x)f(2x)的图象有4个不同的交点，故函数yf(x)g(x)恰有4个零点时，b的取值范围是.答案(1)(2)探究提高利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后
5、转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.【训练2】 (2019南京模拟)已知a0，若函数f(x)且g(x)f(x)ax2有且只有5个零点，则a的取值范围是_.解析由题意可知，x0是g(x)的1个零点，当x0时，由f(x)ax2可得a令h(x)(x0)，则h(x).当0x时，h(x)0，当x时，h(x)0，h(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减，h(x)h()e，且当x时，h(x)0，当x0时，h(x)0.在同一平面直角坐标系中作出h(x)和y的图象，由图可知，g(x)f(x)ax2有且只有5个零点需满足2ae，则a的取值范围
6、是(2，e).答案(2，e)热点三分段函数、含绝对值函数图象与性质的综合应用【例3】 (2019连云港二模)已知函数f(x)exax1，其中e为自然对数的底数，aR.(1)若ae，函数g(x)(2e)x.求函数h(x)f(x)g(x)的单调区间；若函数F(x)的值域为R，求实数m的取值范围.(2)若存在实数x1，x20，2，使得f(x1)f(x2)，且|x1x2|1，求证：e1ae2e.(1)解若ae，则f(x)exex1.又g(x)(2e)x.h(x)ex2x1(xR)，求导得h(x)ex2.令h(x)0，得xln 2；令h(x)0，得xln 2，所以h(x)的单调递减区间是(，ln 2，单
7、调递增区间是ln 2，).首先，一次函数g(x)(2e)x在(m，)上单调递减，值域为(，(2e)m).因为f(x)exe，易得f(x)在(，1上单调递减，在1，)上单调递增，且当x时，f(x)，所以在(，m上，f(x)min其值域为f(x)min，).因为F(x)的值域为R，所以f(x)min(2e)m，即或即或1m.由知，h(m)em2m1在(，ln 2上单调递减，在ln 2，1)上单调递增，且h(0)0，h(1)e30，所以h(m)0的解集为0，1).综上所述，实数m的取值范围是.(2)证明由f(x)exax1，得f(x)exa.当a0时，f(x)在0，2上单调递增，不合题意；当a0时，
8、若ln a0或ln a2，则f(x)在0，2上单调，也不合题意；当0ln a2时，f(x)在0，ln a上单调递减，在ln a，2上单调递增.由x1，x20，2，f(x1)f(x2)，不妨设0x1ln ax22.又因为|x1x2|1，所以x10，1，且x21，2，从而x11x2.所以f(1)f(x1)f(0)，且f(1)f(x2)f(2).由得解得e1ae2e，得证.探究提高(1)分段函数实质还是一个函数，它的定义域、值域分别为各段的并集.(2)求函数f(x)exex1在动区间上的最值，要按极值点与区间的位置关系来讨论.(3)解不等式组时，常规思路无法处理时，要能通过函数的单调性和图象来处理.
9、(4)第(2)问的处理，需要研究函数f(x)exax1的图象和性质，要通过函数图象来分析，体现数形结合的思想方法.【训练3】 已知a为正常数，函数f(x)|axx2|lnx.(1)若a2，求函数f(x)的单调递增区间；(2)设g(x)，求函数g(x)在区间1，e上的最小值.解(1)由a2得f(x)|2xx2|ln x(x0)，当0x2时，f(x)2xx2ln x，f(x)22x.由f(x)0得2x22x10，解得x或x(舍去).当0x时，f(x)0；当x2时，f(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为；当x2时，f(x)x22xln x，f(x)2x20.所以f(x)在(2，)上为增函数.所
10、以函数f(x)的单调递增区间为，(2，).(2)g(x)|xa|，x1，e.若a1，则g(x)xa.故g(x)1.因为x1，e，所以0ln x1，所以1ln x0，x21ln x0，所以g(x)0.所以g(x)在1，e上为增函数，所以g(x)的最小值为g(1)1a；若ae，则g(x)ax，则g(x)1.令h(x)x21ln x，则h(x)2x0.所以h(x)在1，e上为减函数，则h(x)h(1)0.所以g(x)0，所以g(x)在1，e上为减函数，所以g(x)的最小值为g(e)ae.当1ae时，g(x)由知g(x)在1，a上为减函数，在a，e上为增函数，所以g(x)的最小值为g(a).综上，g(
11、x)的最小值为g(a)【新题感悟】 (2019南京、盐城高三二模)已知函数f(x)设g(x)kx1，且函数yf(x)g(x)的图象经过四个象限，则实数k的取值范围为_.解析当x0时，f(x)g(x)|x3|kx1，须使f(x)g(x)的图象过第三象限，所以f(3)g(3)0，解之得k.当x0时，f(x)g(x)x3(12k)x2，因为f(x)g(x)3x212k，所以须使f(x)g(x)的图象过第四象限，必须k9.综上得9k.答案一、填空题1.(2019苏北四市调研)函数f(x)的值域为_.解析当x0时，y2x(0，1；当x0时，yx21(，1).综上， 该函数的值域为(，1.答案(，12.已
12、知函数f(x)则不等式f(x22x)f(3x4)的解集是_.解析因为当x3时，f(x)单调递增，且f(x)9，因此不等式f(x22x)f(3x4)等价于x22x3x4且x22x3，解得1x4且1x3，即所求不等式的解集为(1，3).答案(1，3)3.(2019南京、盐城调研)已知函数f(x)若|f(x)|ax，则实数a的取值范围是_.解析函数y|f(x)|的图象如图.yax为过原点的一条直线，当a0时，与y|f(x)|的图象在y轴右侧总有交点，不合题意；当a0时成立；当a0时，找与y|x22x|(x0)即yx22x的图象相切的情况，设切点为(x0，y0)，由y2x2，知切线方程为y(2x02)
13、(xx0)，由分析可知x00，所以a2，综上，a2，0.答案2，04.(2019天津卷改编)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)xa(aR)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为_.解析如图，分别画出两函数yf(x)和yxa的图象.(1)先研究当0x1时，直线yxa与y2的图象只有一个交点的情况.当直线yxa过点B(1，2)时，2a，解得a.所以0a.(2)再研究当x1时，直线yxa与y的图象只有一个交点的情况：相切时，由y，得x2，此时切点为，则a1.相交时，由图象可知直线yxa从过点A向右上方移动时与y的图象只有一个交点.过点A(1，1)时，1a，解得a.所以a.结合图象可得，所求实数a
14、的取值范围为1.答案15.已知函数f(x)若函数g(x)f(x)2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_.解析g(x)f(x)2x要使函数g(x)恰有三个不同的零点，只需g(x)0恰有三个不同的实数根，所以或所以g(x)0的三个不同的实数根为x2(xa)，x1(xa)，x2(xa).再借助数轴，可得1a2，所以实数a的取值范围是1，2).答案1，2)6.(2018苏州自主学习)设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)2x，若对任意的xa，a2，不等式f(xa)f2(x)恒成立，则实数a的取值范围是_.解析法一(利用解析式)由当x0时，定义在R上的偶函数f(x)2x，易得f(x
15、)2|x|，xR.由f(xa)f2(x)得，2|xa|(2|x|)2，即|xa|2x|对于xa，a2恒成立，即(3xa)(xa)0对于xa，a2恒成立，即解得a.法二(偶函数的性质)由当x0时，定义在R上的偶函数f(x)2x，易得f(x)2|x|，xR，易证f2(x)f(2x)，xR，故由f(xa)f2(x)得，|xa|2x|对于xa，a2恒成立，下同法一.答案7.(2019浙江卷)已知aR，函数f(x)ax3x.若存在tR，使得|f(t2)f(t)|，则实数a的最大值是_.解析由题意，得f(t2)f(t)a(t2)3(t2)(at3t)a(t2)3t32a(t2t)(t2)2(t2)tt22
16、2a(3t26t4)22a3(t1)212.由|f(t2)f(t)|，得|2a3(t1)212|，即2a3(t1)212，a3(t1)21，a.设g(t)，则当t1时，g(t)max.当t1时，a取得最大值.满足题意.答案8.(2014江苏卷)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x0，3)时，f(x).若函数yf(x)a在区间3，4上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是_.解析作出函数yf(x)在3，4上的图象，f(3)f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)，观察图象可得0a.答案二、解答题9.已知函数f(x)若f(x)恰有2个零点，求实数a的取值范围.解当
17、x1时，函数h(x)3xa有一个零点，则a3x，由03x3，得0a3；而此时函数g(x)(x2a)(x3a)只有一个零点，所以解得a；当x1时，函数h(x)3xa没有零点，则函数g(x)(x2a)(x3a)必有两个零点，则h(1)3a0，即a3时，函数g(x)(x2a)(x3a)有两个零点2a，3a符合题设，故a3.综上，a的取值范围为3，).10.已知关于x的方程kx20有三个不相等的实数根，求实数k的取值范围.解由题可知，kx2，分别作出函数y及ykx2的图象如图所示，若关于x的方程kx20有三个不相等的实数根，则两函数图象有三个公共点.又直线ykx2恒过点(0，2)，可知当k0，显然成立
18、.当k0且与曲线y1在(，2)上有两个交点时满足题意，此时1kx2，即kx2(2k1)x30在(，2)上有两个不等实根，由解得k1，所以0k1.综上，实数k的取值范围是(，0).11.(2019北京卷)已知函数f(x)x3x2x.(1)求曲线yf(x)的斜率为1的切线方程；(2)当x2，4时，求证：x6f(x)x；(3)设F(x)|f(x)(xa)|(aR)，记F(x)在区间2，4上的最大值为M(a).当M(a)最小时，求a的值.(1)解由f(x)x3x2x得f(x)x22x1.令f(x)1，即x22x11，得x0或x.又f(0)0，f，所以曲线yf(x)的斜率为1的切线方程是yx与yx，即yx与yx.(2)证明令g(x)f(x)x，x2，4.则g(x)x3x2，g(x)x22x，x2，4.令g(x)0得x0或x.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下：x2(2，0)04g(x)00g(x)600所以g(x)的最小值为6，最大值为0.故6g(x)0，即x6f(x)x.(3)解由(2)知，当a3；当a3时，M(a)F(2)|g(2)a|6a3；当a3时，M(a)3；综上，当M(a)最小时，a3.高考资源网版权所有，侵权必究！