1、加练课1 集合的综合运算学习目标1.进一步掌握集合的概念、集合间的关系.2.进一步掌握并集、交集与补集的运算法则.3.进一步熟悉数学语言（文字语言、符号语言和图形语言）.自主检测必备知识一、概念辨析，判断正误1.用描述法表示大于3且不大于8的实数的集合为3x8 .( )2.任意一个集合必有两个或两个以上的真子集.( )3.若aAB ，则aA .( )二、夯实基础，自我检测4.（2020山西运城高一月考）下列所给对象能构成集合的是( )A.2020年全国卷数学试题的所有难题B.比较接近2的全体正数C.未来世界的高科技产品D.所有整数答案：D5.（2020山东济南第十一中学高一期中）下列关系正确的
2、是( )A.10,1 B.10,1 C.10,1 D.10,1答案：C6.（2020北京师范大学珠海分校附属外国语学校高一期中）设A=x|2x5 ，B=x|2axa+3 ，若AB ，则实数a 的取值范围是( )A.1a2 或2a3 B.a1C.2a3 D.答案：D解析：因为A=x|2x5,B=x|2axa+3 ，且AB ，所以2aa+3,2a2,a+35, 此不等式组无解.故选D.7.已知A=x|axa+8 ，B=x|x-1或x5 若AB=R ，则a 的取值范围为 .答案：-3a-1解析：在数轴上标出集合A 、B ，如图若AB=R ，则a+85,a-1, 解得-3a-1 .互动探究关键能力探究
3、点一 集合的概念与运算精讲精练类型1 正确理解、运用集合语言例1能正确表示集合M=xR|0x2 和集合N=xR|x2-x=0 关系的Venn 图是( )A.B.C.D.答案：B解析：由x2-x=0 得x=1 或x=0 ，故N=0,1 ，易得NM .故选B.解题感悟数学解题语言有三种：文字语言、符号语言和图形语言，解题时应灵活转化.Venn 图法和数轴图示法是进行交集、并集、补集运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.类型2 集合中元素的互异性例2已知集合A=m+2,2m2+m ，若3A ，则m 的值为 .答案：-32解析：因为3A ，所以m+2=3 或2m2+m=3 .
4、当m+2=3 ，即m=1 时，2m2+m=3 ，此时集合A 中有重复元素3，所以m=1 不符合题意，舍去；当2m2+m=3 时，解得m=-32或m=1 （舍去），当m=-32 时，m+2=123 ，符合题意综上，m=-32 .解题感悟集合中元素的互异性，一可以作为解题的依据和突破口；二可以检验所求结果是否正确.类型3 空集例3（2020天津静海一中高一调研）已知集合A=x|1x3 ，集合B=x|2mx1-m （1）当m=-1 时，求AB ；（2）若AB ，求实数m 的取值范围；（3）若AB= ，求实数m 的取值范围答案：（1）当m=-1 时，AB=x|-2x3 .（2）由AB 知1-m2m,2
5、m1,1-m3,解得m-2 ，即m 的取值范围是m|m-2 .（3）由AB= 得，当2m1-m ，即m13 时，B= ，符合题意；当2m1-m ，即m13 时，需m13,1-m1 或m13,2m3,解得0m13 或m ，即0m13 综上可知，实数m 的取值范围是m|m0 .解题感悟空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，根据集合间的包含关系求解参数范围时，要注意分析集合为空集的可能.迁移应用 1.已知集合U ，A ，B 之间的关系如图所示，则(UB)A= ( )A.3 B.0,1,2,4,7,8C.1,2 D.1,2,3答案：C2.（2020辽宁省实验中学高一检测）
6、已知集合A=x|x2-4x=0 ，B=x|ax2-2x+8=0 .（1）是否存在实数a ，使AB=0,2,4 ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（2）若AB=B ，求实数a 的取值范围.答案：（1）A=0,4 ，所以2B 且B 中不含除0，2，4以外的实数，即a22-22+8=0 ，解得a=-1 .验证：此时B=2,-4 ，所以不存在实数a ，使AB=0,2,4 .（2）由AB=B 得BA ，即B 只可能为 ，0 ，4 ，0,4 .B= ，即a0 且0 ，解得a18 ；B=0,4 ，即a42-24+8=0,a02-20+8=0, 此方程组无解；B 中方程只有一个根：当a=0 时，解
7、得x=4 ，此时B=4 ，符合题意；当a0 时，由=0 ，解得a=18 ，此时B=8 ，不符合题意.综上所述，a0a|a18 .探究点二 集合中的创新问题精讲精练类型1 新定义集合的概念例1当xA 时，若x-1A 且x+1A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合A=0,1,2,3,5 中“孤立元素”组成的“孤星集”为 .答案：5解析：根据“孤立元素”的定义逐一验证A 中的元素即可.0有1相伴，1，2则是前后的元素都有，3有2相伴，只有5是“孤立元素”，从而集合A=0,1,2,3,5 中“孤立元素”组成的“孤星集”为5 解题感悟解决与集合有关的新定义问
8、题，首先要分析新定义的特点与本质，认清新定义对集合、元素的要求，进而将新定义的问题转化为熟悉的问题，从而使问题得到解决，也就是“以旧带新”法.类型2 新定义集合的性质例2若集合A 具有以下性质：0A ，1A ；若xA ，yA ，则x-yA ，且x0 时，1xA ，则称集合A 是“好集”.给出下列说法：集合B=-1,0,1 是“好集”；有理数集Q 是“好集”；设集合C 是“好集”，若xC,yC ，则x+yC .其中，正确说法的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案：C解析：假设集合B 是“好集”，因为-1B ，1B ，所以-1-1=-2B ，这与-2B 矛盾，所以集合B不是“好集”，故中说法错
9、误.因为0Q ，1Q ，对任意的xQ ，yQ ，有x-yQ ，且x0 时，1xQ ，所以有理数集Q 是“好集”，故中说法正确.因为集合C 是“好集”，所以0C ，若xC ，yC ，则0-yC ，即-yC ，所以x-(-y)C ，即x+yC ，故中说法正确.解题感悟以集合为背景的新定义问题，常以“问题”为核心，“探究”为途径，“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查学生对新概念的理解，充分体现了数学抽象的核心素养.类型3 新定义集合的运算例3设M 、P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为M-P=x|xM,且xP，则集合M-(M-P)= .答案：MP解析：根据定义“xM ，且xP ”作出
10、Venn 图，如图所示，由图可知M-(M-P)=MP .解题感悟求解集合创新题的关键是仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案.将新定义问题转化到已学的知识中进行求解.注意并集、交集和补集的定义的运用类型4 探索性问题例4已知三个集合A=x|x2-3x+2=0 ，B=x|x2-ax+a-1=0 ，C=x|x2-bx+2=0 ，则同时满足BA ，CA 的实数a ，b 是否存在？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，请说明理由.答案：存在.A=x|x2-3x+2=0=1,2 .因为B=x|x2-ax+a-1=0=x|(x-1)x-(a-1)=0 ，所以1B .又BA ，所以a-1=1 ，
11、即a=2 .因为C=x|x2-bx+2=0 ，且CA ，所以C 为 或1 或2 或1,2 .当C=1,2 时，b=3 ；当C=1或C=2 时，=b2-8=0 ，即b=22 ，此时x=2 ，与C=1 或2 矛盾，故舍去；当C= 时，=b2-80 ，即-22b22 .综上可知，存在a=2 ，b=3 或-22b22 满足题意.解题感悟探索性问题的解题思路（1）要明确探索的目标是什么，其中哪一个集合是确定的，哪一个集合是需要探索的；（2）要重视对空集的讨论；（3）要依据集合间的关系对参数进行分类讨论；（4）要对结果进行验证.迁移应用 1.若数集A=a1,a2,an(1a1a2.an,n2) 具有性质P
12、 ：对任意的i ，j(1ijn) ，aiaj 与ajai 两数中至少有一个属于A，则称集合A 为“权集”，则( )A.1,3,4 为“权集”B.1,2,3,6 为“权集”C.“权集”中元素可以有0D.“权集”中一定有元素1答案：B2.定义集合运算：AB=zz=(x+y)(x-y),xA,yB ，设A=2,3 ，B=1,2 ，则集合AB 的真子集个数为( )A.8B.7C.16D.15答案：B解析：由A=2,3 ，B=1,2 得，AB 中有(2+1)(2-1)=1 ，(2+2)(2-2)=0 ，(3+1)(3-1)=2 ，(3+2)(3-2)=1 四种运算情况.由集合中元素的互异性可知，集合AB
13、 中有3个元素：1，0，2，故集合AB 的真子集为 ，1 ，0 ，2 ，1,0 ，1,2 ，0,2 ，共7个.3.若X 是一个集合， 是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：X 属于 ， 属于 ； 中任意多个元素的并集属于 ； 中任意多个元素的交集属于 ，则称 是集合X 上的一个拓扑.已知集合X=a,b,c ，对于下面给出的四个集合 ：=,a,c,a,b,c ；=,b,c,b,c,a,b,c ；,a,a,b,a,c ；=,a,c,b,c,c,a,b,c .其中是集合X 上的拓扑的集合的所有序号是 .答案：解析：因为ac=a,c ，所以不是集合X 上的一个拓扑.因为a,ba,c=a,b,c
14、，所以不是集合X 上的一个拓扑.易知均是集合X 上的拓扑.故答案为.4.已知集合A=x|1-ax1+a ，集合B=x|-12x2 .（1）若AB ，求实数a 的取值范围；（2）若BA ，求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得A=B ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.答案： （1）因为AB ，所以1-a1+a 或1-a-12,1+a2,1-a1+a, 解得a0 或0a1 .故a的取值范围是a1 .（2）因为BA ，所以1-a-12,1+a2,解得a32 .（3）因为A=B ，所以AB 且BA .由（1）（2）的结论可知，不存在实数a ，使得A=B .评价检测素养提升1.（
15、2020天津静海第六中学高一检测）一次函数y=x-3与y=-2x的图象的交点组成的集合是( )A.1,-2 B.x=1,y=-2C.(-2,1) D.(1,-2)答案：D解析：由y=x-3,y=-2x, 解得x=1,y=-2, 所以两函数图象的交点组成的集合是(1,-2) .故选D.2.（2021北京第五中学高一段考）设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“* ”：a*bS ，且若对任意的a,bS ，有a*(b*a)=b ，则下列等式不恒成立的是( )A.(a*b)*a=aB.a*(b*a)*(a*b)=aC.b*(b*b)=bD.(a*b)*b*(a*b)=b答案：A解析
16、：根据定义，对任意的a,bS ，有a*(b*a)=b 可知，对于A选项，(a*b)*a=a 不满足新定义的形式，故其不一定恒成立，故A选项不正确；对于B选项，a*(b*a)*(a*b)=b*(a*b)=a ，故B选项正确；对于C选项，b*(b*b)=b 满足定义，故C选项正确；对于D选项，把(a*b) 看成一个整体，故(a*b)*b*(a*b)=b ，故D选项正确.故选A.3.（2020天津第四十七中学高一月考）设集合U=0,1,2,3 ，A=x|x2+mx=0 ，若UA=1,2 ，则实数m= .答案：-3解析：因为集合U=0,1,2,3 ，UA=1,2 ，所以A=0,3 ，故m=-3 .4.若xA ，则1xA ，就称A 是“伙伴关系集合”，集合M=-1,0,12,2,3 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是 .答案：3解析：符合题意的元素有-1，12 ，2，所以具有伙伴关系的集合有-1 ，12,2 ，-1,12,2 ，共3个.