1、巴蜀中学高2020届高二（下）半期考试数学（文）试题卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确选项）1.（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意结合复数的运算法则计算其值即可.【详解】由复数的运算法则有：.故选：C.【点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数的乘法运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.三个正整数，满足条件: ，若，则的最大值是（ ）A. 12B. 13C. 14D. 15【答案】B【解析】【分析】由题意结合不等式的性质和不等式的传递性即可确定y的最大值.【详解】由不等式的性质结合题意有：，即，由于都是正整数，故的
2、最大值是13.故选：B.【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，不等式的传递性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.圆形铜钱中间有一个边长为4毫米的正方形小孔，已知铜钱的直径为16毫米，现向该铜钱上随机地投入一粒米（米的大小忽略不计），那么该粒米落入小孔内的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】算出正方形小孔的面积和铜钱的面积，利用几何概型的概率公式可得所求的概率.【详解】设为“该粒米落入小孔内”，因为正方形小孔的面积为平方毫米，铜钱的面积为平方毫米，故，故选A.【点睛】几何概型的概率计算关键在于测度的选取，测度通常是线段的长度、平面区域的面积、几何体的体
3、积等4.设个数据，的平均数为，则其方差.若数据，的方差为3，则数据，的方差是（ ）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】D【解析】【分析】由题意结合方差的性质求解数据，的方差即可.【详解】由题意结合方差的性质可得数据，的方差为：.故选：D.【点睛】本题主要考查方差的性质及其应用，属于基础题.5.正方体中，是棱的中点，若，则点到平面的距离是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意结合几何体的结构特征利用等体积法求解点面距离即可.【详解】设点到平面的距离为，由等体积法可知：，即，,解得：.【点睛】本题主要考查点面距离的求解，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能
4、力和计算求解能力.6.我国古代数学名著九章算术中有如下问题:“今有北乡8758人，西乡有7236人，南乡有8356人，现要按人数多少从三个乡共征集487人，问从各乡征集多少人”.在上述问题中，需从南乡征集的人数大约是（ ）A. 112B. 128C. 145D. 167【答案】D【解析】【分析】由题意利用分层抽样的方法结合抽样比即可确定需从南乡征集的人数.【详解】由题意结合分层抽样的方法可知，需从南乡征集的人数为：.故选：D.【点睛】本题主要考查分层抽样的方法及其应用，属于基础题.7.某四棱锥的三视图如图所示，在四棱锥的四个侧面中，面积的最大值是（ ）A. B. C. 2D. 3【答案】D【解
5、析】【分析】首先确定几何体的空间结构特征，然后求解其几个侧面积中的最大值即可.【详解】如图所示，三视图对应的几何体为图中的四棱锥，其中正方体的棱长为2，点M为棱的中点，很明显，由于，故，则四棱锥的四个侧面中，面积的最大值是3.故选：D.【点睛】本题主要考查三视图换元几何体的方法，三角形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意确定流程图的功能，然后计算其输出值即可.【详解】由题意可知，流程图的功能为计算的值，裂项求和可得：.故选：A.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图
6、的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题(3)按照题目的要求完成解答并验证9.函数，若曲线在点处的切线垂直于轴，则实数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先求得导函数的解析式，然后利用导数与函数切线的关系得到关于a的方程，解方程即可确定a的值.【详解】由函数解析式可得：，曲线在点处的切线垂直于轴，则：，解得：.故选：A.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导函数由于函数切线的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.将十进制数47化为二进制数，根据二进制数“满二进一”的原则，采用“除二取余
7、法”，得如下过程：，把以上各步所得余数从后面到前面依次排列，从而得到47的二进制数为1011，记作: .类比上述方法，根据三进制数“满三进一”的原则，则（ ）A. 202B. 1202C. 1021D. 2021【答案】B【解析】【分析】由题意利用所给的信息计算47除以3的余数和商，并辗转相除可得其三进制表示.【详解】注意到：，结合题意可得：.故选：B.【点睛】本题主要考查新知识的应用，数制之间的转化方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.不等式对一切都成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意结合绝对值三角不等式得到关于a的不等式，
8、求解不等式即可确定实数的取值范围.【详解】题中所给的不等式即：，则：，据此得绝对值不等式：，故，整理可得：.即实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，绝对值不等式的解法，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.一圆锥的内部装有一个小球，若小球的体积为，则该圆锥侧面积的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意考查球与圆锥相切的情况，然后结合均值不等式的结论即可求得圆锥侧面积的最小值.【详解】满足题意时，圆锥与球相切，其纵截面如图所示，设圆锥的底面半径，母线长，内切球半径，由小球的体积为可知其半径为，利用
9、等面积法可得：，故， 不妨设，代入式整理可得：，则圆锥的侧面积的平方：，故，当且仅当时等号成立.故选：C.【点睛】本题主要考查球与圆锥的关系，均值不等式求最值的方法，圆锥的侧面积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.甲、乙两人下中国象棋，下成和棋的概率为，甲获胜的概率为，则甲输棋的概率是_.【答案】.【解析】【分析】由题意利用概率公式可得甲输棋的概率.【详解】设甲输棋为事件A，由题意可得：，故.故答案为：【点睛】本题主要考查独立事件概率公式及其应用，属于基础题.14.在直三棱柱中，是的中点，若是正三角形，则直线和平面所成的角
10、的大小是_.【答案】30.【解析】【分析】首先找出线面角，然后结合空间几何体的结构特征可得线面角的大小.【详解】如图所示，连结AD，由题意可知即为直线和平面所成的角.不妨设，则，即直线和平面所成的角的大小是.【点睛】本题主要考查线面角的求解，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.函数，若在内是减函数，在内是增函数，则实数的取值范围是_.【答案】.【解析】【分析】由题意利用导函数与原函数单调性的关系将原问题转化为恒成立问题，据此可得实数的取值范围.【详解】由函数的解析式可得：，则在区间内，恒成立，在区间内，恒成立，据此可得：.即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考
11、查导函数研究函数的单调性，属于中等题.16.集合，现有甲、乙、丙三人分别对，的值给出了预测，甲说，乙说，丙说.已知三人中有且只有一个人预测正确，那么_.【答案】213.【解析】【分析】由题意利用推理的方法确定a,b,c的值，进一步可得的值.【详解】若甲自己的预测正确，则：，据此可知，丙的说法也正确，矛盾；若乙自己的预测正确，则：，矛盾；据此可知只能是丙自己的预测正确，即：；故：，则.故答案为：【点睛】本题主要考查推理案例及其应用，属于中等题.三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在直角坐标系中，曲线的参数方程（为参数），以为极点，为极轴建立极坐标系
12、，直线的极坐标方程是： .（1）求的直角坐标方程和的普通方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，求线段的长.【答案】(1) .(2)2.【解析】【分析】(1)消去参数可得C的直角坐标方程，利用极坐标与直角坐标的关系可得的直角坐标方程；(2)首先求得圆心到直线的距离，然后利用弦长公式可得线段的长.【详解】（1）直线的方程即：，则的直角坐标方程为.由曲线C的参数方程可得：，即的普通方程为.（2）由点到直线距离公式可得圆心到直线的距离：，结合弦长公式可得：.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，圆的弦长公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18
13、.已知，（1）求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由题意求解绝对值不等式可得不等式的解集；(2)由题意分类讨论求解绝对值不等式的解集即可.【详解】（1）由题意可得：，故或，据此可得不等式的解集为（2）不等式等价于：或或，求解不等式可得：或或.综上可得，不等式的解集为：，即.【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数图象求解，体现了函数与方程的思想19.在三棱锥中，平面，已知，是的中点，.（1）求证: 平面；（2）若平面，求三
14、棱锥的体积.【答案】(1)见解析.(2) .【解析】【分析】(1)由题意利用几何关系结合线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；(2)由题意首先求得点B到直线CEF的距离，然后转化定点即可求解三棱锥的体积.【详解】（1）证明:面，面又，面（2）面，面面，是的中点面面， 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，棱锥体积公式的求解，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长。设某地区城乡居民人民币储蓄存款（单位：亿元）的数据如下：年份2012201320142015201620172018年份代号1234567储蓄存款3.43.6
15、4.54.95.56.17.0（1）求关于的线性回归方程；（2）2018年城乡居民储蓄存款前五名中，有三男和两女。现从这5人中随机选出2人参加某访谈节目，求选中的2人性别不同的概率。附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，。【答案】（1）；（2）【解析】分析】（1）由回归方程的系数公式代入计算即可；（2）利用古典概型公式计算即可.【详解】（1），所求回归方程为：（2）设，代表三男，代表两女，从5人中任选2人的基本事件为，共有10种，选中的2人性别不同的事件为，共有6种，故所求概率。【点睛】本题主要考查了回归直线方程和古典概型的计算，属于基础题.21.如图，已知椭圆的离心率为，直线与
16、椭圆交于A，两点，且.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与圆相切，与椭圆交于、两点（交点、在第一、四象限），设四边形的面积为，求的最大值，并写出此时直线的方程.【答案】(1) .(2)答案见解析.【解析】【分析】(1)由题意分别求得a,b,c的值即可确定椭圆方程；(2)联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理得到面积的表达式，结合均值不等式的结论即可确定面积的最大值和面积最大时的直线方程.【详解】（1） ， 点椭圆上为： （2）联立，得: 设，则，当时，此时，交点、分别在第一、四象限 或或.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
17、(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、面积等问题22.己知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若在处取得极大值，求的取值范围.【答案】(1) 在上是递增的，在上是递减的.(2) .【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的定义域分类讨论函数的单调性即可；(2)由题意结合(1)的结论可知，据此结合导函数的解析式分类讨论即可确定实数a的取值范围.【详解】（1）当时， 在上是递增的当时，若，则，若，则在上是递增的，在上是递减的.（2），由（1）知：当时，在上是递增的，若，则，若，则在取得极小值，不合题意时，在上是递增的，在上是递减的， 在上是递减的无极值，不合题意当时，由（1）知: 在上是递增的，若，则，若，则，在处取得极小值，不合题意.当时，由（1）知: 在上是递减的，若，则，若），则，在上是递增的，在上是递减的，故在处取得极大值，符合题意.综上所述:.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用
