1、3.2.2 双曲线的简单几何性质课标解读课标要求素养要求1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线方程的简单应用.1.直观想象能够借助图形掌握双曲线的几何性质.2.数学运算会求双曲线的离心率和渐近线方程.自主学习必备知识教材研习教材原句 1.双曲线的简单几何性质：标准方程x2a2-y2b2=1(a0,b0)y2a2-x2b2=1(a0,b0)图形性质范围xa 或x-a y-a或ya对称性对称轴： 坐标轴 ，对称中心（中心）： 原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(-a,0),A2(a,0)轴长实轴长= 2a ，虚轴长= 2b离心率e= ca1渐近线y=baxy=abx 2.等轴
2、双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为 y=x ，离心率e=2 .自主思考1.双曲线x29-y216=1 的焦点在哪个坐标轴上？提示 在x 轴上.2.已知x2a2-y2b2=1 的离心率e=2 ，则双曲线的渐近线方程是什么？提示 渐近线方程为y=x .名师点睛双曲线中一些常用的结论1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.2.两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x 轴，y 轴对称. 3.与双曲线x2a2-y2b2=1 具有相同渐近线的方程可设为x2a2-y2b2=(0) .4.渐近线为y=kx 的双曲线的方程可设为k2x2-y2=(0) .5.渐近线为ax
3、by=0 的双曲线的方程可设为a2x2-b2y2=(0) . 互动探究关键能力探究点一 双曲线的简单几何性质精讲精练例 求双曲线16x2-25y2=400 的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标.答案：把已知方程化成标准方程x252-y242=1 ，所以a=5 ，b=4 ，c=52+42=41 ，所以双曲线的实轴长2a=10 ，虚轴长2b=8 ，两个焦点的坐标分别为(-41,0) ，(41,0) ，两个顶点的坐标分别为(-5,0)，(5,0).解题感悟 根据双曲线的方程研究其性质的基本思路：（1）将双曲线的方程转化为标准形式；（2）确定双曲线的焦点位置，先弄清方程中的a ，b 所对应的值，再利用
4、c2=a2+b2 得到c 的值；（3）根据确定的a ，b ，c 的值求双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标等.迁移应用求双曲线9y2-4x2=-36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长.答案：将9y2-4x2=-36 化为标准方程x29-y24=1 ，即x232-y222=1 ，所以a=3 ，b=2 ，c=13 ，因此顶点坐标分别为(-3,0)，(3,0) ，焦点坐标分别为(-13,0) ，(13,0) ，实轴长2a=6 ，虚轴长2b=4 .探究点二 双曲线的离心率精讲精练例（1）过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0) 的左焦点F1 作x 轴的垂线，交双曲线于点P,F2 为右焦点，若
5、F1PF2=60 ，则双曲线的离心率为( )A.22 B.33 C.12 D.3（2）如果双曲线x2a2-y2b2=1 的右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异的点，那么双曲线离心率的取值范围是 .答案：（1）D（2）(2,+)解析： （1）依题意可得，F1PF2 是直角三角形，F1PF2=60 ，所以|F1P|=33|F1F2|=233c ，|F2P|=|F1F2|sin60=233|F1F2|=433c ，根据双曲线的定义可得，2a=|F2P|-|F1P|=(433-233)c=233c ，所以a=33c ，则e=ca=33=3 ，故选D.（2）如图，因为|AO|=|AF|
6、，F(c,0) ，所以xA=c2 ，因为点A 在双曲线的右支上且不在双曲线的顶点处，所以c2a ，所以e=ca2 .故离心率的取值范围是(2,+) .解题感悟（1）求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a ，c ，再计算e ；二是依据条件建立a ，b ，c 的关系式，消去b 转化成离心率e 的方程求解或消去c 转化成含ba 的方程，求出ba 后利用e=1+b2a2 求离心率.（2）若求离心率e的取值范围，则应由题意寻求a,b,c的不等关系，由此得出关于e 的不等式，再进行求解.迁移应用已知F1、F2 分别是双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0) 的左、右焦点，P 为E 上的一点.若
7、F1PF2 是以P 为直角顶点且有一个内角为30 的三角形，则E 的离心率为( )A.3-1 B.3+1C.3 D.2答案： B解析：不妨设PF1F2=30 ，在直角F1PF2 中|F1F2|=2c ，|PF2|=c ，|PF1|=3c ，由双曲线的定义得3c-c=2a ，e=ca=23-1=3+1 .探究点三 双曲线的渐近线精讲精练 例 （1）已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0) 的离心率为324 ，则其渐近线方程为( )A.y=22x B.y=24xC.y=14x D.y=12x（2）焦点为(0,6)，且与双曲线x2-2y2=2 有相同渐近线的双曲线的方程为 .答案：（1）B （
8、2）y212-x224=1解析：（1）由题意可得ca=324 ，即c2a2=1+(ba)2=98 ，解得ba=24 ，即双曲线的渐近线方程为y=24x ，故选B.（2）由题意可设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0) ，焦距为2c ，则c=6 ，渐近线方程为y=abx ，x2-2y2=2 的渐近线方程为y=22x ，ab=22,即b2=2a2 ，又c2=a2+b2 ，a2+2a2=36 ，解得a2=12 ，b2=24 ， 双曲线的标准方程为y212-x224=1 .解题感悟求渐近线方程的两种方法：（1）当已知标准方程的焦点所在的坐标轴时，用公式法y=bax （焦点在x 轴上）或y=
9、abx （焦点在y 轴上）求解；（2）把双曲线的标准方程右端的“1”换为“0”，即可得渐近线方程.迁移应用1.已知双曲线的方程为2x2-y2=2 ，则下列叙述正确的是( )A.焦点为(1,0) B.渐近线方程为y=2xC.离心率为2 D.实轴长为22答案： B解析：由已知得x2-y22=1 ，所以a=1 ，b=2 ，c=a2+b2=3 ，所以该双曲线的焦点为(3,0) ，故A错误；渐近线方程为y=2 ，故B正确；离心率e=ca=3 ，故C错误；实轴长2a=2 ，故D错误.2.一个焦点为(5,0) ，渐近线方程为y=43x 的双曲线的标准方程是 .答案：x29-y216=1解析：由题意知双曲线的
10、焦点在x轴上， 可设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0) ， 双曲线的渐近线方程为y=bax=43 ，ba=43 ，又焦点为(5,0) ，a2+b2=a2+169a2=5 ，解得a2=9 ，b2=16 双曲线的标准方程为x29-y216=1 .评价检测素养提升 1.（2021辽宁大连高二期末）已知A、B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340m/s ，则炮弹爆炸点的轨迹是( )A.椭圆B.双曲线C.双曲线的一支D.抛物线答案： C解析：设炮弹的爆炸点为点P ，由题意可得|PA|-|PB|=3402=680800=|AB| ，所以炮弹爆炸点
11、的轨迹是双曲线的一支.2.在平面直角坐标系中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y 轴上，一条渐近线的方程为x-2y=0 ，则它的离心率为( )A.5 B.52 C.3 D.2答案： A解析：由题意知，这条渐近线的斜率为12 ，即ab=12 ，故e=ca=1+(ba)2=1+22=5 .3.与双曲线x2-y24=1 有相同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是 .答案： x23-y212=1解析： 依题意，设双曲线的方程为x2-y24=(0) ，将点(2,2)代入得=3 ，所以所求双曲线的标准方程为x23-y212=1 .4.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0) 的离心率为2
12、33 ，且过点(6,1) .（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l:y=kx+2 与双曲线C 恒有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围.答案：（1）由e=233 可得c2a2=43 ，又c2=a2+b2 ，所以a2=3b2 ，故双曲线C的方程可化为x23b2-y2b2=1 ，将点P(6,1) 代入双曲线C 的方程，解得b2=1 ，所以双曲线C 的方程为x23-y2=1 .（2）联立直线l 与双曲线C 的方程得y=kx+2, x2-3y2-3=0(1-3k2)x2-62kx-9=0 ，由题意得，=72k2-4(1-3k2)(-9)0,1-3k20, 解得-1k1 且k33 ，所以k 的取值范围为(-1,-33)(-33,33)(33,1) .
