1、第二节等差数列【最新考纲】1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列用符号表示为n1nd(nN*，d为常数)(2)等差中项：数列，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫做，b的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：n1(n1)d，nm(nm)d(2)前n项和公式：Snn13等差数列的性质已知数列n是等差数列，Sn是其前n项和(1
2、)若m、n、p、q、k是正整数，且mnpq2k，则mnpq2k(2)m，mk，m2k，m3k，仍是等差数列，公差为kd(3)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(4)若数列n的前n项和为Sn，则S2n1(2n1)n，S2nn(12n)n(nn1)(5)等差数列的通项公式形如nnb(，b为常数)，前n项和公式形如SnAn2Bn(A，B为常数)，结合函数性质研究等差数列常常可以事半功倍1(质疑夯基)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)数列n为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2n1n
3、n2.()(3)等差数列n的单调性是由公差d决定的()(4)数列n为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()答案：(1)(2)(3)(4)2(2017郑州一检)等差数列n的前n项和为Sn，且S36，30，则公差d等于()A1 B1 C2 D2解析：依题意得S3326，即22，故d322，选D.答案：D3在等差数列n中，12，3510，则7()A5 B8 C10 D14解析：法一设等差数列的公差为d，则35216d46d10，所以d1，716d268.法二由等差数列的性质可得173510，又12，所以78.答案：B4(2015课标全国卷)设Sn是等差数列n的前n项和，若1353，则S5(
4、)A5 B7 C9 D11解析：法一1523，135333，31，S5535，故选A.法二1351(12d)(14d)316d3，12d1，S551d5(12d)5，故选A.答案：A5(2015陕西卷)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为_解析：设数列首项为1，则1 010，故15.答案：5一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式两个技巧1若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为，2d，d，d，2d，.2若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为，3d，d，d，3d，.两种思想1等差数列的通项公式，前n项和公式涉及“五个量”，“知三求二”，需运用方
5、程思想求解，特别是求1和d.2等差数列n中，nnb(，b为常数)，SnAn2Bn(A，B为常数)，均是关于“n”的函数，充分运用函数思想，借助函数的图象、性质简化解题过程四种方法等差数列的四种判断方法1定义法：n1nd(d是常数)n是等差数列2等差中项法：2n1nn2(nN*)n是等差数列3通项公式：npnq(p，q为常数)n是等差数列4前n项和公式：SnAn2Bn(A、B为常数)n是等差数列一、选择题1(2017豫东、豫北十所名校联考(五)已知等差数列n中，513，S535，则公差d()A2B1C1D3解析：依题意，得解得答案：D2(2015重庆卷)在等差数列n中，若24，42，则6()A1
6、 B0 C1 D6解析：n为等差数列，2426，6242，即62240.答案：B3(2016陕西八校联考)在等差数列n中，10，公差d0，若m129，则m的值为()A37 B36 C20 D19解析：m12991d36d37，m37.故选A.答案：A4(2016深圳调研)等差数列n中，已知50，470，则n的前n项和Sn的最大值为()AS7 BS6 CS5 DS4解析：Sn的最大值为S5.答案：C5(2017河南三市二调)设Sn为等差数列n的前n项和，若11，35，Sk2Sk36，则k的值为()A8 B7 C6 D5解析：设等差数列的公差为d，由等差数列的性质可得2d314，得d2，所以n12
7、(n1)2n1，Sk2Skk2k12(k2)12(k1)14k436，解得k8.答案：A二、填空题6(2015广东卷)在等差数列n中，若3456725，则28_解析：因为等差数列n中，3456725，所以5525，即55.所以282510.答案：107若等差数列n满足7890，7100，则当n_时，n的前n项和最大解析：由等差数列的性质可得789380，即80；而710890，故90.所以数列n的前8项和最大答案：88设等差数列n的前n项和为Sn，若13，k1，Sk12，则正整数k_解析：设等差数列n的公差为d，由k1，且Sk12，则3kd，且3kk(k1)d12.消去d，得k13.答案：13
8、三、解答题9数列n满足11，22，n22n1n2.(1)设bnn1n，证明bn是等差数列；(2)求n的通项公式(1)证明：由n22n1n2得n2n1n1n2，即bn1bn2.又b1211，所以bn是首项为1，公差为2的等差数列(2)解：由(1)得bn12(n1)2n1，即n1n2n1.于是 (k1k) (2k1)，所以n11n2，即n1n21.又11，所以n的通项公式为nn22n2.10已知等差数列n的公差d0.设n的前n项和为Sn，11，S2S336.(1)求d及Sn；(2)求m，k(m，kN*)的值，使得mm1m2mk65.解：(1)由题意知(21d)(313d)36，将11代入上式解得d
9、2或d5.因为d0，所以d2，从而n2n1，Snn2(nN*)(2)由(1)得mm1m2mk(2mk1)(k1)，所以(2mk1)(k1)65.由m，kN*知2mk1k11，故所以11(2014湖北卷)已知等差数列n满足：12，且1，2，5成等比数列(1)求数列n的通项公式；(2)记Sn为数列n的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由解：(1)设等差数列n的公差为d，依题意，2，2d，24d成等比数列，故有(2d)22(24d)，化简得d24d0，解得d0或d4.当d0时，n2；当d4时，n2(n1)44n2，从而得数列n的通项公式为n2或n4n2.(2)当n2时，Sn2n.显然2n60n800，此时不存在正整数n，使得Sn60n800成立当n4n2时，Sn2n2.令2n260n800，即n230n4000，解得n40或n10(舍去)，此时存在正整数n，使得Sn60n800成立，n的最小值为41.综上，当n2时，不存在满足题意的n；当n4n2时，存在满足题意的n，其最小值为41.
