1、1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题第 1 课时 用空间向量研究距离问题课标解读课标要求素养要求1.能用向量语音表述点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离.2.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题1.数学抽象会用向量语音表述空间距离.2.逻辑推理运用向量运算求解空间距离的原理.3.数学运算能够用空间向量的坐标运算解决空间距离问题.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一 点到直线的距离已知直线 的单位方向向量为,是直线 上的定点,是直线 外一点.如图,设=,则向量 在直线 上的投影向量=(),点 到直线 的距离=|2|2=2 ()2.
2、要点二 点到平面的距离已知平面 的法向量为,是平面 内的定点,是平面 外一点,则点 到平面 的距离=|.自主思考1.若直线 的方向向量为=(,)，如何求直线 的单位向量?提示 =|=(2+2,2+2).2.当点 在平面 内,该公式还成立吗?求直线到平面的距离可以用该公式吗?提示 成立,此时=,所以=0.可以,求直线到平面的距离可以转化为点到平面的距离,因此可以用该公式.名师点睛1.点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，因为直线与直线外一点确定一个平面，所以空间中的点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内的点到直线的距离问题.2.如果直线 与平面 平行，可在直线 上任取一点，将直线 到平面
3、 的距离转化为点 到平面 的距离求解.3.两个平行平面之间的距离，如果两个平面,互相平行，可在其中一个平面 内任取一点，将两个平行平面之间的距离转化为点 到平面 的距离求解.互动探究关键能力探究点一 点到直线的距离精讲精练例如图，在空间直角坐标系中有棱长为 的正方体 1111，点 是线段1上的动点，试求点 到直线1 距离的最小值.答案：设(0,)(0 )，直线1 的一个单位方向向量为，易知=(22,0,22),1=(0,),故点 到直线1 的距离=|1|2 (1 )2=m2+()2 12()2=32 m2 +12 2=32(3)2+13 2，当=3 时，取得最小值，为13 2=33 ，故 d
4、的最小值为33 .解题感悟向量法求点 到直线 的距离的步骤：（1）依据图形先求出直线 的单位方向向量.（2）在直线 上任取一点（可选择特殊、便于计算的点），计算点 与直线 外的点 的方向向量.（3）要知垂线段的长度可利用=|2 ()2 计算.迁移应用（2021 天津和平汇文中学高二第一次质检）已知直线 的方向向量为=(1,2,1)，若点(1,1,1)为直线 外一点，(4,1,2)为直线 上一点，则 到直线 的距离为.答案：17解析：易知=(5,0,1),|=(12,22,12)，到直线 的距离=|2 (|)2=52+0+(1)2 (52+0+12)2=26 9=17.探究点二 点到平面的距离精
5、讲精练例 已知正方形 的边长为 1，平面，且=1,分别为,的中点.求点 到平面 的距离.思路分析 以点 为坐标原点，,分别为 轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式=|，即可得到答案.答案：以点 为坐标原点，,分别为 轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,1)，(1,0,0)，(0,0,0)，(1,12,0)，(12,1,0)，所以=(12,12,0)，=(1,12,1)，=(1,12,0)，设平面 的法向量为=(,)，则 =0,=0,即12 +12 =0,+12 =0,令=2，则=2,=3，所以=(2,2,3)，所以点 到平面 的距离=|=|2+1
6、|4+4+9=31717.解题感悟求点到平面的距离的四个步骤：（1）建系，结合图形特点建立空间直角坐标系；（2）求向量，在空间直角坐标系中求出点 与平面内任一定点 对应的向量；（3）求平面的法向量；（4）代入点到平面的距离公式求解.迁移应用如图，在正三棱柱 111 中，1=2，=1，是1 的中点.（1）求证：平面1 平面11；（2）求三棱锥1 的高.答案：（1）证明 取 的中点，11 的中点，连接,，以 为原点，所在直线为 轴，所在直线为 轴，所在直线为 轴建立空间直角坐标系.则(12,0,0),(0,1,32),1(12,2,0),(12,0,0)，=(12,1,32),1=(1,2,0),
7、=(1,0,0).证明：设平面1 的法向量为=(,)，则 1=+2=0,=12 +32 =0,取=1，得=(2,1,0)，易知平面11 的一个法向量为=(0,0,1)，=0，平面1 平面11.（2）设平面 的法向量为1=(1,1,1)，则1 =1=0,1 =12 1+1+32 1=0,取1=2,得1=(0,3,2)，点1 到平面 的距离=|1|=237=2217，三棱锥1 的高为2217.探究点三 直线到平面的距离精讲精练例（2021 山东师大附中高二月考）如图，在直三棱柱 111 中，=2，是棱 的中点，且=1=1.（1）求证：1 平面1；（2）求直线1 到平面1 的距离.答案：（1）证明：
8、以 为原点，,1 所在的直线分别为 轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),1(1,0,1),(12,12,0),(0,1,0),1(0,0,1)，所以1=(1,0,1),=(12,12,0),1=(0,1,1)，设平面1 的法向量为=(,)，则1 =0,=0,即+=0,12 +12 =0,令=1，则=(1,1,1)，所以1 =0 1+(1)(1)+1 (1)=0，所以1 ，因为1 平面1,所以1 平面1.（2）由（1）知因为1 平面1，所以直线1 上任一点到平面1 的距离都相等，易知=(0,1,0)，设直线1 到平面1 的距离为，则=|=13=33，所以直线1 到平面1 的距离为33
9、.解题感悟向量法求直线与平面的距离、相互平行的平面的距离通常可以转化为点与平面的距离求解.迁移应用在三棱锥 中，是边长为 4 的正三角形，平面 平面，=23，,分别为,的中点，求 到平面 的距离.答案：取 的中点，连接,.=,=，,.平面 平面，平面 平面=，平面.又 平面，.故以 为原点，,所在直线分别为 轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0),(2,0,0),(0,23,0),(0,0,23)，(1,3,0),(0,3,2)，=(3,3,0)，=(1,0,2)，=(1,3,0).设=(,)为平面 的法向量，则 =3+3=0,=+2=0,取=1，则=2,=6，=(2,6,1)，点 到
10、平面 的距离=|=423.,分别为,的中点，又 平面,平面，平面，故 到平面 的距离为423.评价检测素养提升课堂检测1.已知平面 的一个法向量为=(2,2,1)，点(1,3,0)在平面 内，则点(2,1,4)到 的距离为()A.10B.3C.83 D.103答案：解析：=(2,2,1)，(1,3,0)，(2,1,4)，=(1,2,4)，|=10,|=3，点 到 的距离为|=103.2.如图，在空间直角坐标系中有长方体 1111，=1,=2,1=3，则点 到直线1 的距离为()A.27 B.2357C.357D.1答案：解析：由题意知1(0,0,3),(1,0,0),(1,2,0)，所以=(0
11、,2,0),1=(1,2,3)，所以1|1|=(114,214,314)，所以点 到直线1 的距离=2 (1|1|)2=22 (414)2=2357，故选 B.3.已知 平面，平面 的法向量为=(1,0,1)，平面 内一点 的坐标为（0，0，1），直线 上点 的坐标为（1，2，1），则直线 到平面 的距离为.答案：22解析：因为 平面，所以直线 到平面 的距离可转化为点 到平面 的距离，易知=(1,2,0)，所以点 到平面 的距离=|=12=22.4.在长方体 1111 中，=2,=3,1=2，在平面1111 内，过1 作直线 11，求 到直线 的距离.答案：由已知得 11,11，到直线 的距
12、离即1 到直线 的距离.建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0),1(0,0,2),(0,3,0)，1=(2,0,2),=(2,3,0),1 =(2,0,2)(2,3,0)=4,1 到直线 的距离=1 2 (1|)2=228613,即 到直线 的距离为228613.素养演练直观想象、数学运算、逻辑推理在关于距离的探索性问题中的应用如图，三棱柱 111 的所有棱长都是 2，1 平面，,分别是,1 的中点.（1）求证：平面 平面1；（2）在线段1 上是否存在点，使点 到平面1 的距离为255？请说明理由.答案：取11 的中点，连接1,易得1,1 两两垂直，故以 为原点，1,1 所在直线分别为
13、 轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则(1,2,0),(0,2,3),(0,2,0),1(1,0,0),(1,1,0).（1）证明：易知1=(1,2,0),1=(1,2,3),=(1,0,3),=(1,1,3).设1=(1,1,1),2=(2,2,2)分别为平面1 和平面 的法向量，由1 1=0,1 1=0得1+21=0,1+21+31=0,令1=1,则1=2，1=0，1=(2,1,0)是平面1 的一个法向量.由 2=0,2=0得2 32=0,2 2 32=0,令2=1,则2=3,2=23，2=(3,23,1)是平面 的一个法向量，2 1=0，平面 平面1.（2）假设在线段1（含端点）上存在点，使
14、点 到平面1 的距离为255，设(0,3)(0 2)，则=(0,2,0)，由255=|1|1|=|2|5得=4（舍去）或=0，故在线段1 上存在点，即点 与点1 重合时，点 到平面1 的距离为255.素养探究：（1）建立空间直角坐标系，并求出各点的坐标，渗透了直观想象的素养；利用空间向量法，分别求出平面1 和平面 的法向量，通过向量的数量积计算，渗透了数学运算的素养；证出平面 平面1，渗透了逻辑推理的素养.（2）通过点到平面的距离公式，求出 的值，渗透了数学运算、逻辑推理的素养.迁移应用如图，在四棱锥 中，侧面 底面，侧棱=2，底面 为直角梯形，其中 ,，=2=2=2，为 的中点，试问：在线段 上是否存在点，使点 到平面 的距离为32？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.答案：=，为 的中点，.又侧面 底面，平面 底面=，底面.连接，建立如图所示的空间直角坐标系，易得(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，=(1,0,1),=(1,1,0).假设在线段 上存在点，使点 到平面 的距离为32，设(0,0)(1 1)，则=(1,0).设平面 的法向量为=(0,0,0)，则 =0,=0,0+0=0,0+0=0,取0=1，则平面 的法向量为=(1,1,1)，点 到平面 的距离=|=|1+|3=32，=12 或=52（舍去）.此时=12,=32.存在点 满足题意，此时=13.
