1、知识点一 函数的奇偶性 1判断正误(1)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(2)若函数yf(xa)是定义在R上的偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(3)若函数yf(xb)是定义在R上的奇函数，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称()2(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是(B)Ayx2sinx Byx2cosxCy|lnx| Dy2x解析：根据偶函数的定义知偶函数满足f(x)f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数3(必修1P39A组第6题改编)已知函数f(x)是
2、定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x2，则f(1)等于(A)A2 B0C1 D2解析：f(1)f(1)(11)2.知识点二 周期性 1周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期4判断正误(1)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数()(2)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x2)f(x)，则f(2 014)0.()5已
3、知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)，当x(0,2时，f(x)2xlog2x，则f(2 015)(D)A5 BC2 D2解析：由f(x)f(x2)，得f(x4)f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 015)f(50343)f(3)f(12)f(1)(20)2，故选D.1函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa
4、)f(x)，则T2a(a0)(2)若f(xa)，则T2a(a0)(3)若f(xa)，则T2a(a0)考向一 函数的奇偶性 方向1函数奇偶性的判断【例1】(2019福州市一模)下列函数为偶函数的是()Aytan(x) Byx2e|x|Cyxcosx Dyln|x|sinx【解析】对于选项A，易知ytan(x)为非奇非偶函数；对于选项B，设f(x)x2e|x|，则f(x)(x)2e|x|x2e|x|f(x)，所以yx2e|x|为偶函数；对于选项C，设f(x)xcosx，则f(x)xcos(x)xcosxf(x)，所以yxcosx为奇函数；对于选项D，设f(x)ln|x|sinx，则f(2)ln2s
5、in2，f(2)ln2sin(2)ln2sin2f(2)，所以yln|x|sinx为非奇非偶函数，故选B.【答案】B方向2函数奇偶性的应用【例2】(1)(2019贵阳市摸底考试)已知函数f(x)a(aR)是奇函数，则函数f(x)的值域为()A(1,1) B(2,2)C(3,3) D(4,4)(2)(2019河南许昌二模)已知函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm等于()A0 B2C4 D8【解析】(1)解法1：由f(x)是奇函数知f(x)f(x)，所以aa，得2a，所以a1，所以f(x)1.因为ex11，所以01，111，所以01，11g(a)，则实数a的取值范围是()A(2,1)B(，
6、2)(2，)C(2,2)D(，2)(1,1)(2，)【解析】由题可知，f(x)为单调递增的奇函数，则g(x)为偶函数，又g(2a2)g(a)，因此|2a2|a|，即(2a2)2a2，利用换元法解得a的取值范围是(，2)(1,1)(2，)故选D.【答案】D方向2函数的奇偶性、周期性、对称性【例5】(1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)f，且f(1)2，则f(2 018)_.(2)函数yf(x)满足对任意xR都有f(x2)f(x)成立，且函数yf(x1)的图象关于点(1,0)对称，f(1)4，则f(2 016)f(2 017)f(2 018)的值为_(3)(2019四川广元市统考)已知定
7、义在R上的函数f(x)满足f(1x)f(1x)2，g(x)(x1)31，若函数f(x)图象与函数g(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x2 018，y2 018)，则(xiyi)()A8 072 B6 054C4 036 D2 018【解析】(1)f(x)f，f(x3)fff(x)f(x)是以3为周期的周期函数则f(2 018)f(67232)f(2)f(1)f(1)2.(2)函数yf(x1)的图象关于点(1,0)对称，f(x)是R上的奇函数，又f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，故f(x)的周期为4，f(2 017)f(50441)f(1)4，f(2 016)f
8、(2 018)f(2 016)f(2 0162)f(2 016)f(2 016)0，f(2 016)f(2 017)f(2 018)4.(3)由题意知，函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，函数g(x)(x1)31的图象也关于点(1,1)对称故i(x1x2 018)(x2x2 017)(x1 009x1 010)1 00922 018，i(y1y2 018)(y2y2 017)(y1 009y1 010)1 00922 018，所以(xiyi)ii22 0184 036.故选C.【答案】(1)2(2)4(3)C(1)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的
9、对称性.(2)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.(3)单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.1(方向1)(2019河北八校一模)设f(x)为奇函数，且在(，0)内是减函数，f(2)0，则xf(x)0的解集为(C)A(1,0)(2，)B(，2)(0,2)C(，2)(2，)D(2,0)(0,2)解析：f(x)为奇函数，且在(，0)内是减函数，f(2)0，f(2)f(2)0，在(0，)内是减函数若xf(x)f(3) Bf(2)f(5)
10、Cf(3)f(5) Df(3)f(6)解析：yf(x4)为偶函数，f(x4)f(x4)，因此yf(x)的图象关于直线x4对称，f(2)f(6)，f(3)f(5)又yf(x)在(4，)上为减函数，f(5)f(6)，所以f(3)f(6)奇、偶函数的一组性质及其应用函数的奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样，特别是与函数其他性质的综合应用更加突出这类问题从通性通法的角度来处理，显得较为繁琐若能灵活利用函数的奇偶性的性质，常能达到化难为易、事半功倍的效果笔者撷取近年高考题和联赛题为例，归纳出奇、偶函数的一组性质及其应用性质1若函数f(x)是奇函数，且g(x)f(x)c，则必有g(x)g(x)2
11、c.简证由于函数f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，所以g(x)g(x)f(x)cf(x)c2c.典例1已知函数f(x)ax3bsinx4(a，bR)，f(lg(log210)5，则f(lg(lg2)()A5B1C3 D4【解析】设g(x)ax3bsinx，则f(x)g(x)4，且函数g(x)为奇函数又lg(lg2)lg(log210)lg(lg2log210)lg10，所以f(lg(lg2)f(lg(log210)248，所以f(lg(lg2)3.故选C.【答案】C典例2设函数f(x)的最大值、最小值分别为M，N，则MN_.【解析】f(x)1.设g(x)，则f(x)g(x)1，且函数g(
12、x)为奇函数对于一个奇函数来说，其最大值与最小值之和为0，即g(x)maxg(x)min0，而Mg(x)max1，Ng(x)min1，所以MN2.【答案】2性质2若函数f(x)是奇函数，则函数g(x)f(xa)h的图象关于点(a，h)对称简证函数g(x)f(xa)h的图象可由f(x)的图象平移得到，不难知结论成立典例3(2019武汉市调研)函数f(x)的对称中心为()A(4,6) B(2,3)C(4,3) D(2,6)【解析】设g(x).则g(x)g(x)，故g(x)为奇函数易知f(x)3()g(x2)3，所以函数f(x)的对称中心为(2,3)故选B.【答案】B典例4设，分别满足方程33254
13、0，332520，则_.【解析】设g(x)x32x，则g(x)为单调递增的奇函数设f(x)x33x25x，则f(x)g(x1)3，故f(x)关于点(1,3)中心对称观察题目条件332540，332520，知f()4，f()2.所以f()f()6，则点(，4)与点(，2)关于点(1,3)对称，故2.【答案】2性质3若函数f(x)为偶函数，则f(x)f(|x|)简证当x0时，|x|x，所以f(|x|)f(x)；当xf(2x1)成立的x的取值范围是()A(，1)B(，)(1，)C(，)D(，)(，)【解析】易知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为偶函数当x0时，f(x)ln(1x)，易知此时f(x)单调递增所以f(x)f(2x1)f(|x|)f(|2x1|)，所以|x|2x1|，解得x1.故选A.【答案】A典例6已知f(x)是偶函数，且f(x)在0，)上是增函数，如果f(ax1)f(x2)在x上恒成立，则实数a的取值范围是()A2,1 B5,0C5,1 D2,0【解析】因为f(x)是偶函数且在0，)上是增函数，如果f(ax1)f(x2)在x上恒成立，则|ax1|x2|2x，即x2ax12x.由ax12x，得ax1x，a1，而1在x1时取得最小值0，故a0.同理，由x2ax1得a2，所以a的取值范围是2,0【答案】D
