1、第二讲空间几何体的表面积与体积A组基础巩固一、单选题1(2021广东六校联盟联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(A)AB2C2D解析由三视图知，该几何体由圆柱与三棱锥组合而成，其体积为2.故选A.2(2021河南中原名校质量考评)一个几何体三视图如下图所示，则该几何体体积为(D)A12B8C6D4解析由三视图可知几何体为三棱锥，如图，故其体积V2344.故选D.3(2021四川、云南、贵州、西藏四省四校联考)一个多面体的三视图如图所示，其正视图、侧视图都是全等的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则其表面积为(A)A84B12C168D122解析根据三视图，可得立体图形
2、如图所示：则S表面积2222222284.故选A.4(2021河北衡水中学调研)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(B)ABCD解析圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，该圆柱底面圆周半径r，该圆柱的体积：VSh21.故选B.5(2021吉林省高三二模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(A)ABC2D4解析设半圆柱体体积为V1，半球体体积为V2，由题得几何体体积为VV1V212213，故选A.6. (2020山东省泰安市6月三模)我国古代数学名著九章算术中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广刍，草也甍，屋盖
3、也”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体(如图所示)，下底面是边长为2的正方形，上棱EF，EF平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为2，该刍甍的体积为(B)A6BCD12解析如图，作FNAE，FMED，则多面体被分割为棱柱与棱锥部分，因为EF与平面ABCD的距离为2，所以四棱锥FNBCM的高为2，所以V四棱锥FNBCMS四边形NBCM222，V棱柱ADENMFS直截面223，所以该刍甍的体积为：VV四棱锥FNBCMV棱柱ADENMF3.故选B.7(2021四川成都诊断)如图是某几何体的三视图，若三视图中的圆的半径均为2，则该几何体的表面积为(C)A14B16C18D20解析由题意可知几何体为从
4、半径为2的球体中去掉左后下四分之一和右前上四分之一，故其表面积为4222218，故选 C8(2021广东质检)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB1，AC，ABAC，AA14，则球O的表面积为(C)A5B10C20D解析由题意知AB、AC、AA1两两垂直，设球O的半径为R，则4R21()24220，S球4R220，故选 C9(2021广东顺德质检)已知三棱锥PABC的底面ABC是边长为2的等边三角形，PA平面ABC，且PA2，则该三棱锥外接球的表面积为(D)AB20C48D解析如图设ABC外接圆的圆心为O1，球心为O，则OO1平面ABC，又PA平面ABC，连接AO1
5、并延长交球于H，由PAH，知OPH，OO1为RtPAH的中位线，OO1PA1，又正ABC边长为2，2O1H，O1H，OH，S球4(OH)2，故选D.二、多选题10一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是(BCD)A三角形B长方形C正方形D正六边形11(原创)两直角边长分别为6、8的直角三角形绕其一边所在直线旋转一周，所形成的几何体的体积可能为(ABC)A96B128CD12(2021陕西商洛期末改编)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的每个顶点都在球的O球面上，若球O的表面积为12，则该四棱柱的侧面积的值可能为(ABC)A10B1
6、2C16D18解析设球O的半径为R，则4R212，得R.设正四棱柱的底面边长为x，高为h，则正四棱柱的体对角线即为球O的直径，则有2R2，即2x2h212，由基本不等式可得122x2h22xh，xh3，当且仅当hx时，等号成立，因此，该四棱柱的侧面积为4xh4312，即四棱柱的侧面积得取值范围为(0，12，故选ABC三、填空题13(2018天津高考)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1BB1D1D的体积为.解析本题主要考查正方体的性质和四棱锥的体积四棱锥的底面BB1D1D为矩形，其面积为1，又点A1到底面BB1D1D的距离，即四棱锥A1BB1D1D的高为A1C1，所
7、以四棱锥A1BB1D1D的体积为.另解：VA1BB1D1DVABDA1B1D1VA1ABDVABDA1B1D1.14(2021新高考八省联考)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为 61 .解析圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，如图所示，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为O，则圆台的高OO3，据此可得圆台的体积：V3(525442)61.15(2021海南天一大联考)已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的体积为，设线段AB为底面圆的一条直径，一质点从A出发，沿着圆锥的侧面运动，到达B点后再回到A点，则该质点运动路径的
8、最短长度为 6 .解析圆锥的高为2，V圆锥212，圆锥底面周长为2，侧面展开图扇形的圆心角为，如图，则质点运动的最短路径为虚线所示的折线，长度为6.16(2021河北张家口、邢台联考)已知球O是三棱锥PABC的外接球，ABBCCA1，PA2，则当点P到平面ABC的距离取最大值时，球O的表面积为.解析当点P到平面ABC的距离最大时，PA平面ABC如图，以ABC为底面，PA为侧棱补成一个直三棱柱，则球O是该三棱柱的外接球，球心O到底面ABC的距离dPA1.由正弦定理得ABC的外接圆半径r，所以球O的半径为R，所以球O的表面积为S4R2.B组能力提升1(2021陕西西安质检三)如图，圆锥形容器的高为
9、2圆锥内水面的高为1.若将圆锥形容器倒置，水面高为h.则h等于.解析设圆锥形容器的底面积为S，则未倒置前液面的面积为S，水的体积V2SS(21)S，设倒置后液面面积为S，则2，S，水的体积为VSh ，S，解得h.2(2021湖湘名校教育联合体联考)在四面体SABC中，SA平面ABC，BAC120，SA2，BC，则该四面体的外接球的表面积为.解析设BAC外接圆半径为r，则2r，r.设四面体外接球的半径为R，则由题意易得R2r21，S球4R2.3(2021四川、云南、贵州、西藏四省四校联考)在等腰三角形ABC中，ABAC2，顶角为120，以底边BC所在直线为轴旋转围成的封闭几何体内装有一球，则球的
10、最大体积为.解析据题意可得几何体的轴截面为边长为2，相邻边的一夹角为60的菱形，即菱形中的圆与该菱形内切时，球的体积最大，可得内切圆的半径r，故V3.4(2021广东佛山质检)已知A，B，C是球O的球面上的三点，AOBAOC60，若三棱锥OABC体积的最大值为1，则球O的表面积为(C)A4B9C16D20解析设球的半径为R，如图所示，AOBAOC60，AOB和AOC均为等边三角形，边长为R，由图可得当面AOC面AOB时，三棱锥OABC的体积最大，此时VRRRR31，解得R2，则球O的表面积为S42216，故选：C5(2021河北石家庄质检)已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为(D)A251B125C15D51解析设ABC的边长为a，三棱柱内切球、外接球的半径分别为r，R，则raa，三棱柱的高为a，R2r22a2，5，故选D.6(2021浙江联考)某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是(B)A83B103C85D105解析根据三视图画出直观图得，该几何体的左侧为长方体，右侧为半圆柱体，故该几何体的表面积S12311222212103，故选B.
