1、2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定基础过关练 题组一直线与平面垂直的判定1.给出下列三个命题:一条直线垂直于一个平面内的三条直线,则这条直线和这个平面垂直;一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等,则这条直线和这个平面垂直;一条直线在平面内的正投影是一点,则这条直线和这个平面垂直.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.32.(2020广东广州高二期末)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,侧面AA1D1D为正方形,E为棱CD上任意一点,则AD1与B1E的关系为()A.AD1B1EB.AD1B1EC.AD1与B1E共面D.以上都不对3.(2021江西景德
2、镇一中高一上期末)在下面四个正方体ABCD-ABCD中,点M,N,P均为所在棱的中点,则平面MNP与直线AC不垂直的是()ABCD4.如图,在三棱锥S-ABC中,ABC=90,D是AC的中点,且SA=SB=SC.(1)求证:SD平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD平面SAC.5.如图,AB为O的直径,PA垂直于O所在的平面,M为圆周上任意一点,ANPM,N为垂足.(1)求证:AN平面PBM;(2)若AQPB,垂足为Q,求证:NQPB.题组二直线与平面所成的角6.直线a与平面所成的角为50,直线ba,则直线b与平面所成的角等于()A.40B.50C.90D.307.在正方体ABCD-A1B
3、1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A.23B.33C.23D.638.(2021山西吕梁高二上期末)如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A.30B.45C.60D.909.(2021四川遂宁高二上期末)长方体A1B1C1D1-ABCD中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30,则该长方体的体积为.能力提升练一、选择题1.(2021重庆缙云教育联盟高二上期末,)三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,则顶点P在底面ABC的射影为ABC的()A.内心B.外心C.重心
4、D.垂心2.()如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总保持APBD1,则动点P的轨迹是()A.线段B1CB.线段BC1C.BB1的中点与CC1的中点连成的线段D.BC的中点与B1C1的中点连成的线段二、填空题3.(2021湖南湖湘教育三新探索协作体高二上期中,)如图,在四面体A-BCD中,AB平面BCD,BCCD,则其四个面中直角三角形的个数为.三、解答题4.(2020上海师大二附中高二下期末,)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=2,CC1=4,M为棱CC1上一点.(1)若C1M=1,求直线A1M和平面A1B1C1D1所成角的
5、正切值;(2)若C1M=2,求证:BM平面A1B1M.5.()如图,直三棱柱A1B1C1-ABC中,AC=BC=1,ACB=90,AA1=2,D是A1B1的中点.(1)求证:C1D平面AA1B1B;(2)当点F在BB1上的什么位置时,会使得AB1平面C1DF?并证明你的结论.6.()如图所示,在矩形ABCD中,AB=33,BC=3,沿对角线BD将BCD折起,使点C移到点C,且点C在平面ABD上的射影O恰在AB上.(1)求证:BC平面ACD;(2)求直线AB与平面BCD所成角的正弦值.2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定基础过关练1.C2.A3.A6.B7.D8.C1
6、.C若这三条直线都是平行线,则这条直线与平面不一定垂直;一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等,则这个角必为直角,因此直线与平面垂直;根据投影的定义知正确.故选C.2.A连接A1D,由正方形的性质,知AD1A1D.又B1A1平面AA1D1D,所以B1A1AD1,又A1DA1B1=A1,所以AD1平面A1B1ED.又B1E平面A1B1ED,所以AD1B1E.故选A.3.A对于A,如图,连接AD,由点M,N,P均为所在棱的中点,可得MNAD.因为CD平面ADDA,所以CDAD,所以AC与AD不垂直,即直线AC不垂直于MN,故平面MNP与直线AC不垂直,故A符合题意.对于B,如图,连接AC,BD
7、,由CC平面ABCD,可得AC在平面ABCD内的射影为AC,因为ACBD,所以ACBD,又点M,N,P均为所在棱的中点,所以MPBD,所以ACMP,同理可得ACMN,又MNMP=M,所以AC平面MNP,故B不符合题意.同理可得D不符合题意.对于C,如图,连接CD,CD,AD,AD.因为点M,N,P均为所在棱的中点,所以APDN,且AP=DN,所以四边形APND为平行四边形,所以PNAD.因为CD平面ADDA,所以AC在平面ADDA内的射影为AD.又ADAD,所以ACAD,所以ACPN.因为AD平面CCDD,所以AC在平面CCDD内的射影为CD.又CDCD,所以ACCD,又CDMN,所以ACMN
8、.又MNPN=N,所以AC平面MNP,故C不符合题意.故选A.4.证明(1)因为SA=SC,D是AC的中点,所以SDAC.在RtABC中,AD=BD,又SA=SB,所以ADSBDS,所以SDA=SDB=90,所以SDBD.又ACBD=D,所以SD平面ABC.(2)因为AB=BC,D为AC的中点,所以BDAC.由(1)知SDBD.因为SDAC=D,所以BD平面SAC.5.证明(1)AB为O的直径,AMBM.又PA平面ABM,PABM.PAAM=A,BM平面PAM.又AN平面PAM,BMAN.ANPM,且BMPM=M,AN平面PBM.(2)由(1)知AN平面PBM,PB平面PBM,ANPB.又AQ
9、PB,ANAQ=A,PB平面ANQ.又NQ平面ANQ,NQPB.6.B根据两条平行直线和同一平面所成的角相等,知b与所成的角也是50.7.D如图,设正方体的棱长为1,上、下底面的中心分别为O1,O,则OO1BB1,OO1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角,即O1OD1,cosO1OD1=|O1O|OD1|=132=63.8.C如图,取BC的中点E,连接AE,DE,则AE平面BB1C1C.故ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角.设各棱长为a,则AE=32a,DE=12a,所以tanADE=3,所以ADE=60.9.答案82解析如图,连接BC1.AB平面BB1C1C,AC
10、1B即为直线AC1与平面BB1C1C所成的角.AC1B=30.又AB=BC=2,在RtABC1中,tan 30=ABBC1=33,BC1=23.BC=2,CC1=22.长方体的体积V=2222=82.能力提升练一、选择题1.D由三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,得PAPB,PAPC,PB,PC平面PBC,PBPC=P,PA平面PBC,又BC平面PBC,PABC.设点P在底面ABC内的射影是O,则PO平面ABC,BC平面ABC,POBC.又PA、PO为平面PAO内两条相交直线,BC平面PAO,又AO平面PAO,BCOA.同理可证ABOC,ACOB,故O为ABC的垂心.故选D.2.A连接BC1,
11、B1C,设P1、P2为P的轨迹上两点,直线AP1与AP2确定一个平面,与平面BCC1B1交于直线P1P2,AP1BD1,AP2BD1,且AP1AP2=A,BD1平面,P1P2BD1,BD1在平面BCC1B1内的射影为BC1,P1P2BC1,而在平面BCC1B1内,B1CBC1,点P的轨迹为线段B1C.二、填空题3.答案4解析在四面体A-BCD中,AB平面BCD,ABCD,ABBD,ABBC,BCCD,ABBC=B,AB,BC平面ABC,CD平面ABC,又AC平面ABC,ACCD,四面体A-BCD中的四个面都是直角三角形.三、解答题4.解析(1)如图,连接A1C1,由长方体的性质可知,C1M平面
12、A1B1C1D1,即点M在平面A1B1C1D1上的射影为点C1,MA1C1即为直线A1M和平面A1B1C1D1所成的角,C1M=1,A1C1=2A1B1=22,tanMA1C1=C1MA1C1=122=24,故直线A1M和平面A1B1C1D1所成角的正切值为24.(2)证明:由长方体的性质可知,A1B1平面B1BCC1,BM平面B1BCC1,A1B1BM.C1M=2,M为CC1的中点,C1M=CM=2,B1M=BM=2CM=22,B1B2=BM2+B1M2,即BMB1M,A1B1,B1M平面A1B1M,且A1B1B1M=B1,BM平面A1B1M.5.解析(1)证明:多面体A1B1C1-ABC是
13、直三棱柱,A1C1=B1C1,AA1平面A1B1C1.C1D平面A1B1C1,AA1C1D,D是A1B1的中点,C1DA1B1.又A1B1AA1=A1,C1D平面AA1B1B.(2)如图,作DEAB1于点E,延长DE交BB1于点F,连接C1F,则AB1平面C1DF,点F即为所求.证明:由(1)知C1D平面AA1B1B,AB1平面AA1B1B,C1DAB1.又AB1DF,DFC1D=D,AB1平面C1DF.易知AA1=A1B1=2,四边形AA1B1B为正方形.又D为A1B1的中点,DFAB1,F为BB1的中点.当点F为BB1的中点时,AB1平面C1DF.6.解析(1)证明:因为点C在平面ABD上
14、的射影O在AB上,所以CO平面ABD,所以CODA.又因为DAAB,ABCO=O,所以DA平面ABC,所以DABC.又因为BCCD,所以BCCD.因为DACD=D,所以BC平面ACD.(2)如图所示,过点A作AECD,垂足为点E,连接BE,因为BC平面ACD,所以BCAE,BCAC,又因为BCCD=C,所以AE平面BCD,所以BE是AB在平面BCD上的射影,故ABE就是直线AB与平面BCD所成的角.由(1)知DA平面ABC,所以DAAC.在RtACB中,AC=AB2-BC2=32.在RtBCD中,CD=CD=33.在RtCAD中,由面积关系,得AE=ACADCD=32333=6.所以在RtAEB中,sinABE=AEAB=633=23,即直线AB与平面BCD所成角的正弦值为23.